リーマン問題

リーマン問題は、ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた、保存方程式と、対象領域において単一の不連続性を持つ区分定数初期データから構成される、特定の初期値問題です。リーマン問題は、衝撃波や希薄波などのすべての特性が解の特性として現れるため、オイラー保存方程式などの方程式を理解する上で非常に有用です。また、オイラー方程式などの複雑な非線形方程式の厳密解も与えます。

線形気体力学におけるリーマン問題

簡単な例として、気体力学における1次元リーマン問題の特性を調べます（Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Pg 44, Example 2.5）

初期条件は次のように与えられる。

{\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x\leq 0\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x>0

ここで、x = 0 は線形化された気体力学方程式とともに 2 つの異なる状態を分離します (導出については気体力学を参照)。

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}

ここで、一般性を失うことなくと仮定することができます。上記の式を保存的な形で書き直すことができます。 $a\geq 0$

U_{t}+A\cdot U_{x}=0

：

ここで

U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}

添え字は対応する変数（つまりxまたはt）に関する偏微分を表します

系の固有値は系の特性であり、媒質の伝播速度（不連続点の伝播速度を含む）を表す。ここでは音速である。対応する固有ベクトルは $\lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a$

\mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.

左状態を固有ベクトルで分解すると、 $u_{L}$ $\alpha _{1},\alpha _{2}$

U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.

これで、とを解くことができます。 $\alpha _{1}$ $\alpha _{2}$

{\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}

同様に

U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}

に対して

{\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}

これを用いて、2つの特性の間の領域において、最終的な定数解を得ます $t=|x|/a$

U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}

そして、領域全体における（区分的に定数の）解は次のようになります。 $t>0$

U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}

これは単純な例ですが、基本的な性質を示しています。特に注目すべきは、この特性によって解が3つの領域に分解されることです。これら2つの方程式の伝播速度は、音の伝播速度に相当します。

最も速い特性変数はクーラン・フリードリヒス・レヴィ（CFL）条件を定義し、これは明示的な数値解析法が安定となる最大時間ステップの制約を定める。一般的に、使用される保存則の数が増えるほど、関係する特性変数の数も増える。

Toro, Eleuterio F. (1999).流体力学のためのリーマンソルバーと数値解析法. ベルリン: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8。
ルヴェック、ランドール・J. (2004).双曲型問題のための有限体積法. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-81087-6。