レプリケータ方程式

Dynamical system

数学において、複製子方程式は進化ゲーム理論において、集団における戦略の頻度が時間とともにどのように変化するかをモデル化するために使用される力学系の一種である。これは、戦略的相互作用における自然淘汰の原理を捉えた、決定論的、単調、非線形、非革新的なダイナミクスである。^[1]

レプリケータ方程式は、平均よりも高い適応度を持つ戦略の頻度が増加する一方で、成功率の低い戦略の頻度が減少する様子を記述する。準種モデルなどの他の複製モデルとは異なり、レプリケータ方程式では、各タイプの適応度が個体群タイプの分布に動的に依存することを許容し、適応度関数をシステムの内生的要素とする。これにより、ある戦略の成功が他の戦略に対する相対的な普及度に依存する頻度依存選択をモデル化することができる。

準種モデルとのもう一つの重要な違いは、複製方程式には突然変異や新たな戦略の導入のメカニズムが含まれず、したがって革新的ではないとみなされる点である。この方程式は、すべての戦略が最初から存在すると仮定し、時間経過に伴うそれらの比率の相対的な増加または減少のみをモデル化する。

レプリケータダイナミクスは、生物学（進化と個体群動態の研究）、経済学（限定合理性と戦略進化の分析）、機械学習（特にマルチエージェントシステムと強化学習）などの分野で広く応用されてきました。

方程式

レプリケータ方程式の最も一般的な連続形式は、次の微分方程式で与えられます。

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)}}$

ここで、 は集団における型の割合、は集団における型の分布のベクトル、は型の適応度（集団に依存）、 は集団の平均適応度（集団における型の適応度の加重平均で与えられる）である。集団ベクトルの要素は定義により1となるため、この式はn次元単体上で定義される。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

複製子方程式は均一な個体群分布を仮定しており、個体群構造を適応度に考慮していません。一方、適応度地形は、準種方程式などの他の類似方程式とは異なり、型の個体群分布を考慮しています。

応用面では、母集団は一般的に有限であるため、離散型の方がより現実的です。離散型では解析がより困難で計算量も膨大になるため、連続型がしばしば用いられますが、この平滑化によって重要な特性が失われます。連続型は離散型から極限処理によって得られることに注意してください。

分析を簡素化するために、適応度は集団分布に線形に依存すると仮定されることが多く、これにより複製子方程式は次の形式で表されます。

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)}$

ここで、利得行列は 集団の適応度に関するすべての情報を保持します。期待利得は と表され、集団全体の平均適応度は と表されます。2つの割合の比率の時間変化は次のように表されます。言い換えれば、比率の変化はタイプ間の適応度の差によってのみ左右されるということです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(Ax\right)_{i}}$ ${\displaystyle x^{T}Ax}$ ${\displaystyle x_{i}/x_{j}}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}$$

決定論的および確率論的レプリケータダイナミクスの導出

タイプ の個体数がで、個体の総数が であるとします。各タイプの割合を と定義します。各タイプの変化は幾何ブラウン運動によって支配されると仮定します。ここで、はタイプ に関連付けられた適応度です。タイプの平均適応度です。ウィーナー過程は無相関であると仮定します。 について、伊藤の補題から次のようになります。偏導関数は次のようになります。ここで、 はクロネッカーのデルタ関数です。これらの関係から次のことが分かります。この方程式の各要素は次のように計算できます。各タイプの確率的レプリケータダイナミクス方程式は次のように与えられます。項が常にゼロであると仮定すると、決定論的レプリケータダイナミクス方程式が復元されます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i}=N_{i}/N}$ $${\displaystyle dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi =x^{T}f}$ ${\displaystyle x_{i}(N_{1},...,N_{m})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle dx_{i}={dN_{i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{dN_{i} \over {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

分析

解析は連続の場合と離散の場合で異なります。前者では微分方程式の手法が用いられますが、後者では確率論的な手法が用いられる傾向があります。レプリケータ方程式は非線形であるため、正確な解を得ることは困難です（連続形式の単純なバージョンであっても）。そのため、通常は安定性の観点から解析されます。レプリケータ方程式（連続形式および離散形式）は、方程式の均衡の安定性を特徴付ける進化ゲーム理論のフォーク定理を満たします。方程式の解は、多くの場合、集団の進化的に安定な状態の集合によって与えられます。

一般的な非退化の場合、内部進化安定状態（ESS）は最大で1つしか存在しないが、単体の境界上には多数の平衡状態が存在する可能性がある。単体のすべての面は前進不変であり、これは複製子方程式におけるイノベーションの欠如に対応する。つまり、戦略が一度絶滅すると、それを復活させる方法はない。

連続線形適応度レプリケータ方程式の位相ポートレート解は、2次元および3次元の場合に分類されている。高次元では、異なるポートレートの数が急速に増加するため、分類はより困難になる。

他の方程式との関係

型に関する連続複製子方程式は、次元における一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式と等価である。^{[2] [3]}変換は変数の変更によって行われる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},}$

ここではロトカ・ヴォルテラ変数である。連続レプリケータ動態はプライス方程式とも等価である。^[4] ${\displaystyle y_{i}}$

離散複製子方程式

世代が重複しない非構造化無限集団を考える場合、複製子方程式の離散形を扱う必要がある。数学的には、2つの単純な現象論的バージョンがある。

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}$

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}}$

---は、ダーウィンの自然選択の教義、あるいは類似の進化現象と整合している。ここで、プライムは次のタイムステップを表す。しかし、方程式の離散的な性質により、利得行列の要素には限界が設けられる。^[5]興味深いことに、2人2戦略ゲームの単純なケースでは、タイプIのレプリケータマップは周期倍分岐を示し、カオスにつながる可能性がある。また、進化的安定状態の概念を一般化して^[6]、マップの周期解に対応する方法についても示唆を与えている。

一般化

突然変異を組み込んだ複製子方程式の一般化は複製子-突然変異子方程式によって与えられ、連続バージョンでは次の形を取る：^[7]

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

ここで、行列は型から型 への突然変異の遷移確率、はの適応度、は集団の平均適応度です。この式は、複製子方程式と準種方程式を同時に一般化したものであり、言語の数学的解析に用いられます。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i^{th}}$ ${\displaystyle \phi }$

レプリケータ-ミューテーター方程式の離散バージョンには、上記の 2 つのレプリケータ マップに沿って 2 つの単純なタイプがあります。

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

そして

${\displaystyle x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},}$

それぞれ。

レプリケータ方程式またはレプリケータ・ミューテータ方程式は、集団状態に関する情報の遅延、あるいはプレイヤー間の相互作用の効果の実現における遅延の影響を含めるように拡張することができる^{[8] 。レプリケータ方程式は}非対称ゲームにも容易に一般化できる。集団構造を考慮した最近の一般化は、進化グラフ理論において用いられている^[9]。

参照

• ナッシュ均衡計算

参考文献

1. ホフバウアー, ヨゼフ; ジークムント, カール (2003). 「進化ゲームダイナミクス」.アメリカ数学会報. 40 (4): 479– 519. doi : 10.1090/S0273-0979-03-00988-1 . ISSN  0273-0979.
2. Bomze, Immanuel M. (1983-10-01). 「ロトカ＝ヴォルテラ方程式とレプリケータダイナミクス：2次元分類」.生物サイバネティクス. 48 (3): 201– 211. doi :10.1007/BF00318088. ISSN  1432-0770. S2CID  206774680.
3. Bomze, Immanuel M. (1995-04-01). 「ロトカ＝ヴォルテラ方程式とレプリケータダイナミクス：分類における新たな課題」.生物サイバネティクス. 72 (5): 447– 453. doi :10.1007/BF00201420. ISSN  1432-0770. S2CID  18754189.
4. Page, KAREN M.; Nowak, MARTIN A. (2002-11-07). 「進化ダイナミクスの統合」 . Journal of Theoretical Biology . 219 (1): 93– 98. Bibcode :2002JThBi.219...93P. doi :10.1006/jtbi.2002.3112. ISSN  0022-5193. PMID  12392978.
5. Pandit, Varun; Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2018). 「適応度偏差の重みがレプリケータダイナミクスにおける厳密な物理的カオスを支配する」. Chaos . 28 (3): 033104. arXiv : 1703.10767 . Bibcode :2018Chaos..28c3104P. doi :10.1063/1.5011955. PMID:  29604653. S2CID  : 4559066.
6. Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2020). 「周期軌道は進化的に安定である可能性がある：離散レプリケータダイナミクスの事例研究」. Journal of Theoretical Biology . 497 110288. arXiv : 2102.11034 . Bibcode :2020JThBi.49710288M . doi :10.1016/j.jtbi.2020.110288. PMID:  32315673. S2CID  : 216073761.
7. Nowak, Martin A. (2006).進化ダイナミクス：生命の方程式を探る. Belknap Press. pp.  272– 273. ISBN 978-0-674-02338-3。
8. Alboszta, Jan; Miękisz, Jacek (2004). 「時間遅延を伴う離散複製子ダイナミクスにおける進化的に安定な戦略の安定性」. Journal of Theoretical Biology . 231 (2): 175– 179. arXiv : q-bio/0409024 . Bibcode :2004JThBi.231..175A. doi :10.1016/j.jtbi.2004.06.012. PMID:  15380382. S2CID  : 15308310.
9. Lieberman, Erez; Hauert, Christoph; Nowak, Martin A. (2005). 「グラフ上の進化ダイナミクス」 . Nature . 433 (7023): 312– 316. Bibcode :2005Natur.433..312L. doi :10.1038/nature03204. ISSN  1476-4687. PMID  15662424. S2CID  4386820.

さらに読む

• クレスマン、R. (2003).進化ダイナミクスと拡張形式ゲーム、 MITプレス。
• Taylor, PD; Jonker, L. (1978). 「進化的安定戦略とゲームダイナミクス」.数理生物科学, 40 : 145–156.
• サンドホルム、ウィリアム・H. (2010).人口ゲームと進化ダイナミクス. 経済学習と社会進化, MIT出版.

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