リース因子半群

数学の半群論において、リース因子半群（リース商半群または単にリース因子とも呼ばれる）は、デイビッド・リースにちなんで名付けられ、半群と半群のイデアルを使用して構築された特定の半群です。

Sを半群とし、IをSのイデアルとする。SとIを用いて、 I を単一の元に縮約し、I以外のSの元は恒等元のままにすることで、新たな半群を構成することができる。このようにして得られる新たな半群は、 SのIを法とするリース因子半群と呼ばれ、 S / Iと表記される。

リース因子半群の概念は1940年にデイヴィッド・リースによって導入された。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

正式な定義

半群の部分集合は 、 とがともにの部分集合であるとき、のイデアルと呼ばれる（ただし、 についても同様）。を半群のイデアルとする。における関係は、によって定義される 。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SI}$ ${\displaystyle IS}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SI=\{sx\mid s\in S{\text{ and }}x\in I\}}$ ${\displaystyle IS}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

x ρ y  ⇔ x = yか、 xとyの両方がIに属する

は における同値関係である。 の下での同値類はを含まない単集合と集合 である。はのイデアルなので、関係 は上で合同である。^{[ 3 ]}商半群は、定義により を法 とするのリース因子半群である。表記の便宜上、半群はとも表記される。リース因子半群^{[ 4 ]}は基礎集合 を持ち、 は新しい要素であり、積（ここでは と表記 ）は で定義される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/{\rho }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S/\rho }$ ${\displaystyle S/I}$ ${\displaystyle (S\setminus I)\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle s*t={\begin{cases}st&{\text{if }}s,t,st\in S\setminus I\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

上記で定義された上の合同は、 を法とする上のリース合同と呼ばれます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$

例

次のケーリー表で定義される二項演算を持つ 半群S = { a , b , c , d , e } を考えます。

·	1つの	b	c	d	e
1つの	1つの	1つの	1つの	d	d
b	1つの	b	c	d	d
c	1つの	c	b	d	d
d	d	d	d	1つの	1つの
e	d	e	e	1つの	1つの

I = { a , d } をSの部分集合とする。

SI = { aa、ba、ca、da、ea、ad、bd、cd、dd、ed } = { a、d } ⊆ I

IS = { aa , da , ab , db , ac , dc , ad , dd , ae , de } = { a , d } ⊆ I

集合IはSのイデアルである。 Iを法とするSのリース因子半群は集合S / I = { b , c , e , I } であり、その二項演算は次のケイリー表で定義される。

·	b	c	e	私
b	b	c	私	私
c	c	b	私	私
e	e	e	私	私
私	私	私	私	私

理想的な拡張

半群Sは、半群AがSのイデアルであり、リース因子半群S / AがBと同型であるとき、半群Bによる半群Aのイデアル拡大と呼ばれる。 ^{[ 5 ]}

広く研究されてきた例としては、完全に単純な半群のイデアル拡張、完全に0-単純な半群による群の拡張、零点を付加した群による相殺を伴う可換半群の拡張などが挙げられる。一般に、半群のすべてのイデアル拡張を記述するという問題は未解決である。^{[ 6 ]}

参考文献

1. Rees, D. (1940). 「半群について」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 36 (4): 387– 400. doi : 10.1017/S0305004100017436 . S2CID  123038112 .MR 2, 127
2. クリフォード、アルフレッド・ホブリッツェル、プレストン、ゴードン・バンフォード(1961).代数的半群論. 第1巻. 数学概論, 第7号. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-0272-4. MR  0132791 .{{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
3. Lawson (1998)逆半群：部分対称性の理論、60ページ、 World Scientific、 Google Booksリンク付き
4. ハウイー、ジョン・M.（1995）、半群論の基礎、クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-851194-9
5. ミハレフ、アレクサンドル・ヴァシリエヴィチ;ピルツ、ギュンター (2002)。代数の簡潔なハンドブック。スプリンガー。ISBN 978-0-7923-7072-7。（1～3ページ）
6. Gluskin, LM (2001) [1994]、「半群の拡張」、数学百科事典、EMSプレス

• ローソン, MV (1998).逆半群：部分対称性の理論. ワールドサイエンティフィック. ISBN 978-981-02-3316-7。

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