リーマン xi 関数

リーマンゼータ関数のより単純な変種

複素平面におけるリーマンxi関数。点の色は関数の値を表します。濃い色は値が0に近いことを示し、色相は値の偏角を表します。 ${\displaystyle \xi (s)}$ ${\displaystyle s}$

数学において、リーマン・クィ・関数はリーマン・ゼータ関数の変種であり、非常に単純な関数方程式を持つように定義される。この関数はベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられている。

意味

リーマンの元々の小文字の「xi」関数は、エドモンド・ランダウによって（ギリシャ文字の大文字の「xi」）に改名されました。ランダウの（小文字の「xi」）は次のように定義されます^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

について。ここで はリーマンゼータ関数、はガンマ関数を表します。 ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

ランダウの関数方程式（または反射式）は ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}$

リーマンの元の関数は、ランダウによって大文字と改名され[ ^1]、 ${\displaystyle \Xi }$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$

そして関数方程式に従う

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z).}$

どちらの関数も、実引数に対しては完全かつ純粋に実数です。

価値観

正の偶数の一般的な形は

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

ここで⁠ ⁠番目のベルヌーイ数を表します。例えば、 ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

シリーズ表現

この関数は級数展開を持つ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

ここで、和は、ゼータ関数の非自明な零点、 の順に拡張されます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \vert \Im (\rho )\vert }$

この展開は、リーマン予想がすべての正のに対して であることと同等であると述べるLi の基準において特に重要な役割を果たします。 ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

アダマール積

単純な無限積展開は

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),}$

ここで、 は の根の上の範囲です。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \xi }$

展開の収束を確実にするために、積は「一致するゼロのペア」、つまり、形式のゼロのペアの因数をグループ化する必要があります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

参考文献

1. ランドー、エドマンド(1974) [1909]。Handbuch der Lehre von der Verreilung der Primzahlen [素数分布研究ハンドブック] (第 3 版)。ニューヨーク：チェルシー。 §70-71および894ページ。

• ワイスタイン、エリック・W.「Xi関数」。MathWorld。
• Keiper, JB (1992). 「リーマンのxi関数の冪級数展開」.計算数学. 58 (198): 765– 773. Bibcode :1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

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