除去可能な特異点

Undefined point on a holomorphic function which can be made regular

x = 2に除去可能な特異点を持つ放物線のグラフ

複素解析において、正則関数の除去可能な特異点とは、関数が定義されていない点であるが、その点の近傍において結果の関数が正則となるようにその点で関数を再定義することが可能な点である。

例えば、（正規化されていない）sinc関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

はz = 0で特異点を持つ。この特異点は、 zが0に近づくにつれてsincの極限となる関数を定義することで解消できる。結果として得られる関数は正則である。この場合、 sincに不定形が与えられたために問題が発生した。特異点の周り で冪級数展開をとると、次のようになる。 ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1,}$ ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

正式には、が複素平面の開部分集合、の点、 が正則関数である場合、上で と一致する正則関数 が存在するとき、はに対して除去可能な特異点と呼ばれます。そのような が存在するとき、は 上で正則拡張可能であるといいます。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$

リーマンの定理

除去可能な特異点に関するリーマンの定理は次のとおりです。

定理—複素平面の開部分集合を 、点を、集合 上で定義された正則関数とします。以下の式は同値です。 ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

1. ${\displaystyle f}$は 上で正則拡張可能である。 ${\displaystyle a}$
2. ${\displaystyle f}$は にわたって連続的に拡張可能です。 ${\displaystyle a}$
3. 上に境界で囲まれたの近傍が存在する。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$。

1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 の含意は自明である。4 ⇒ 1 を証明するには、まず、関数が における正則性を持つことは、それが における解析的であること（証明）と同値であること、つまり冪級数表現を持つことを思い出す（証明）。定義 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

明らかに、hは 上で正則であり、 ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

4 で与えられるので、hはD上で正則であり、 aに関するテイラー級数を持つ。

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

c ₀ = h ( a ) = 0 かつc ₁ = h ' ( a ) = 0であるので、

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

したがって、 の場合には、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle z\neq a}$

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

しかし、

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

はD上で正則なので、 の拡張です。 ${\displaystyle f}$

その他の種類の特異点

実変数関数とは異なり、正則関数は十分に厳密であるため、孤立した特異点は完全に分類可能です。正則関数の特異点は、実際には特異点ではない、つまり除去可能な特異点であるか、以下の2種類のいずれかです。

1. リーマンの定理に照らし合わせると、除去不可能な特異点が与えられた場合、となる自然数が存在するかどうかという疑問が生じるかもしれません。もし存在するとすれば、は の極と呼ばれ、そのような最小の極はの位数です。したがって、除去可能な特異点はまさに位数0の極です。有理型関数は、他の極の近くでは一様に爆発します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$
2. の孤立した特異点が除去不可能かつ極でもないとき、それは本質的特異点と呼ばれる。大ピカール定理は、そのような が、最大で1点を除いて、あらゆる穴の開いた近傍を複素平面全体に写像することを示す。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

参照

• 分析能力
• 除去可能な不連続性

外部リンク

• 数学百科事典の除去可能な特異点 アーカイブ 2012-12-20 archive.today

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