リース空間

Partially ordered vector space, ordered as a lattice

数学において、リース空間、格子順序ベクトル空間、またはベクトル格子は、順序構造が格子である部分的に順序付けられたベクトル空間です。

リース空間は、1928 年の論文Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéairesで最初にリース空間を定義したFrigyes Rieszにちなんで名付けられました。

リース空間は幅広い応用を持つ。特に測度論においては、重要な結果がリース空間の結果の特殊ケースとなるという点で重要である。例えば、ラドン・ニコディムの定理はフロイデンタールのスペクトル定理の特殊ケースとして成り立つ。リース空間は、ギリシャ系アメリカ人の経済学者であり数学者であるチャラランボス・D・アリプランティスの研究を通じて、数理経済学にも応用されている。

意味

予選

が順序付きベクトル空間（定義により実数上のベクトル空間）であり、が のサブセットである場合、すべての に対して（または）であれば、元はの上限（または下限）です。の元が の最小の上限または極大（またはより大きい下限または最小値）である場合、それは の上限（または下限）であり、 （または ）の任意の上限（または任意の下限）に対して である場合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\leq b}$ ${\displaystyle s\geq b}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\geq b}$

定義

順序付きベクトル格子

順序付きベクトル格子は、すべての要素のペアが上限を持つ順序付きベクトル空間 です。 ${\displaystyle E}$

より明確に言えば、順序付きベクトル格子は、任意の に対して となるような順序が与えられたベクトル空間です。 ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle x,y,z\in E}$

1. 翻訳不変性：意味する ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x+z\leq y+z.}$
2. 正の同次性：任意のスカラーに対して、 ${\displaystyle 0\leq a,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle ax\leq ay.}$
3. 任意のベクトルの対に対して、 の位数に関して上限（ と表記）が存在する。 ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \,(\leq ).\,}$

事前順序は、項目1と2（ベクトル空間構造と両立する）と相まって、事前順序付きベクトル空間を形成する。項目3は、事前順序が結合半格子であると述べている。事前順序はベクトル空間構造と両立するため、任意のペアには下限も存在し、これにより会合半格子、すなわち格子が形成されることが示される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

順序付きベクトル空間が順序付きベクトル格子となるのは、次の同等の特性のいずれかを満たす場合のみです。 ${\displaystyle E}$

1. 彼らの最高峰は ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
2. それらの最小値は ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
3. いかなる場合もその最小値と最大値は ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
4. 任意の^[1]に存在する ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle \sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle E.}$

リース空間とベクトル格子

リース空間またはベクトル格子は、その前順序が半順序である前順序付きベクトル格子である。同様に、それは順序が格子である順序付きベクトル空間である。

多くの著者はベクトル格子が単に前順序付きベクトル空間ではなく半順序付きベクトル空間であることを要求したが、他の著者は前順序付きベクトル空間のみを要求することに注意されたい。以下では、すべてのリース空間とすべてのベクトル格子は順序付きベクトル空間であるが、前順序付きベクトル格子は必ずしも半順序付きであるとは限らないと仮定する。

が上の順序付きベクトル空間であり、その正錐（元）が を生成する（つまり となる）場合、また任意の または に対して が存在する場合、はベクトル格子である。^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,\geq 0}$ ${\displaystyle E=C-C}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle E}$

間隔

半順序ベクトル空間における順序区間は、 という形式の凸集合である。順序付けられた実 ベクトル空間では、 という形式の区間はすべて均衡している。^[3] 上記の公理 1 と 2 から、 が成り立ち、 が意味する 。 部分集合が順序境界を持つとは、ある順序区間に含まれることを意味する。^[3]順序付けされたベクトル空間の 順序単位とは、を吸収する任意の元である。^[3] ${\displaystyle [a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle tx(1-t)y\in [a,b].}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

順序付きベクトル空間上のすべての線形関数の集合で、すべての順序区間を有界集合に写すものは の順序境界双対と呼ばれ、 ^[3]で表されます。 空間が順序付けされている場合、その順序境界双対はその代数的双対のベクトル部分空間です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{b}.}$

ベクトル格子の部分集合は、任意の空でない部分集合に対して、とが存在し、の要素であるとき、順序完全と呼ばれます。 ベクトル格子が順序完全であるとは、が^[4]の順序完全部分集合であるときです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

分類

有限次元リース空間はアルキメデスの性質によって完全に分類される。

定理：^[5]が有限次元のベクトル格子であるとする。がアルキメデス順序であるならば、（ベクトル格子は）その正準順序の下で と同型である。そうでない場合、を満たす整数が存在し、はの正準順序を持ち、は辞書式順序を持ち、これら2つの空間の積は の正準積順序を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

同じ結果は無限次元では成立しない。カプランスキーによる例として、有限個点を除いて連続で、かつ2次の極を持つ[0,1]上の関数のベクトル空間Vを考える。この空間は通常の点ごとの比較によって格子順序付けられるが、任意の基数κに対して^ℝκと書くことはできない。^[6] 一方、ℝベクトル空間のカテゴリにおけるエピモノ因数分解はリース空間にも適用される。格子順序付けされたすべてのベクトル空間は、^ℝκの商に実体部分空間を注入する。^[7]

基本的なプロパティ

すべてのリース空間は半順序ベクトル空間であるが、すべての半順序ベクトル空間がリース空間であるわけではない。

の任意の部分集合に対して、最大値または最小値のいずれかが存在する場合（その場合、両方とも存在する）に注意する。[ 2 ^]ならば^[2]リース空間内の 任意の部分集合に対して[ ^4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y].}$ ${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}$

絶対値

リース空間の任意の元に対して、で表されるの絶対値は^[4]と定義され、これは と を満たす。任意の実数と任意の 元に対して、と^{[4] が}成り立つ。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|:=\sup\{x,-x\},}$ ${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$ ${\displaystyle |x|\geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle |rx|=|r||x|}$ ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}$

不連続性

ベクトル格子内の2つの要素は、のとき格子素である、 あるいは のとき素であるといい、その場合次のように書く。2つの要素が素であるのは、 のときかつその場合に 限る。が素である場合、となり、任意の要素と に対して となる 。2つの集合と が素であるのは、 と がすべてに対して素であり、 がすべてに対して素である場合、 となる。その場合次のように書く^{。[ 2]}が単集合である 場合、 の代わりに と書く。 任意の集合に対して、素補集合を の集合[2] と定義する。 素補集合は常にバンドとなるが、その逆は一般には成り立たない。が存在するのサブセットである場合、 が存在し、がのサブセット格子で から素である場合、はから素である格子^{[2]となる。} ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \inf\{|x|,|y|\}=0,}$ ${\displaystyle x\perp y.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$ ${\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}$ ${\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle A\perp B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle a\perp B}$ ${\displaystyle \{a\}\perp B.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sup A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

正の要素の互いに素な和として表現する

任意の と を仮定し、これらの要素は両方とも であり、 であることに注意する。すると、と は互いに素であり、 は、互いに素な要素の差として一意に表現される。^[2] すべての と について、^[2]との 場合、と の場合に 限り、と^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}$ ${\displaystyle \geq 0}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}.}$ ${\displaystyle x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$ ${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y.}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}\leq y^{-}.}$

任意のリース空間は分配格子である。つまり、以下の同値な^[注1]性質を持つ：^[8]すべての ${\displaystyle x,y,z\in X}$

1. ${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$
2. ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$
3. ${\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}$
4. ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$そして常に暗示する ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$ ${\displaystyle x=y.}$

すべてのリース空間にはリース分解性質があります。

順序収束

リース空間の順序構造に関して、列またはネットの収束を定義する意味のある非等価な方法がいくつか存在する。リース空間内の列が単調収束するとは、それが単調減少列（または単調増加列）であり、その最小値（または最大値）が に存在し、 （または）で表記される場合を指す。 ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x_{n}\downarrow x}$ ${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$

リース空間における数列は、単調収束する数列が存在し、その数列が ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}$

がリース空間の正の元であるとき、任意のに対して、すべてのに対してとなるような が存在するとき、その数列はu-一様収束すると言われる。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}$ ${\displaystyle n>N.}$

部分空間

これらの空間によって提供される追加の構造は、異なる種類のリース部分空間を提供します。リース空間における各種類の構造の集合（例えば、すべてのイデアルの集合）は、分配格子を形成します。

部分格子

がベクトル格子であるとき、ベクトル部分格子は、すべてのに対してがに属するベクトル部分空間である（ただし、この上限は に含まれる）。^[4]の部分空間がその標準順序の下でベクトル格子であるが、のベクトル部分格子ではない 場合がある。^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

理想

リース空間のベクトル部分空間は、それが固体 であるときイデアルと呼ばれる。つまり、 に対して であり、が成り立つときである。^[4]任意のイデアルの集合の共通部分もイデアルであり、 の空でない部分集合を 含む最小のイデアルの定義が可能になり、によって生成されるイデアルと呼ばれる。 単集合によって生成されるイデアルは主イデアルと呼ばれる。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle g\in E,}$ ${\displaystyle |g|\leq |f|}$ ${\displaystyle g\in I.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

バンドとσイデアル

リース空間のバンドは 、その絶対値が実際に - に含まれる任意の正の元からなる部分集合の最大値となるような任意の元に対して、 -という追加の特性を持つイデアルとして定義されます。イデアルも同様に定義されますが、「任意の部分集合」という語句が「可算部分集合」に置き換えられます。明らかにすべてのバンドは -イデアルですが、その逆は一般には成り立ちません。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

任意のバンド族の共通部分もまたバンドである。イデアルと同様に、の空でない部分集合ごとに、その部分集合を含む最小のバンドが存在し、これを によって生成されるバンドと呼ぶ。 単集合によって生成されるバンドは主バンドと呼ばれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

投影バンド

リース空間のバンドは、すべての要素が2つの要素の和として一意に表すことができる場合、射影バンドと呼ばれます。 この場合、次の式を満たす正の線形べき等性、つまり射影も存在します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle f=u+v}$ ${\displaystyle u\in B}$ ${\displaystyle v\in B^{\bot }.}$ ${\displaystyle P_{B}:E\to E,}$ ${\displaystyle P_{B}(f)=u.}$

リース空間におけるすべての射影帯の集合はブール代数を形成する。空間によっては射影帯が非自明ではない場合もあり（例えば）、このブール代数は自明となることがある。 ${\displaystyle C([0,1])}$

完全

ベクトル格子は、すべての部分集合に上限と下限の両方がある場合に完全です。

ベクトル格子は、上限を持つ各集合に上限があり、下限を持つ各集合に下限がある場合、デデキント完全です。

順序完備で規則的に順序付けられたベクトル格子で、その順序双対における標準像が順序完備であるものは極小と呼ばれ、極小型であると言われる。^[4]

部分空間、商、積

部分格子

が順序付きベクトル空間のベクトル部分空間である場合、の正錐によって誘導される上の標準順序は、が適切な場合（つまり の場合）にこの錐が適切な、尖った凸錐によって誘導される順序である。^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }$

ベクトル格子の部分格子は、すべてのに対してがに属するようなのベクトル部分空間である（重要な点として、この上限は に取り込まれ、 には取り込まれないことに注意）。^[3]が の 場合、形式（ただし）のすべての写像によって定義されるの2 次元ベクトル部分空間は、誘導順序の下ではベクトル格子であるが、の部分格子ではない^[5] 。 これは、順序完備なアルキメデス的順序付けされた位相ベクトル格子であるにもかかわらずである。さらに、この空間のベクトル部分格子が存在し、には空の内部空間を持つがには正の線形関数がなく、には正の線形関数に拡張できない^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in M,}$ ${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto at+b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\cap C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

商格子

を正錐を持つ順序付きベクトル空間のベクトル部分空間とし、を正準射影とし、を とすると、は 商空間に正準順序付けを誘導する の錐となります。が の真錐である 場合、 は順序付きベクトル空間になります。 ^[3]が-飽和である 場合、の正準順序を定義します。^[5]は、 が真錐ではない順序付きベクトル空間の例を示している ことに注意してください。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

がベクトル格子であり、がの立体ベクトル部分空間である場合、の標準順序が定義され、その下ではベクトル格子であり、標準写像はベクトル格子準同型である。さらに、が順序完備であり、がの帯である場合、は^[5]と同型である。 また、が立体である場合、の順序位相は^[5]上の順序位相の商である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle L/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

が位相ベクトル格子であり、が閉立体部分格子である場合、も位相ベクトル格子である。^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

製品

が任意の集合であるとき、からへのすべての関数の空間は適切な錐によって標準順序付けられる^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

が順序付きベクトル空間の族であり、 の正錐が であるとすると、は の尖った凸錐であり、上の標準順序を決定する。 が 真錐である場合、 はすべて真錐である。^[3] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

代数的直和

の代数的直和 は、 ^[3]から継承された標準的な部分空間順序が与えられた のベクトル部分空間です。が順序付きベクトル空間の順序付きベクトル部分空間である場合、 の標準的な代数的同型(標準的な積の順序を持​​つ) が順序同型 である場合、はこれらの部分空間の順序付き直和です。^[3] ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

線型写像の空間

ベクトル空間内の錐は、がベクトル空間全体に等しいとき、生成錐であるという。 ^[3] とがそれぞれ正錐を持つ2つの非自明な順序付きベクトル空間であり、がで生成する場合、かつその場合に限り、集合がの真錐であり、 が からへのすべての線型写像の成す空間である場合 、この場合、 によって定義される順序はの標準順序と呼ばれる。^[3] より一般的には、が の任意のベクトル部分空間であってが真錐である場合、 によって定義される順序はの標準順序と呼ばれる。^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

2つの順序付きベクトル空間とから成り、それぞれ正の錐とを持つ線型写像は、次式を満たすとき正と呼ばれる。とが順序完備のベクトル格子 であり、がからへのすべての正の線型写像の集合であるとき、の部分空間はその標準順序の下で順序完備ベクトル格子である。さらに、には、の順序区間をの順序区間に写像する線型写像がちょうど含まれる^[5]。 ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(C)\subseteq D.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M:=H-H}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

正関数と順序双対

順序付きベクトル空間上の線型関数は、次が成り立つとき正線型関数と呼ばれる 。 によって表されるベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は、 の極に等しい円錐である。順序付きベクトル空間の順序 双対は、 によって定義される集合で、 によって表される。 ただし、集合の等式が成り立たない順序付きベクトル空間も存在する。^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

ベクトル格子準同型

とが正錐を持つ順序付きベクトル格子であり、が写像であるとする。すると、が線型であり、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合、は順序付きベクトル格子準同型となる。 ^{[9] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$格子演算を保存する
2. ${\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}$すべての人のために ${\displaystyle x,y\in X.}$
3. ${\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}$すべての人のために ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. ${\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$すべての人のために ${\displaystyle x\in X.}$
5. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$すべての人のために ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle u(C)=D}$そして^[5]の実集合である。 ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$

全単射である順序付きベクトル格子準同型は、順序付きベクトル格子同型です。

2 つのリース空間間の順序付きベクトル格子準同型はベクトル格子準同型と呼ばれます。また、それが全単射でもある場合はベクトル格子同型と呼ばれます。

が正の円錐を持つベクトル格子上の非ゼロ線形関数である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

1. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$は、射影ベクトル格子準同型です。
2. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$すべての人のために ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle u\geq 0}$そして、​​ ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle u'}$円錐の極端光線を生成する ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

円錐の極光線とは、がゼロでない集合であり、が成り立つとき、あるに対して成り立つようなものである^。[9] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in C}$ ${\displaystyle x-y\in C}$ ${\displaystyle y=sx}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq 1.}$

からへのベクトル格子準同型は、およびにそれぞれの順序位相が与えられているとき、位相準同型である。^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

投影特性

リース空間には数多くの射影特性があり得る。リース空間は、すべての（主）帯が射影帯であるとき、（主）射影特性を持つと言われる。

いわゆる主包含定理は、以下の追加の特性と（主）射影特性を関連付けます。^[10]リース空間は...

• 上で有界なすべての空でない集合に上限がある場合、デデキント完全 (DC) である。
• 上で有界なすべての空でない集合に、同一の上限を持つ可算な部分集合がある場合、超デデキント完全 (SDC) となる。
• デデキント完全とは、上界を持つすべての可算な空でない集合が上限を持つ場合であり、 ${\displaystyle \sigma }$
• および のすべての正の要素のペアに対して、すべての整数 に対して不等式が成り立つときはいつでも、アルキメデスの性質が成り立ちます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

これらの特性は次のように関連しています。SDC は DC を意味します。DC はデデキント完全性と射影特性の両方を意味します。デデキント完全性と射影特性の両方が個別に主射影特性を意味します。主射影特性はアルキメデス特性を意味します。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

逆の含意はいずれも成り立ちませんが、デデキント完全性と射影特性を合わせると DC が意味されます。 ${\displaystyle \sigma }$

例

• によって定義される点毎半順序を持つ位相空間上の、コンパクト台を持つ連続実数値関数の空間。この場合、すべてのに対してはリース空間となる。これはアルキメデス的であるが、通常、更なる条件（例えば、極端に不連続であること）を満たさない限り、主射影性を持たない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X}$
• （ほぼどこでも）点ごとの半順序を持つ任意の空間は、デデキント完全なリース空間です。 ${\displaystyle L^{p}}$
• 辞書式順序を持つ空間は非アルキメデス的リース空間である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

プロパティ

• リース空間は格子順序群である
• あらゆるリース空間は分配格子である

参照

• 凸錐 – 正の線形結合に対して閉じた数学的集合
• 最小値と最大値 – 最大の下限と最小の上限
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序空間 – 半順序位相空間

注記

1. 条件は、格子内のすべての三つ組に適用される場合にのみ等価です。例えば、 N ₅には、最初の式を満たすが2番目の式を満たさない要素が存在します。

参考文献

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、139–153頁。
2. Schaefer & Wolff 1999、74–78 ページ。
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5. Schaefer & Wolff 1999、pp. 250–257。
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9. Schaefer & Wolff 1999、205–214頁を参照。
10. ルクセンブルク、WAJ;ザーネン、AC (1971)。リース・スペース：Vol. 1. ロンドン: 北オランダ。122 ～ 138ページ 。ISBN 0720424518. 2018年1月8日閲覧。

参考文献

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外部リンク

• 数学百科事典のリース空間

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