再生理論

Branch of probability theory

更新理論は、任意の保有期間に対するポアソン過程を一般化する確率論の一分野です。指数分布に従う保有期間の代わりに、更新過程は、有限の期待値を持つ任意の独立かつ同一分布（IID）の保有期間を持つことができます。更新報酬過程はさらに、各保有期間において発生する報酬のランダムな系列を持ちます。これらの報酬はIIDですが、保有期間とは独立である必要はありません。

再生過程は、大数の強法則や中心極限定理に類似した漸近的性質を持つ。再生関数（期待到着数）と報酬関数（期待報酬値）は、再生理論において極めて重要である。再生関数は、再帰積分方程式である再生方程式を満たす。重要な再生方程式は、適切な非負関数との畳み込みの極限値を与える。再生過程の重ね合わせは、マルコフ再生過程の特殊なケースとして研究することができる。 ${\displaystyle m(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle m'(t)}$

応用分野としては、工場の老朽化した機械を交換するための最善の戦略の計算、異なる保険契約の長期的なメリットの比較、感染症の伝播のモデル化などが挙げられる。「再生産数を推論する最も広く採用されている手段の一つは、更新方程式によるものである」^[1] 。検査パラドックスは、時刻tにおける更新間隔を観測すると、平均値が平均更新間隔よりも大きい間隔が得られるという事実に関連している。

更新プロセス

導入

再生過程はポアソン過程の一般化である。本質的には、ポアソン過程は正の整数（通常はゼロから始まる）上の連続時間マルコフ過程であり、各整数において次の整数に進む前に独立した指数分布の保持時間を持つ。再生過程において、保持時間は指数分布を持つ必要はなく、むしろ、保持時間が独立かつ同一分布（IID）であり、有限の平均を持つ限り、正の整数上で任意の分布を持つことができる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$

正式な定義

保持時間 S _iとジャンプ時間J _nを伴う更新プロセスのサンプル進化。

有限の期待値を持つ、正の独立かつ同一分布の確率変数の列とする。 ${\displaystyle (S_{i})_{i\geq 1}}$

${\displaystyle 0<\operatorname {E} [S_{i}]<\infty .}$

このランダム変数を「 - 番目の保持時間」と呼びます。 ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i}$

n > 0ごとに定義します。

${\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i},}$

それぞれは「 - 番目のジャンプ時間」と呼ばれ、間隔は「更新間隔」と呼ばれます。 ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [J_{n},J_{n+1}]}$

そしてランダム変数によって与えられる ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}$

指標関数はどこにありますか ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}={\begin{cases}1,&{\text{if }}J_{n}\leq t\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$時刻tまでに発生したジャンプの数を表し、更新プロセスと呼ばれます。

解釈

ランダムな時間に発生するイベントを考える場合、保留時間を2つの連続するイベント間のランダムな経過時間と考えることができます。例えば、再生プロセスが複数の機械の故障回数をモデル化している場合、保留時間は1つの機械が故障してから別の機械が故障するまでの時間を表します。 ${\displaystyle \{S_{i}:i\geq 1\}}$

ポアソン過程はマルコフ性を持つ唯一の更新過程であり^[2]、指数分布は記憶を持たない唯一の連続確率変数である。

更新報酬プロセス

保持時間 S _i、ジャンプ時間J _n、報酬W _iを伴う更新報酬プロセスのサンプル進化

を満たすIID確率変数（報酬）の列とする。 ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}$

そして、ランダム変数

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}$

は更新報酬過程と呼ばれます。とは異なり、それぞれは正の値だけでなく負の値も取る可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

確率変数は、保有時間と報酬という 2つの系列に依存します。これら2つの系列は独立している必要はありません。特に、は の関数となる場合があります。 ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$

解釈

保持時間を機械の連続した故障間の時間として解釈する上記の文脈では、「報酬」（この場合はたまたまマイナスになります）は、連続した故障の結果として発生した連続した修理コストとして見ることができます。 ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$

別の例えとして、魔法のガチョウが卵を産むとします。このガチョウは、一定間隔（保持時間）で卵を産みます。重さがランダムな金の卵を産むこともありますが、毒のある卵（これも重さがランダム）を産むこともあります。毒のある卵は、責任ある（そして費用のかかる）処分が必要となります。「報酬」とは、連続する卵（ i = 1,2,3,...）から生じる連続した（ランダムな）金銭的損失/利益であり、時刻tにおける金銭的「報酬」の合計を記録します。 ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

更新機能

更新関数を、ある時点までに観測されたジャンプの数の期待値として定義します。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}].\,}$

基本的な更新定理

更新関数は

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$

証拠

再生プロセスにおける大数の強い法則は、 ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$ 基本的な更新定理を証明するには、 が一様に積分可能であることを示すだけで十分です。 ${\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}}$ これを実現するために、保持時間が で定義される切断された再生過程を考えます。ここでは、すべての非決定的再生過程に対して存在する点です。この新しい再生過程はの上限であり、その再生は格子 上でのみ発生します。さらに、各時点における再生回数はパラメータ に対して幾何級数的です。したがって、 ${\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\operatorname {\mathbb {I} } \{S_{n}>a\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<F(a)=p<1}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{[at]}\operatorname {Geometric} (p)\\\operatorname {E} \left[\,{\overline {X_{t}}}^{2}\,\right]&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {\operatorname {E} \left[X_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}$

更新報酬プロセスの基本更新定理

報酬関数を次のように定義します。

${\displaystyle g(t)=\operatorname {E} [Y_{t}].\,}$

報酬関数は

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\operatorname {E} [W_{1}]}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$

更新方程式

更新関数は

${\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}$

ここで、 は の累積分布関数であり、は対応する確率密度関数です。 ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle f_{S}}$

証明[3]

最初の保持時間についての期待値を繰り返すことができます。 ${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}]=\operatorname {E} [\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1})].\,}$ 更新プロセスの定義から、 ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} [X_{t-s}]\right).\,}$ それで ${\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&=\operatorname {E} [X_{t}]\\[12pt]&=\operatorname {E} [\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1})]\\[12pt]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} [X_{t-s}]\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}$ 必要に応じて。

鍵更新定理

Xを更新関数と相互更新平均 を持つ更新プロセスとします。が次を満たす関数とします。 ${\displaystyle m(t)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }$
• gは単調で非増加である

鍵更新定理は次のように述べている：^[4] ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}$

更新定理

任意の を考えると、特別なケースとして更新定理が与えられる: ^[5] ${\displaystyle g(x)=\mathbb {I} _{[0,h]}(x)}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle m(t+h)-m(t)\rightarrow {\frac {h}{\mu }}}$として ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

この結果は積分方程式や結合論法によって証明できる。^[6]これは鍵更新定理の特殊なケースだが、ステップ関数を考え、ステップ関数の列を増やすことで完全な定理を導くことができる。^[4]

漸近的性質

再生過程と再生報酬過程は、大数の強法則に類似した性質を持ち、同じ定理から導かれる。が再生過程であり、が再生報酬過程である場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$^[7]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\operatorname {E} [W_{1}]}$

ほぼ確実です。

証拠

まず を考えてみましょう。定義により次のようになります。 ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}$ すべての人のために ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}$ すべてのt≥0に対して。 さて、次のようになります: ${\displaystyle 0<\operatorname {E} [S_{i}]<\infty }$ ${\displaystyle X_{t}\to \infty }$ ほぼ確実に（確率1で）である。したがって、 ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}={\frac {J_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i}\to \operatorname {E} [S_{1}]}$ ほぼ確実に（大数の強い法則を使用）; 同様に： ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}={\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}+1}}{\frac {X_{t}+1}{X_{t}}}={\frac {J_{n+1}}{n+1}}{\frac {n+1}{n}}\to \operatorname {E} [S_{1}]\cdot 1}$ ほぼ確実です。 したがって（2つの項の間に挟まれているため） ${\displaystyle t/X_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{t}}X_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$ ほぼ確実です。[4] 次に考えてみましょう。 ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {X_{t}}{t}}{\frac {1}{X_{t}}}Y_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\cdot \operatorname {E} [W_{1}]}$ ほぼ確実です（最初の結果を使用し、 に対する大数の法則を使用）。 ${\displaystyle Y_{t}}$

再生プロセスはさらに中心極限定理に類似した性質を持つ：^[7]

${\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}$

検査のパラドックス

ランダムポイントt (赤で表示) によって決定される更新間隔は、最初の更新間隔よりも確率的に大きくなります。

更新プロセスの興味深い特徴は、所定の時間tを待ってから、 tを含む更新間隔の大きさを観察すると、通常は平均サイズの更新間隔よりも大きくなると予想されることです。

数学的には、検査パラドックスとは、任意のt > 0に対して、tを含む更新間隔は最初の更新間隔よりも確率的に大きくなる、ということを意味する。つまり、すべてのx > 0およびすべてのt > 0に対して、以下の式が成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$

ここで、F _SはIID待機時間S _iの累積分布関数です。バスの待ち時間パラドックスは、その顕著な例です。バスの到着時刻がランダムに分布している場合、バス停に停車する平均的な乗客は、平均的なバス運転手よりも多くの遅延を経験することになります。

このパラドックスを解決するには、時刻tにおける標本分布がサイズバイアス（標本バイアスを参照）を持っていること、つまり、ある区間が選択される尤度がそのサイズに比例していることが挙げられます。しかし、平均的なサイズの更新区間はサイズバイアスを持っていません。

証拠

tの前の最後のジャンプ時間はであり、 tを含む更新間隔はであることに注目してください。そして、 ${\displaystyle J_{X_{t}}}$ ${\displaystyle S_{X_{t}+1}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\mid J_{X_{t}}=s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x|S_{X_{t}+1}>t-s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\,,\,S_{X_{t}+1}>t-s)}{\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-F(\max\{x,t-s\})}{1-F(t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},{\frac {1-F(t-s)}{1-F(t-s)}}\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},1\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}\geq \int _{0}^{\infty }(1-F(x))f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds=1-F(x)=\operatorname {P} (S_{1}>x),\\[12pt]\end{aligned}}}$ と は両方とも、のすべての値に対して以上であるためです。 ${\displaystyle {\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1-F(x)}$

重ね合わせ

更新過程がポアソン過程ではない場合、2つの独立した更新過程の重ね合わせ（和）は更新過程ではない。^{[8]しかし、このような過程は}マルコフ更新過程と呼ばれるより大きな過程のクラスで記述することができる。^[9]しかし、重ね合わせ過程における最初の事象間時間の累積分布関数は^[10]で与えられる。

${\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}$

ここでRk ( t )とαk _{> 0は} イベント間時間とプロセスkの到着率のCDFである。^[11]

アプリケーション例

起業家のエリックはn台の機械を所有しており、それぞれの稼働寿命は0年から2年の間で均一に分布しています。エリックは、各機械が故障するまで稼働させ、交換費用として2600ユーロを支払うことができます。また、機械がまだ機能しているうちに、いつでも200ユーロの費用で交換することもできます。

彼の最適な代替政策は何でしょうか?

解決

n台の機械の寿命は、 n個の独立した同時更新報酬プロセスとしてモデル化できるため、 n=1 の場合を考えれば十分です。このプロセスを と表記します。交換機の連続寿命Sは独立しており、同一の分布に従うため、プロセス内のすべての交換機に対して最適なポリシーは同じです。 ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$ エリックが機械の寿命開始時に、時刻0 < t < 2で交換することを決定したが、その前に機械が故障した場合、機械の 寿命Sは [0, t ] に均一分布し、期待値は 0.5 tとなる。したがって、機械全体の期待寿命は以下のようになる。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S]&=\operatorname {E} [S\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{fails before }}t]+\operatorname {E} [S\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{does not fail before }}t]\\[6pt]&=0.5t({\frac {t}{2}})+t({\frac {2-t}{2}})\end{aligned}}}$ マシンあたりの予想コストWは次のようになります。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W]&=\operatorname {E} [W\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{fails before }}t)+\operatorname {E} [W\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{does not fail before }}t)\\[6pt]&=2600({\frac {t}{2}})+200({\frac {2-t}{2}})=1200t+200.\end{aligned}}}$ したがって、大数の強い法則により、単位時間あたりの長期平均コストは次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}\simeq {\frac {\operatorname {E} [W]}{\operatorname {E} [S]}}={\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}}$ 次にtについて微分します。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}=4{\frac {(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)}{(t^{2}+4t-2t^{2})^{2}}},}$ これは、転換点が次を満たすことを意味します。 ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)=4800t-1200t^{2}-4800t-800+2400t^{2}+400t\\[6pt]&=-800+400t+1200t^{2},\end{aligned}}}$ そしてこうして ${\displaystyle 0=3t^{2}+t-2=(3t-2)(t+1).}$ [0, 2]における唯一の解t 、すなわちt = 2/3を採る。これは確かに最小値であり最大値ではない。なぜなら、 tがゼロに近づくにつれて単位時間あたりのコストは無限大に近づくからである。つまり、 tが増加するにつれてコストは減少し、2/3の点を境にコストは増加し始める。

参照

• キャンベルの定理（確率）
• 複合ポアソン過程
• 連続時間マルコフ過程
• リトルの補題
• ロトカの積分方程式
• パーム・ヒンチン定理
• ポアソン過程
• 待ち行列理論
• 残り時間
• 破滅理論
• 半マルコフ過程
• フォン・フェルスター方程式

注記

1. Green, William D.; Ferguson, Neil M.; Cori, Anne (2022). 「異種疫病における再生方程式を用いた再生産数の推定」Journal of the Royal Society Interface . 19 (188). doi :10.1098/rsif.2021.0429. PMC 8965414.  PMID 35350879  .
2. グリメット＆スターザカー（1992）、393ページ。
3. グリメット＆スターザカー（1992）、390ページ。
4. グリメット＆スターザカー（1992）、395ページ。
5. フェラー（1971）、347–351ページ。
6. グリメット＆スターザカー（1992）、394～395ページ。
7. Grimmett & Stirzaker (1992)、394ページ。
8. グリメット＆スターザカー（1992）、405ページ。
9. Çinlar, Erhan (1969). 「マルコフ更新理論」.応用確率論の進歩. 1 (2). 応用確率トラスト: 123–187 . doi :10.2307/1426216. JSTOR  1426216.
10. Lawrence, AJ (1973). 「重ね合わせ過程における事象間の間隔の依存性」.王立統計学会誌. シリーズB (方法論) . 35 (2): 306– 315. doi :10.1111/j.2517-6161.1973.tb00960.x. JSTOR  2984914.式4.1
11. Choungmo Fofack, Nicaise; Nain, Philippe; Neglia, Giovanni; Towsley, Don (2012年3月6日). TTLベースキャッシュネットワークの分析.第6回国際パフォーマンス評価方法論およびツール会議議事録(報告書) . 2012年11月15日閲覧.

参考文献

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• Doob, JL (1948). 「確率論の観点から見た更新理論」(PDF) .アメリカ数学会誌. 63 (3): 422– 438. doi : 10.2307/1990567 . JSTOR  1990567.
• フェラー、ウィリアム(1971).確率論とその応用入門. 第2巻（第2版）. ワイリー.
• グリメット, GR ; スティルザカー, DR (1992).確率とランダム過程（第2版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-857222-0。
• スミス、ウォルター・L. (1958). 「再生理論とその波及効果」.王立統計学会誌、シリーズB. 20 ( 2): 243– 302. doi :10.1111/j.2517-6161.1958.tb00294.x. JSTOR  2983891.
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