スコットの法則

ヒストグラムビンの選択ルール

スコットのルールは、ヒストグラム内のビンの数を選択する方法です。^[1]スコットのルールは、R、^[2]、Python ^[3]、Microsoft Excelなどのデータ分析ソフトウェアで広く採用されており、デフォルトのビン選択方法となっています。^[4]

観測値の集合をある関数のヒストグラム近似とする。積分平均二乗誤差（IMSE）は ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\text{IMSE}}=E\left[\int _{-\infty }^{\infty }dx({\hat {f}}(x)-f(x))^{2}\right]}$

ここで、はデータ点の多数の独立した抽出における期待値を表す。ビン幅を で1次テイラー展開することにより、スコットはビン幅の最適値は ${\displaystyle E[\cdot ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h^{*}=\left(6/\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)^{2}dx\right)^{1/3}n^{-1/3}}$

この式はフリードマン・ディアコニス則の基礎でもあります。

正規分布を基準にすると、つまり正規分布を仮定すると、 の式は次のようになる。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h^{*}}$

${\displaystyle h^{*}=\left(24{\sqrt {\pi }}\right)^{1/3}\sigma n^{-1/3}\sim 3.5\sigma n^{-1/3}}$

ここで、は正規分布の標準偏差であり、データから推定される。このビン幅の値を用いて、スコットは^[5] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\text{IMSE}}\propto n^{-2/3}}$

サンプル数が増加するにつれて、ヒストグラム近似が実際の分布にどれだけ速く近づくかを示します。

テレル・スコット則

^{テレルとスコット[6]}によって開発された別のアプローチは、例えば、絶対連続な導関数を持つコンパクト区間上で定義されたすべての密度の中で、を最小化する密度は、 ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle |x|<1/2}$ ${\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx(g^{(k)}(x))^{2}}$

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^{2}}}(1-4x^{2})^{k},\quad &|x|\leq 1/2\\0&|x|>1/2\end{cases}}}$

これを式の中で用いると、ビン幅の値の上限が得られる。 ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle h^{*}}$

${\displaystyle h_{TS}^{*}=\left({\frac {4}{n}}\right)^{1/3}.}$

したがって、連続条件を満たす関数については、少なくとも

${\displaystyle k_{TS}={\frac {b-a}{h^{*}}}=\left(2n\right)^{1/3}}$

ゴミ箱を使用するべきである。^[7]

正規分布から抽出した10000個のサンプルを、異なる規則を用いてビンに分割した。スコット則では48個のビン、テレル・スコット則では28個のビン、スタージス則では15個のビンを使用する。

この規則は、オーバースムージング規則^[7]、またはライス規則^{[8]とも呼ばれます。これは、両著者が}ライス大学に在籍していたことに由来します。ライス規則は、立方根の外側に2の係数が乗じられることが多いため、別の規則とみなされることもあります。スコットの規則との主な違いは、この規則ではデータが正規分布していると仮定しておらず、ビンの幅はデータの属性ではなくサンプル数のみに依存することです。 ${\displaystyle 2\left(n\right)^{1/3}}$

一般に は整数ではないのでが使用されます。ここでは は天井関数を表します。 ${\displaystyle \left(2n\right)^{1/3}}$ ${\displaystyle \lceil \left(2n\right)^{1/3}\rceil }$ ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

参考文献

1. スコット、デビッド・W. (1979). 「最適ヒストグラムとデータに基づくヒストグラムについて」. Biometrika . 66 (3): 605– 610. doi :10.1093/biomet/66.3.605.
2. 「Hist 関数 - RDocumentation」。
3. 「Numpy.histogram_bin_edges — NumPy v2.1 マニュアル」。
4. 「Excel:ヒストグラムを作成する」。
5. Scott DW. スコットの法則. Wiley Interdisciplinary Reviews: 計算統計. 2010年7月; 2(4):497–502.
6. Terrell GR, Scott DW. 過剰平滑化ノンパラメトリック密度推定値. アメリカ統計学会誌. 1985年3月1日;80(389):209-14.
7. Scott, DW (2009). 「スタージスの法則」. WIREs計算統計. 1 (3): 303– 306. doi :10.1002/wics.35. S2CID  197483064.
8. オンライン統計教育：マルチメディア学習コース (http://onlinestatbook.com/). プロジェクトリーダー：ライス大学 David M. Lane (第2章「分布のグラフ化」、セクション「ヒストグラム」)

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