ニュートンポテンシャル

ラプラシアンのグリーン関数

数学において、ニュートンポテンシャル（またはニュートンポテンシャル）は、ベクトル計算における演算子であり、滑らかで無限大で十分急速に減少する関数上の負のラプラシアンの逆として機能します。そのため、ポテンシャル理論における基本的な研究対象です。一般的には、原点に数学的な特異点を持つ関数（ラプラス方程式の基本解であるニュートン核）との畳み込みによって定義される特異積分演算子です。ニュートンポテンシャルは、このポテンシャルを最初に発見し、3 変数の特殊なケースで調和関数であることを証明したアイザック・ニュートンにちなんで名付けられました。このケースでは、ニュートンの万有引力の法則における基本的な重力ポテンシャルとして機能しました。現代のポテンシャル理論では、ニュートンポテンシャルは静電ポテンシャルとして考えられています。 ${\displaystyle \Gamma }$

コンパクトに支えられた積分 可能な関数 のニュートンポテンシャルは畳み込みとして定義される。 ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy}$$

ここで、次元ニュートン核は次のように定義される。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}}$$

単位d球の体積はここにある（符号規則は異なる場合があるので、(Evans 1998)と(Gilbarg & Trudinger 1983)を参照のこと）。例えば、 については となる。 ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|)}$

ニュートン力学ポテンシャルはポアソン方程式の解である。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \Delta w=f,}$$

つまり、関数のニュートンポテンシャルを取る操作は、ラプラス演算子の部分逆であるということです。 が有界で、オットー・ヘルダーによって示されたように局所的にヘルダー連続である場合、 は 2 回微分可能な古典的な解になります。連続性だけで十分であるかどうかは未解決の問題でした。これは、 が 2 回微分可能ではない連続の例を示した Henrik Petrini によって誤りであることが示されました。に任意の調和関数を追加しても方程式に影響しないため、解は一意ではありません。この事実は、適切に正則な領域でのポアソン方程式のディリクレ問題の解の存在と一意性、および適切に振る舞う関数の解を証明するために使用できます。まずニュートンポテンシャルを適用して解を取得し、次に調和関数を追加して調整して正しい境界データを取得します。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$

ニュートンポテンシャルは、より広義には畳み込みとして定義される。

$${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)}$$

がコンパクトに支えられたラドン測度であるとき、それはポアソン方程式を満たす。 ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

超関数の意味で。さらに、測度が正のとき、ニュートンポテンシャルは上で分数調和である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

がコンパクトに支えられた連続関数（または、より一般的には有限測度）で回転不変である場合、 の畳み込みはのサポートの外側で を満たす。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

次元では、これはニュートンの定理に帰着し、はるかに大きな球対称の質量分布の外側にある小さな質量の位置エネルギーは、より大きな物体の質量がすべてその中心に集中している場合と同じになります。 ${\displaystyle d=3}$

測度が、 2つの領域 と に分割される十分に滑らかな超曲面（ヘルダー類のリアプノフ面）上の質量分布に関連付けられている場合、 のニュートンポテンシャルは単純層ポテンシャルと呼ばれます。単純層ポテンシャルは連続しており、を除いてラプラス方程式を解きます。これらは、静電気の研究において、閉じた曲面上の電荷分布に関連付けられた静電ポテンシャルの文脈で自然に現れます。 が 上の連続関数と次元ハウスドルフ測度 の積である場合、の点で、法線微分は層を横切るときにジャンプ不連続を起こします。さらに、 の法線微分は上で明確に定義された連続関数です。このため、単純層はラプラス方程式のノイマン問題の研究に特に適しています。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle D_{+}}$ ${\displaystyle D_{-}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mu =f\mathrm {d} H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S}$

参照

• 二重層電位
• グリーン関数
• リースポテンシャル
• 3変数ラプラス方程式のグリーン関数

参考文献

• エヴァンス、LC（1998）、偏微分方程式、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2。
• ギルバーグ、D.;トルディンガー、ニール（1983）、楕円偏微分方程式、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7。
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ニュートンポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「単純層ポテンシャル」、数学百科事典、EMSプレス
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「表面ポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press

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