米の配給

Probability distribution

2次元平面において、原点から距離νの固定点を選びます。その点を中心とする2次元点の分布を生成します。x座標とy座標は、標準偏差σのガウス分布（青い領域）から独立して選択されます。これらの点から原点までの距離をRとすると、 Rはライス分布に従います。

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \nu \geq 0}$、基準点と二変量分布の中心との間の距離、スケール ${\displaystyle \sigma \geq 0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ ここでQ 1はマーカムQ関数である。
平均	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
分散	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
歪度	（複雑）
過剰尖度	（複雑）

確率論において、ライス分布（またはライス分布、あるいはあまり一般的ではないがライス分布とも呼ばれる）は、円対称な二変量正規確率変数の大きさの確率分布であり、平均がゼロではない（非心）場合もある。この分布は、スティーブン・O・ライス（1907年 - 1986年）にちなんで名付けられた。

キャラクター設定

確率密度関数は

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

ここで、I ₀ ( z )は0次の第1種修正ベッセル関数である。

ライスフェージングの文脈では、分布は、見通し内パスの電力寄与と残りのマルチパスの電力寄与の比として定義される形状パラメータと、すべてのパスで受信される総電力として定義される スケールパラメータを使用して書き換えられることが多い。^[1] ${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

ライス分布の特性関数は次のように与えられる: [ 2 ^{] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここで、は2変数ホーンの合流型超幾何関数の一つであり、および⁠ ⁠のすべての有限値に対して収束する。これは次式で与えられる: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

どこ

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

は上昇階乗です。

プロパティ

瞬間

最初のいくつかの生々しい瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}^{'}&=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{2}^{'}&=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,\\\mu _{3}^{'}&=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{4}^{'}&=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,\\\mu _{5}^{'}&=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{6}^{'}&=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\end{aligned}}}$

そして、一般的に、生のモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

ここで、 ⁠ ⁠ は ${\displaystyle L_{q}(x)}$ラゲール多項式を表します。

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

ここで、は第一種合流型超幾何関数です。⁠ ⁠が偶数の場合、生のモーメントは上記の例のように、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠における単純な多項式になります。 ${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$

⁠ ⁠ ${\displaystyle q=1/2}$の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

2番目の中心モーメントである分散は、

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

は、一般化ラゲール多項式⁠ ⁠ではなく、ラゲール多項式⁠ ⁠の平方を示していることに注意してください。 ${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot )}$

関連ディストリビューション

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$ここで、 とは統計的に独立した正規確率変数であり、は任意の実数です。 ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta }$
• 別のケースでは、次の手順に従います。 ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$
  1. パラメータ (ポアソンの場合は平均) を持つポアソン分布を持つものを生成します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
  2. 自由度⁠ ⁠のカイ二乗分布を持つものを生成します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2P+2}$
  3. セット ${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$
• の場合、自由度2、非心度パラメータ⁠ ⁠を持つ非心カイ2乗分布に従います。 ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \nu ^{2}}$
• の場合、は自由度 2 と非心度パラメータ⁠ ⁠を持つ非心カイ分布を持ちます。 ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \nu }$
• ⁠ ⁠の場合、つまり、 で与えられるライス分布の特殊なケースの場合、分布はレイリー分布となり、その分散は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \textstyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• ならば指数分布に従う。[ ^6] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R^{2}}$
• ならば逆ライス分布に従う。[ ^7] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ ${\displaystyle 1/R}$
• 折り畳み正規分布は、ライス分布の単変量制限です。

限定的なケース

引数が大きい場合、ラゲール多項式は^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \nu }$が大きくなったり、⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma }$が小さくなったりすると、平均は⁠ ⁠ ${\displaystyle \nu }$になり、分散は⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$になることがわかります。

ガウス近似への移行は次のように進行する。ベッセル関数理論から、

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\to {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

したがって、広い領域では、ライス分布の漸近展開は次のようになります。 ${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

さらに、密度が の周りに集中している場合、ガウス指数のため、次のように書くことができ、最終的に正規近似が得られる。 ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$ ${\textstyle {\sqrt {{x}/{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

この近似値は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\nu }/{\sigma }>3}$に使用可能になります。

パラメータ推定（Koay逆変換法）

ライス分布のパラメータを推定する方法は3つあります。(1)モーメント法、^{[9] [10] [ 11] [12]} (2)最尤法、^{[9] [10] [11 ] [13]} (3)最小二乗法です。^[要出典]最初の2つの方法では、データのサンプルから分布のパラメータ⁠ ⁠ ${\displaystyle \nu }$と⁠ ⁠を推定することに重点が置かれています。これは、モーメント法、たとえばサンプル平均とサンプル標準偏差を使用して行うことができます。サンプル平均は ${\displaystyle \sigma }$⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu _{1}^{'}}$の推定値であり、サンプル標準偏差は⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu _{2}^{1/2}}$の推定値です。

以下は「Koay逆変換法」として知られる効率的な手法である。^{[14] は}、標本平均と標本標準偏差に基づく推定方程式を同時に解く。この逆変換法は、 SNRの固定点式としても知られている。モーメント法に関する以前の研究^{[9] [15]}では、通常、問題を解くために根を求める方法が用いられているが、これは効率的ではない。

まず、標本平均値と標本標準偏差の比は⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$、すなわち⁠ ⁠ ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$と定義されます。SNRの固定小数点式は次のように表されます。

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

ここで、 はパラメータの比、すなわち⁠ ⁠であり、次のように与えられます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\nu }/{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

ここで、および は第 1 種修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

は のスケーリング係数であり、 と次の関係があることに注意してください。 ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.}$

⁠ ⁠の不動点⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta ^{*}}$を見つけるために、下限値 よりも大きい初期解⁠ ⁠が選択され、 ^[14]のときに発生します（これはレイリー分布の であることに注意してください）。これは、関数合成^{[明確化が必要]}を使用する反復の開始点を提供し、 がある小さな正の値よりも小さくなるまで続行されます。ここで、は同じ関数⁠ ⁠の合成を表します。実際には、何らかの整数 ⁠ ⁠ の最終値を不動点⁠ ⁠ 、つまり⁠ ⁠と関連付けます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\theta }_{0}}$ ${\displaystyle {\theta }_{\text{lower bound}}=0}$ ${\textstyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$ ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$ ${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$ ${\displaystyle g^{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

固定点が見つかると、推定値とがスケーリング関数⁠ ⁠を通じて次のように求められます。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

そして

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

反復処理をさらに高速化するために、ニュートン法による根探索法を使用することができます。^[14]この特定のアプローチは非常に効率的です。

アプリケーション

• 二変量円対称正規分布ランダムベクトルのユークリッドノルム。
• ライスフェージング（マルチパス干渉用）
• 照準誤差が標的射撃に及ぼす影響^[16]
• 無線通信におけるダイバーシティ受信機の解析。^{[17] [18]}
• 長期数値積分後の太陽系内部モデルの離心率分布。^[19]
• 磁気共鳴画像におけるノイズの分布はライス分布である^[20]

参照

• ホイト分布
• レイリー分布

参考文献

1. Abdi, A.、Tepedelenlioglu, C.、Kaveh, M.、Giannakis, G.、「ライスフェーディング分布のKパラメータの推定について」、IEEE Communications Letters、2001年3月、p. 92–94
2. Liu 2007 (2変数のホーンの合流型超幾何関数の1つ)。
3. Annamalai 2000 (無限級数の合計)。
4. エルデイ 1953.
5. スリヴァスタヴァ 1985.
6. Richards, MA, RCS 向け米の配布、ジョージア工科大学 (2006 年 9 月)
7. Jones, Jessica L., Joyce McLaughlin, Daniel Renzi. 「固定空間位置における到着時間を用いて計算されたせん断波速度画像におけるノイズ分布」, Inverse Problems 33.5 (2017): 055012.
8. アブラモウィッツとステグン（1968）§13.5.1
9. Talukdarら 1991
10. ボニーら 1996
11. Sijbers et al. 1998
12. デン・デッカーとシバーズ 2014
13. バラダラジャンとハルダー 2015
14. Koay et al. 2006 （SNR固定小数点式として知られる）。
15. アブディ 2001
16. "Ballistipedia" . 2014年5月4日閲覧。
17. Beaulieu, Norman C; Hemachandra, Kasun (2011年9月). 「二変量ライス分布の新しい表現」. IEEE Transactions on Communications . 59 (11): 2951– 2954. doi :10.1109/TCOMM.2011.092011.090171. S2CID  1221747.
18. ダルマワンサ、プラタパーシンハ;ラジャテヴァ、ナンダナ。チンタナンダ州テランブラ（2009 年 3 月）。 「三変量非心カイ二乗分布の新しい級数表現」(PDF)。IEEE 通信トランザクション。57 (3 ) : 665–675。CiteSeerX 10.1.1.582.533 。土井：10.1109/TCOMM.2009.03.070083。S2CID  15706035。 
19. Laskar, J. (2008年7月1日). 「太陽系におけるカオス的拡散」. Icarus . 196 (1): 1– 15. arXiv : 0802.3371 . Bibcode :2008Icar..196....1L. doi :10.1016/j.icarus.2008.02.017. ISSN  0019-1035. S2CID  11586168.
20. Gudbjartsson, HáKon; Patz, Samuel (1995年12月). 「ノイズの多いMRIデータのライス分布」. Magnetic Resonance in Medicine . 34 (6): 910– 914. doi :10.1002/mrm.1910340618.

さらに読む

• Abramowitz, M.およびStegun, IA（編）、『数学関数ハンドブック』、National Bureau of Standards、1964年；Dover Publications、1965年に再版。ISBN 0-486-61272-4
• ライス、SO、「ランダムノイズの数学的解析」ベルシステム技術ジャーナル24（1945）46–156。
• I. Soltani Bozchalooi; Ming Liang (2007年11月20日). 「信号ノイズ除去および障害検出におけるウェーブレットパラメータ選択への平滑性指標に基づくアプローチ」. Journal of Sound and Vibration . 308 ( 1–2 ): 253– 254. Bibcode :2007JSV...308..246B. doi :10.1016/j.jsv.2007.07.038.
• 王 董; 周 強; 崔 國亮 (2017). 「加法性ガウスノイズにおけるガボールウェーブレット係数の絶対値の分布と無次元平滑性指標の上限について：再考」『Journal of Sound and Vibration』395 : 393– 400. doi :10.1016/j.jsv.2017.02.013.
• Liu, X. および Hanzo, L.、「フェージング チャネル上で BPSK 変調を使用する非同期 DS-CDMA システムの統一された正確な BER パフォーマンス分析」、IEEE Transactions on Wireless Communications、第 6 巻、第 10 号、2007 年 10 月、pp. 3504–3509。
• Annamalai, A.、Tellambura, C.、および Bhargava, VK、「無線チャネルにおける等利得ダイバーシティ受信機のパフォーマンス」、IEEE Transactions on Communications、第 48 巻、2000 年 10 月、pp. 1732–1745。
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, FG, Higher Transcendental Functions, Volume 1. Archived 11 August 2011 at the Wayback Machine McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, HMおよびKarlsson, PW, 「多重ガウス超幾何級数」Ellis Horwood Ltd., 1985年。
• Sijbers J., den Dekker AJ, Scheunders P. and Van Dyck D., "Maximum Likelihood Estimation of Rician distribution parameters" Archived 19 October 2011 at the Wayback Machine , IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, Nr. 3, pp. 357–361, (1998)
• Varadarajan D. および Haldar JP、「ライスおよび非中心カイ二乗MR画像のためのMajorize-Minimizeフレームワーク」、IEEE Transactions on Medical Imaging、第34巻、第10号、pp. 2191–2202、(2015)
• den Dekker, AJ; Sijbers, J (2014年12月). 「磁気共鳴画像におけるデータ分布：レビュー」. Physica Medica . 30 (7): 725– 741. doi :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
• Koay, CGおよびBasser, PJ、「ノイズの多い振幅MR信号からの信号抽出のための解析的に正確な補正方式」、Journal of Magnetic Resonance、第179巻、第2号、p. 317–322、（2006年）
• Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M., およびGiannakis, G. Rice フェーディング分布の K パラメータの推定について、IEEE Communications Letters、第 5 巻、第 3 号、2001 年 3 月、92 ～ 94 ページ。
• Talukdar, KK; Lawing, William D. (1991年3月). 「ライス分布のパラメータ推定」. Journal of the Acoustical Society of America . 89 (3): 1193– 1197. Bibcode :1991ASAJ...89.1193T. doi :10.1121/1.400532.
• Bonny, JM; Renou, JP; Zanca, M. (1996年11月). 「MRデータからの振幅と位相の最適測定」. Journal of Magnetic Resonance, Series B. 113 ( 2): 136– 144. Bibcode :1996JMRB..113..136B. doi :10.1006/jmrb.1996.0166. PMID  8954899.

外部リンク

• ライス/ライス分布のMATLABコード（PDF、平均と分散、ランダムサンプルの生成）

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