応答曲面法
統計学において、応答曲面法( RSM ) は、複数の説明変数と 1 つ以上の応答変数との関係を調査します。RSM は、数学的および統計的手法を使用して入力変数 (因子とも呼ばれる) を応答に関連付ける経験モデルです。理論モデルなどの他の利用可能な方法は、使用が非常に面倒で、時間がかかり、非効率的で、エラーが発生しやすく、信頼性が低いため、RSM は非常に便利になりました。この方法は、George EP Boxと KB Wilson によって 1951 年に導入されました。RSM の主要なアイデアは、計画された一連の実験を使用して最適な応答を取得することです。Box と Wilson は、これを行うために2 次多項式モデルを使用することを提案しています。彼らは、このモデルが近似値にすぎないことを認識していますが、プロセスについてほとんど何もわかっていない場合でも、このようなモデルは推定と適用が容易であるため、このモデルを使用しています。
RSMなどの統計的アプローチは、操作要因の最適化によって特定の物質の生産量を最大化するために用いることができます。近年、処方最適化において、適切な実験計画法（DoE）を用いたRSMが広く用いられるようになっています。[ 1 ]従来の方法とは異なり、プロセス変数間の相互作用を統計的手法によって決定することができます。[ 2 ]
応答曲面法の基本的なアプローチ
一次多項式モデルを推定する簡単な方法は、要因実験または一部実施要因計画を用いることです。これは、どの説明変数が対象の応答変数に影響を与えるかを判断するのに十分です。有意な説明変数のみが残っていると判断されたら、中心複合計画などのより複雑な計画を用いて二次多項式モデルを推定することができます。二次多項式モデルは、せいぜい近似値に過ぎません。しかし、二次モデルは対象の応答変数を最適化（最大化、最小化、または特定の目標達成）するために使用できます。
重要なRSMのプロパティと機能
- 直交性
- k因子の個々の効果を、交絡なしに（あるいは最小限の交絡で）独立して推定できる性質。また、直交性はモデル係数の分散推定値を最小化し、相関がなくなるようにする。
- 回転性
- 因子空間の中心を軸として計画点を回転させる性質。計画点の分布のモーメントは一定である。
- 均一
- 中心点の数を制御するために使用される CCD 設計の 3 番目の特性は、均一な精度 (または均一性) です。
特殊な形状
キューブ
立方体のデザインについては、キーファー、アトキンソン、ドネフ、トビアス、ハーディン、スローンらが論じています。
球
球形デザインについては、キーファーとハーディンおよびスローンによって議論されています。
単体幾何学と混合実験
混合実験は、実験計画法に関する多くの書籍や、BoxとDraper、Atkinson、Donev、Tobiasによる応答曲面法の教科書で論じられています。John Cornellの上級教科書には、広範な議論と概説が掲載されています。
拡張機能
複数の目的関数
応答曲面法のいくつかの拡張は、多重応答問題に対処します。多重応答変数は、ある応答にとって最適なものが他の応答にとって最適とは限らないため、問題を複雑化させます。他の拡張は、特定の値を目標としながら単一の応答の変動を低減したり、応答の変動が大きくなりすぎないようにしながら最大値または最小値に近い値を達成したりするために使用されます。
実用的な懸念
応答曲面法は統計モデルを用いるため、実務家は、たとえ最良の統計モデルであっても現実の近似値に過ぎないことを認識する必要があります。実際には、モデルとパラメータ値はどちらも未知であり、無知に加えて不確実性に左右されます。もちろん、推定された最適点は、推定値の誤差やモデルの不適切さのために、現実には必ずしも最適とは限りません。
それでもなお、応答曲面法は研究者による製品やサービスの改善に効果的な実績を残しています。例えば、ボックス氏による独自の応答曲面モデリングにより、化学技術者は長年鞍点に留まっていたプロセスを改善することができました。技術者たちは、二次曲線モデルを推定するために三次三水準計画を当てはめる余裕がなく、バイアスのかかった線形モデルでは勾配がゼロと推定されていました。ボックス氏の設計により実験コストが削減され、二次曲線モデルを当てはめることができるようになり、（長年探し求めていた）上昇方向への道筋が開かれました。[ 3 ] [ 4 ]
参照
参考文献
- ^ Karmoker, JR; Hasan, I.; Ahmed, N.; Saifuddin, M.; Reza, MS (2019). 「ボックス-ベンケン設計によるアシクロビル負荷粘膜付着性マイクロスフェアの開発と最適化」ダッカ大学薬学ジャーナル18 ( 1): 1– 12. doi : 10.3329/dujps.v18i1.41421 .
- ^ Asadi, Nooshin; Zilouei, Hamid (2017年3月). 「Enterobacter aerogenesを用いたバイオ水素生産の増強に向けた稲わらのオルガノソルブ前処理の最適化」 . Bioresource Technology . 227 : 335–344 . Bibcode : 2017BiTec.227..335A . doi : 10.1016/j.biortech.2016.12.073 . PMID 28042989 .
- ^ボックス＆ウィルソン 1951
- ^ほぼ何でも改善する：アイデアとエッセイ、改訂版（Wileyシリーズ確率と統計）George EP Box
- Box, GEP; Wilson, KB (1951). 「最適条件の実験的達成について」.王立統計学会誌, シリーズB. 13 ( 1): 1– 45. doi : 10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x .
- Box, GEPおよびDraper, Norman. 2007. Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyses , 第2版[ Empirical Model-Building and Response Surfaces、1987]、Wiley。
- アトキンソン, AC; ドネフ, AN; トビアス, RD (2007). SASを用いた最適実験計画オックスフォード大学出版局. pp. 511+xvi. ISBN 978-0-19-929660-6。
- コーネル、ジョン（2002年）『混合物の実験：デザイン、モデル、そして混合物データの分析』（第3版）ワイリー社ISBN 978-0-471-07916-3。
- グース、ピーター (2002).ブロック実験と分割実験の最適設計. 統計学講義ノート. 第164巻. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-95515-5. 2020年10月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2009年6月1日閲覧。
- キーファー、ジャック・カール(1985). LDブラウン他編.ジャック・カール・キーファー著作集 III 実験計画法. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-96004-3。
- プケルスハイム、フリードリヒ（2006年）『最適実験計画法』SIAM出版、ISBN 978-0-89871-604-7。
- ハーディン, RH;スローン, NJA (1993). 「最適設計の構築への新たなアプローチ」(PDF) .統計計画・推論ジャーナル. 37 (3): 339– 369. doi : 10.1016/0378-3758(93)90112-J .
- Hardin, RH; Sloane, NJA 「コンピューター生成の最小（および大規模）応答曲面設計：（I）球」（PDF）。
- Hardin, RH; Sloane, NJA 「コンピューター生成の最小（および大規模）応答曲面設計：（II）キューブ」（PDF）。
- Ghosh, S.; Rao, CR編 (1996).実験計画法と分析. 統計ハンドブック. 第13巻. 北ホラント. ISBN 978-0-444-82061-7。
- ドレイパー、ノーマン；リン、デニス KJ (1996). 「11 応答曲面設計」 .応答曲面設計. 統計ハンドブック. 第13巻. pp. 343– 375. doi : 10.1016/S0169-7161(96)13013-3 . ISBN 9780444820617。
- ガフケ、ノーバート；ハイリガース、ベルトルド (1996). 「30 多項式回帰の近似デザイン：不変性、許容性、最適性」 .多項式回帰の近似デザイン：不変性、許容性、最適性. 統計ハンドブック. 第13巻. pp. 1149–99 . doi : 10.1016/S0169-7161(96)13032-7 . ISBN 9780444820617。
歴史的
- Gergonne, JD (1974) [1815]. 「最小二乗法の数列の補間への応用」 . Historia Mathematica . 1 (4) (1815年フランス語版からのRalph St. JohnとSM Stiglerによる翻訳): 439– 447. doi : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
- スティグラー、スティーブン・M. (1974). 「ジェルゴンヌの1815年の論文：多項式回帰実験の設計と分析」 . Historia Mathematica . 1 (4): 431–9 . doi : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
- ピアース, CS (1876). 「研究経済理論に関する覚書」(PDF) .沿岸調査報告書. 付録14: 197–201 .
- チャールズ・サンダース・パース著作集第7巻、1958年に再録。139～157段落、
- およびPeirce, CS (1967年7～8月)「研究経済理論に関するノート」オペレーションズ・リサーチ15 ( 4): 643–8 . doi : 10.1287/opre.15.4.643 . JSTOR 168276 .
- スミス、カースティン (1918). 「観測された多項式関数とその定数の調整値および補間値の標準偏差、ならびにそれらが観測値の分布の適切な選択に与える指針について」 . Biometrika . 12 (1/2): 1– 85. doi : 10.2307/2331929 . JSTOR 2331929 .
外部リンク
