リンドラー座標

Tool from special relativity

リンドラー座標は、特殊相対性理論において、平坦な時空における等加速参照系の双曲的加速を記述するために用いられる座標系である。相対論的物理学において、双曲的加速参照系^{[H 1] [1]は、平坦な}ミンコフスキー時空 [ 2]の一部を表す重要かつ有用な座標チャートを構成する。^{[3] [ 4] [5]}特殊相対性理論では、等加速粒子は双曲運動をし、そのためには、粒子が静止している等加速参照系をその固有参照系として選ぶことができる。この双曲的加速系における現象は、一様な重力場で生じる効果に例えることができる。平坦時空における加速の一般的な概要については、「加速 (特殊相対性理論)」および「固有参照系 (平坦時空)」を参照のこと。

この記事では、光速はc = 1で定義され、慣性座標は( X , Y , Z , T )、双曲座標は( x , y , z , t )です。これらの双曲座標は、加速されている観測者の位置に応じて、主に 2 つの種類に分けられます。観測者が時間T = 0に位置X = 1/α ( αは共動加速度計で測定された一定の固有加速度) にいる場合、双曲座標は対応するリンドラー計量と共にリンドラー座標と呼ばれることがよくあります。^[6]観測者が時間T = 0に位置X = 0にいる場合、双曲座標は対応するコットラー・モラー計量と共にモラー座標^[1]またはコットラー・モラー座標と呼ばれることもあります。^[7]双曲運動する観測者に関連する別のチャートは、レーダー座標^[8]を使用することで得られ、これはラス座標と呼ばれることもあります。^{[9] [10]}コットラー・メラー座標とラス座標はどちらもリンドラー座標とも呼ばれます。^[11]

歴史的には、このような座標は特殊相対論の出現直後に導入され、双曲運動の概念と並行して（完全にまたは部分的に）研究されました。平坦なミンコフスキー時空との関係では、アルバート・アインシュタイン（1907、1912）、^{[H 2]} マックス・ボルン（1909） 、 ^{[ H 1]}アーノルド・ゾンマーフェルト（ 1910 ）、 [ ^{H 3]}マックス・フォン・ラウエ（1911）、^{[H 4]}ヘンドリック・ローレンツ（1913）、[H 5 ^]フリードリヒ・コットラー（ 1914 ）、^{[H 6]}ヴォルフガング・パウリ（1921）、[H 7] カール・ボレルト（1922）、^{[H 8]}ステパン・モホロヴィチッチ（ 1922）、^{[H 9]}ジョルジュ・ルメートル（1924）、^{[H 10]}アインシュタインとネイサン・ローゼン（1935）、^{[H 2]}クリスチャン・メラー（1943、1952）、^{[H 11]}フリッツ・ローリッヒ（1963）、^[12]ハリー・ラス（1963）、^{[13]そして、}一般相対性理論の平坦な時空と曲がった時空の両方に関連して、ヴォルフガング・リンドラー（1960、1966）によって説明された。 ^{[14] [15]}詳細と出典については、§ 歴史 を参照のこと。

リンドラーフレームの特徴

式( 1a )のリンドラー図をミンコフスキー図上にプロットしたもの。破線はリンドラー地平線である。 ${\displaystyle \alpha =0.5}$

固有時間とラピディティの関数として、-方向に一定の固有加速度を持つ双曲運動をしている物体の世界線は^、[16]で与えられる。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \alpha \tau }$

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$

ここでは定数、は変数であり、世界線は双曲線 に類似している。ゾンマーフェルト^{[H 3] [17]}は、 を変数、 を定数として定義することで、これらの式を再解釈できることを示した。これは、共動観測者によって測定された双曲線運動する物体の同時「静止形状」を表す。 と設定して観測者の固有時間を双曲線的に加速された系全体の時間として使用すると、慣性座標系と双曲線座標系間の変換式は、結果として以下のようになる。^{[6] [9]} ${\displaystyle x=1/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \tau }$ ${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha \tau }$ ${\displaystyle \tau =t}$

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z}$

1a

逆の場合

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

微分してミンコフスキー計量に挿入する

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}+\mathrm {d} Y^{2}+\mathrm {d} Z^{2},}$

双曲的に加速されたフレームにおける計量は次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(\alpha x)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

1b

これらの変換により、リンドラー観測者はリンドラー座標系で「静止している」、つまりx、y、zが一定に保たれ、時間の経過に応じてtのみが変化する観測者として定義されます。 が、固有時間がリンドラー座標時間に等しいと定義されるリンドラー観測者の固有加速度（双曲線 に沿った）を表す場合、座標は領域（しばしばリンドラーくさびと呼ばれる）で有効です。 この世界線を維持するために、観測者は一定の固有加速度で加速する必要があり、（リンドラー地平線）に近いリンドラー観測者ほど固有加速度が大きくなります。 すべてのリンドラー観測者は、慣性系において時間 で瞬間的に静止しており、この時点で固有加速度を持つリンドラー観測者は位置（実際には ですが、 の単位であると仮定します） にあり、これはリンドラー座標系におけるリンドラー地平線からのその観測者の一定距離でもあります。全てのリンドラー観測者が で時計をゼロに設定すると、リンドラー座標系を定義するときに、どのリンドラー観測者の固有時間がリンドラー座標の座標時間と等しくなるかを選択することになり、この観測者の固有加速度が上記の の値を定義します（リンドラー地平線から異なる距離にいる他のリンドラー観測者については、座標時間はそれらの観測者の固有時間の定数倍に等しくなります）。^[18]固有時間が座標時間と一致するリンドラー観測者が固有加速度 を持つ観測者となるようにリンドラー座標系を定義するのが一般的な慣例であり、そのため は方程式から削除できます。 ${\displaystyle 0<X<\infty ,\;-X<T<X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=1/\alpha }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle X=1/\alpha _{i}}$ ${\displaystyle X=c^{2}/\alpha _{i}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha }$

上記の式は について簡略化されています。簡略化されていない式は、加速度 が与えられた場合にリンドラー地平線距離を求めるのに便利です。 ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&t={\frac {c}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{\alpha X}}\\&\Rightarrow X\approx {\frac {c^{2}T}{\alpha t}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{\alpha }}\end{aligned}}}$

この記事の残りの部分では、と の両方を設定するという慣例に従うため、 と の単位は1 単位 になります。光秒/秒²を設定することと、光年/年²を設定することは非常に異なることに注意してください。 の単位を選択した場合でも、適切な加速度の大きさは単位の選択によって異なります。たとえば、距離の単位として光年 (または)、時間の単位として年 (または) を使用する場合、これは光年/年²を意味し、約 9.5 メートル/秒²に等しくなります。一方、距離の単位として光秒 (または)、時間の単位として秒 (または) を使用する場合は、光秒/秒^{2 を}意味し、299,792,458 メートル/秒^{2 を}意味します。 ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =c^{2}/\alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

変換式の変種

変換式のより一般的な導出は、対応するフェルミ・ウォーカー四分面体が定式化され、そこからフェルミ座標または固有座標が導出されるときに与えられます。^[19]これらの座標の原点の選択に応じて、メトリック、原点と点の間の時間の遅れ、座標光速を導出できます（この可変の光速は特殊相対性理論と矛盾しません。なぜなら、これは使用される加速座標の副産物にすぎず、慣性座標では一定のままだからです）。フェルミ座標の代わりに、光信号を使用して距離を決定することによって得られるレーダー座標を使用することもできます（距離の概念のセクションを参照）。これにより、メトリック、時間の遅れ、および光速は座標に依存しなくなります。特に、座標光速は慣性系内の光速と同じままです。 ${\displaystyle dt_{0}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |dx|/|dt|}$ ${\displaystyle (c=1)}$

${\displaystyle X}$で ${\displaystyle T=0}$	変換、計量、時間の遅れ、光の座標速度
${\displaystyle X=0}$	コットラー-モーラー座標[H 12] [20] [21] [22]
	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha t)\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha t)-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2a ${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ 2b ${\displaystyle dt=(1+\alpha x)dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=1+\alpha x}$ 2c
	リンドラー座標[23] [24] [18]
${\displaystyle X={\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha t)\\X&=x\cosh(\alpha t)\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2日 ${\displaystyle ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ 2e ${\displaystyle dt=\alpha x\ dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=\alpha x}$ 2階
	レーダー座標（ラス座標）[25] [26] [8] [9]
${\displaystyle X={\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&={\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha x}\sinh(\alpha t)\\X&={\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha x}\cosh(\alpha t)\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\frac {1}{2\alpha }}\ln \left[\alpha {}^{2}\left(X^{2}-T^{2}\right)\right]\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2グラム
	${\displaystyle ds^{2}=e^{2\alpha x}\left(-dt^{2}+dx^{2}\right)+dy^{2}+dz^{2}}$ 2時間 ${\displaystyle dt=e^{\alpha x}dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=1}$ 2i

リンドラーの観察者

との新しいチャート（1a）では、コフレーム体を取るのが自然である。 ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle d\sigma ^{0}=x\,dt,\;\;d\sigma ^{1}=dx,\;\;d\sigma ^{2}=dy,\;\;d\sigma ^{3}=dz}$

デュアルフレームフィールドを持つ

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\partial _{t},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{x},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\;\;{\vec {e}}_{3}=\partial _{z}}$

これは、各事象における接空間（リンドラー図が覆う領域、すなわちリンドラーウェッジ）における局所ローレンツフレームを定義する。時間的単位ベクトル場の積分曲線は、リンドラー観測者と呼ばれる観測者族の世界線からなる時間的合同性を与える。リンドラー図では、これらの世界線は垂直座標線として現れる。上記の座標変換を用いると、これらは元の直交座標図における双曲弧に対応することがわかる。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$

代表的なリンドラー観測点（紺色の双曲線弧）を直交座標系を用いて図示しています。鉛直から45度の赤い線はリンドラー地平線を表しています。リンドラー座標系はこの境界線の右側のみで定義されます。

あらゆるロレンツ多様体における時間的合同性と同様に、この合同性は運動学的分解を持つ（レイショードリ方程式を参照）。この場合、リンドラー観測者の合同性の膨張と渦度は消滅する。膨張テンソルが消滅することは、各観測者が隣接する観測者と一定の距離を保つことを意味する。渦度テンソルが消滅することは、観測者の世界線が互いの周りを回転していないことを意味する。これは一種の局所的な「渦巻き」の不在である。

各観測者の加速度ベクトルは共変微分で与えられる。

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}}$

つまり、各リンドラー観測者はその方向に加速している。個別に言えば、各観測者は実際にはこの方向に一定の大きさで加速しているため、彼らの世界線はユークリッド幾何学における一定経路曲率の曲線である円のローレンツ的類似物となる。 ${\displaystyle \partial _{x}}$

リンドラー観測者は渦度フリーであるため、超曲面直交でもあります。直交空間超スライスは です。これらはリンドラー図では水平面として、直交座標では を通る半平面として表示されます（上図を参照）。線要素 を設定すると、これらが通常のユークリッド幾何学 を持つことがわかります。したがって、リンドラー図の空間座標は、リンドラー観測者が相互に静止しているという主張と一致する非常に単純な解釈を持ちます。リンドラー観測者のこの剛性特性については、この記事の後半で詳しく説明します。 ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle T=X=0}$ ${\displaystyle dt=0}$ ${\displaystyle d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;\forall x>0,\forall y,z}$

「逆説的な」特性

より小さな定数 x 座標を持つリンドラー観測者は、追いつくのがより困難に加速していることに注意してください。ニュートン物理学では、一定の相対距離を維持する観測者は同じ加速度を共有する必要があるため、これは意外に思えるかもしれません。しかし、相対論的物理学では、何らかの外力 (対称軸に平行) によって加速される棒の後端は、先端よりも少し大きく加速する必要があり、そうしないと最終的に破損する必要があることがわかります。これは、ローレンツ短縮の現れです。棒が加速すると、速度が増加し、長さが短くなります。棒が短くなるため、後端は前端よりも大きく加速する必要があります。別の見方をすると、後端はより短い期間で同じ速度変化を達成する必要があります。これにより、ある距離で後端の加速度が発散し、リンドラー地平線が生じることを示す微分方程式が導かれます。

この現象は、よく知られた「パラドックス」、ベルの宇宙船パラドックスの根底にあります。しかし、これは相対論的運動学の単純な帰結です。これを理解する一つの方法は、加速度ベクトルの大きさが、対応する世界線の軌跡の曲率に等しいことを観察することです。しかし、リンドラー観測者の世界線はユークリッド平面における同心円族の相似形であるため、スピードスケート選手によく知られている事実のローレンツ相似形を扱っているに過ぎません。同心円族では、内側の円は外側の円よりも（単位弧長あたり）速く曲がらなければなりません。

ミンコフスキーの観測者

リンドラー図を用いて描かれた代表的なミンコフスキー観測点（紺色の双曲正割曲線）。リンドラー地平線は赤で示されている。

ミンコフスキーチャートで自然な選択によって与えられる代替フレームも導入する価値がある。

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}}$

これらのベクトル場を上記の座標変換を用いて変換すると、リンドラー図（リンドラーウェッジ）ではこのフレームは

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}}$

時間的単位ベクトル場 によって定義される時間的合同性の運動学的分解を計算すると、膨張と渦度が再びゼロになり、さらに加速度ベクトルもゼロになることがわかります。言い換えれば、これは測地線合同性であり、対応する観測者は慣性運動状態にあります。元の直交座標系では、これらの観測者（ミンコフスキー観測者と呼ぶ）は静止しています。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle \nabla _{{\vec {f}}_{0}}{\vec {f}}_{0}=0}$

リンドラーチャートでは、ミンコフスキー観測者の世界線は座標平面に漸近する双曲正割曲線として現れる。具体的には、リンドラー座標において、事象を通過するミンコフスキー観測者の世界線は、 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {artanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}}$

ここで、このミンコフスキー観測者の固有時刻はどこでしょうか。リンドラー図は、彼の歴史のごく一部しかカバーしていないことに注意してください。これは、リンドラー図が測地線的に完全ではない理由を明確に示しています。時間的測地線は、有限の固有時間において、図がカバーする領域外を走るからです。もちろん、リンドラー図が測地線的に完全ではないことは既に分かっていました。なぜなら、リンドラー図は、測地線的に完全な図である元の直交座標図の一部しかカバーしていないからです。 ${\displaystyle s}$

図に示されているケースでは、および に光円錐を描画しました (適切なスケールとブーストが与えられています) 。 ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle s\in \left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}}$

リンドラー地平線

リンドラー座標系図はx = 0に座標特異点を持ち 、計量テンソル（リンドラー座標系で表現）の行列式は 0 となる。これは、x  → 0 のときにリンドラー観測点の加速度が発散するためである。リンドラーくさびを示す図からわかるように、リンドラー図の軌跡x  = 0 は、直交座標系図の軌跡T ²  =  X ² ,  X  > 0 に対応する。直交座標系は、それぞれがヌル測地線合同によって支配される2つのヌル半平面から構成される。

今のところ、リンドラー地平線をリンドラー座標の境界として単純に考える。リンドラー座標で一定の位置にある加速観測者の集合を考えると、その中の誰もT  ≥  Xのイベ​​ントからの光信号を受信することはできない（図では、これらは上部の赤い地平線が沿う直線T = X上またはその左側のイベントである。ただし、これらの観測者は加速を止めて自らこの直線を越えればT  ≥  Xのイベ​​ントからの信号を受信することはできる）。また、 T  ≤ − Xのイベ​​ント（下部の赤い地平線が沿う直線T = − X上またはその左側のイベント。これらのイベントは、過去の世界線のすべての未来の光円錐の外側にある）に信号を送ることもできない。また、この加速観測者の集合のメンバーを地平線にどんどん近づけていくと、地平線までの距離がゼロに近づく極限では、この距離にいる観測者が経験する一定の固有加速度（これはそのような観測者が経験する重力加速度でもある）は無限大に近づく。これらの事実は、ブラックホールの事象の地平線の外側に浮かぶ観測者の集合を考えた場合にも成り立ちます。各観測者はシュワルツシルト座標系において一定の半径で浮かんでいます。実際、ブラックホールのごく近傍では、事象の地平線に近い幾何学はリンドラー座標系で記述できます。加速系におけるホーキング放射はウンルー放射と呼ばれます。この関係は、加速と重力の等価性にあります。

測地線

リンドラー図の測地線方程式は測地線ラグランジアンから簡単に得られる。

${\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}\,{\dot {t}}=0,\;{\ddot {x}}+x\,{\dot {t}}^{2}=0,\;{\ddot {y}}=0,\;{\ddot {z}}=0}$

もちろん、元の直交座標図では測地線は直線として表示されるため、座標変換を用いてリンドラー図で測地線を容易に得ることができます。しかし、元の図とは独立して測地線を取得し、研究することは有益であるため、このセクションではそれを行います。

リンドラー観測点の空間超スライスt  = 0に投影された、代表的なヌル測地線（黒色の双曲半円弧）をいくつか示します。リンドラー地平線はマゼンタ色の平面で示されています。

1番目、3番目、4番目から、最初の積分がすぐに得られる。

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\;\;{\dot {y}}=P,\;\;{\dot {z}}=Q}$

しかし、直線要素から、それぞれ時間的測地線、零測地線、空間的測地線について、次の式が得られる。これにより、第四第一積分、すなわち ${\displaystyle \varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \left\{-1,\,0,\,1\right\}}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=\left(\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{2}}$。

これは測地線方程式の完全な解を与えるのに十分です。

ヌル測地線の場合、 から が非ゼロのとき、x座標の範囲は区間 ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{x^{2}}}\,-\,P^{2}\,-\,Q^{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\,<\,x\,<\,{\frac {E}{\sqrt {P^{2}\,+\,Q^{2}}}}}$。

リンドラーウェッジ内の任意のイベントを通るヌル測地線を与える完全な7つのパラメータ族は、

${\displaystyle {\begin{aligned}t-t_{0}&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}\left[s\left(P^{2}+Q^{2}\right)-{\sqrt {E^{2}-\left(P^{2}+Q^{2}\right)x_{0}^{2}}}\right]\right)+\\&\qquad \operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}\right)\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}+2s{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}-s^{2}(P^{2}+Q^{2})}}\\y-y_{0}&=Ps;\;\;z-z_{0}=Qs\end{aligned}}}$

与えられたイベントを通る代表的なヌル測地線の軌跡をプロットすると（つまり、ハイパースライスに投影すると）、点を通りリンドラー地平線に直交するすべての半円の族に似た画像が得られます（図を参照）。^[27] ${\displaystyle t=0}$

フェルマー計量

リンドラー チャートで、リンドラー観測者にとってヌル測地線の任意の空間ハイパースライスへの投影が単なる半円弧であるという事実は、先に示した一般解から直接検証できますが、これを確認する非常に簡単な方法があります。静的時空とは、渦度のない時間的キリング ベクトル場が見つかる時空です。この場合、対応する静的観測者 (慣性観測者である必要はありません) に直交する (同一の) 空間ハイパースライスの一意に定義されたファミリが得られます。これにより、時空から継承した元の計量に共形的に関連付けられているが、新しい計量 (これは3 次元リーマン多様体上のリーマン計量であることに注意) の測地線がまさに時空のヌル測地線の投影であるという特性を持つ、新しい計量を定義することができます。この新しい計量はフェルマー計量と呼ばれ、座標チャートが与えられた静的時空において、線要素は次のような形をとる。

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dt^{2}+g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k},\;\;j,\;k\in \{1,2,3\}}$

フェルマー計量は単純に ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{-g_{00}}}\left(g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k}\right)}$

（ここで、計量係数は で評価されると理解されます）。 ${\displaystyle t=0}$

リンドラーチャートにおいて、時間的並進はそのようなキリングベクトル場であるため、これは静的時空である（当然のことながら、ミンコフスキー時空は当然のことながらアインシュタイン場方程式の静的真空解である）。したがって、リンドラー観測者に対するフェルマー計量を直ちに記述することができる。 ${\displaystyle \partial _{t}}$

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{x^{2}}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),\;\;\forall x>0,\;\;\forall y,z}$

しかし、これは上半空間図における双曲型三次元空間 H ³のよく知られた線分要素です。これは、複素解析を学ぶ学生世代には等角写像問題（そしてその他多くの問題）との関連でよく知られている、双曲型平面H ^2の上半平面図と非常に類似しています。また、数学に興味のある読者の多くは、上半平面モデルにおけるH ²の測地線が単なる半円（実軸で表される無限遠円に直交する）であることは既にご存知でしょう。

対称性

リンドラー図はミンコフスキー時空の座標図であるため、10個の線形独立なキリングベクトル場が見つかることが期待されます。実際、直交座標図では10個の線形独立なキリングベクトル場を容易に見つけることができ、それぞれ時間並進、3つの空間、3つの回転、3つのブーストのパラメータ部分群を生成します。これらを合わせると、ミンコフスキー時空の対称群である（真等時性）ポアンカレ群が生成されます。

しかし、キリングベクトル方程式を直接書き出して解くことは有益です。すると、4つの見慣れたキリングベクトル場が得られます。

${\displaystyle \partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _{z}}$

(時間変換、加速方向に直交する空間変換、加速方向に直交する空間回転) に加えて、さらに 6 つ:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\end{aligned}}}$

（ここで、符号は一貫して + または − が選択されます）。これらが標準的な生成子とどのように関係するかを考えることは演習として残しておきます。ここでは、直交座標系で と等価な生成子を取得できなければならないが、リンドラーのくさびがこの変換では不変ではないことは明らかであることを指摘したいと思います。これはどうしてでしょうか。その答えは、滑らかな多様体上の偏微分方程式系で定義されるものと同様に、キリング方程式は一般に局所的に定義された解を持ちますが、これらは大域的には存在しない可能性があるということです。つまり、グループ パラメーターに適切な制限を加えると、キリング フローは常に適切な局所近傍で定義できますが、フローは大域的には明確に定義されない可能性があります。これは、ローレンツ多様体自体とは関係ありません。同じ問題が一般的な滑らかな多様体の研究で発生するためです。 ${\displaystyle \partial _{T}}$

距離の概念

リンドラー図の研究から得られる多くの貴重な教訓の 1 つは、リンドラー観測者が使用できる距離の概念が実際にはいくつかあるということです。

2つのリンドラー観測点間のレーダー距離（紺色の縦線）の運用上の意味。リンドラー地平線は左側に示されています（赤色の縦線）。レーダーパルスの世界線と、イベントA、B、Cにおける（適切なスケールの）光円錐も示されています。

一つ目は、上で暗黙的に用いたもの、すなわち空間超スライス上の誘導リーマン計量です。この誘導リーマン計量に対応するため、これを定規距離と呼びますが、その操作上の意味はすぐには明らかではないかもしれません。 ${\displaystyle t=t_{0}}$

物理的な測定の観点から、2つの世界線間の距離のより自然な概念はレーダー距離です。これは、観測者の世界線（イベントA）から小さな物体の世界線へヌル測地線を送り、それが反射して（イベントB）、観測者に戻ります（イベントC）。レーダー距離は、観測者が持つ理想的な時計で測定された往復移動時間を割ることで得られます。

（ミンコフスキー時空では、幸いなことに、2つの世界線の間に複数のヌル測地線が存在する可能性を無視できますが、宇宙論モデルやその他の応用^{（どれでしょうか？）}では、事態はそれほど単純ではありません。また、2人の観測者間の距離という概念が、観測者を入れ替えても対称的な概念を与えると仮定することにも注意が必要です。）

特に、それぞれ座標が と である2つのリンドラー観測点を考えてみましょう。（最初の観測点、つまり後続の観測点は、先行する観測点に追いつくために、やや加速していることに注意してください。）リンドラー線要素を設定すると、加速方向に移動するヌル測地線の方程式が容易に得られます。 ${\displaystyle x=x_{0},\;y=0,\;z=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0}$ ${\displaystyle dy=dz=0}$

${\displaystyle t-t_{0}=\log \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}$

したがって、これら2つの観測者間のレーダー距離は次のように表される。

${\displaystyle x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$

これは定規の距離よりも少し小さいですが、近くの観察者にとっては差異はごくわずかです。

距離の 3 つ目の概念は、次のとおりです。観測者は、ある物体 (点物体ではない) 上に置かれた単位円板が、その位置からどのように見えるかを測定します。これを光学直径距離 と呼びます。ミンコフスキー時空におけるヌル測地線の単純な特性により、一対のリンドラー観測者 (加速の方向と一致する) 間の光学距離は容易に決定できます。概略から、光学直径距離は のように比例すると考えられます。したがって、後方の観測者が前方の観測者までの距離を推定する場合 ( の場合)、光学距離は定規距離よりも少し大きくなり、定規距離はレーダー距離よりも少し大きくなります。ここで、前方の観測者が後方の観測者までの距離を推定する場合について少し考えてみましょう。 ${\textstyle h+{\frac {1}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$ ${\displaystyle h>0}$

距離の概念は他にもありますが、要点は明確です。これらの様々な概念の値は、特定のリンドラー観測者ペアにおいては一般的には一致しませんが、すべてのリンドラー観測者ペアが一定の距離を維持するという点では一致しています。非常に近いリンドラー観測者が互いに静止しているという事実は、前述のように、リンドラー合同の展開テンソルが等しくゼロになるという事実から生じます。しかし、ここでは様々な意味で、この剛性特性がより大きなスケールでも成り立つことを示しました。相対論的物理学では、棒を剛体的に加速することはできない（そして円盤を剛体的に回転させることはできない）というよく知られた事実を考えると、これは実に注目すべき剛性特性です。少なくとも、不均一な応力を受けずには。これを最も簡単に理解する方法は、ニュートン力学において、剛体を「蹴る」と、その物体内のすべての物質要素の運動状態が即座に変化することを観察することです。もちろん、これは、物理的な効果を持つ情報は光速よりも速く伝送できないという相対論の原理とは矛盾します。

したがって、棒の長さ方向のどこかに外力が加わって加速された場合、棒が際限なく伸びて最終的に破断しないためには、棒内の様々な場所にある物質の要素がすべて同じ大きさの加速度を感じることはできない。言い換えれば、加速されても破断しない棒は、長さ方向に沿って変化する応力に耐えなければならない。さらに、時間とともに変化する力を扱うあらゆる思考実験において、物体を「蹴る」場合でも、徐々に加速させる場合でも、相対論的運動学と矛盾する力学モデルを回避するという問題を避けることはできない（物体の離れた部分が加えられた力にあまりにも速く反応するため）。

定規の距離の操作的意味という問題に戻ると、これは、小さな定規を端から端まで繰り返して置き、それを観察者が非常にゆっくりと手から手へと渡すときに得られる距離であるはずだと分かります。しかし、この解釈を詳細に正当化するには、何らかの物質的モデルが必要になります。

曲がった時空への一般化

上述のリンドラー座標は、フェルミ正規座標として、曲がった時空に一般化することができます。この一般化は本質的に、適切な直交四面体を構築し、それをフェルミ・ウォーカー輸送則を用いて与えられた軌道に沿って輸送することを含みます。詳細については、以下の参考文献にあるNiとZimmermannの論文を参照してください。このような一般化により、地球上の実験室で慣性効果と重力効果、そしてより興味深い慣性-重力結合効果を研究することが可能になります。

歴史

概要

コトラー-ミューラー座標とリンドラー座標

アルバート・アインシュタイン（1907）^{[H 13]}は、等加速系における効果を研究し、座標依存の時間の遅れと光速に関する式（2c）に相当する方程式を得た。また、これらの式を観測者の原点に依存しないようにするために、レーダー座標系と形式的に一致する時間の遅れ（2i ）を得た。マックス・ボルン（1909）^{[H 14]は、}ボルン剛性の概念を導入する中で、双曲運動の式が「双曲的に加速された参照系」（ドイツ語：hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ）への変換として使用できることを指摘した。これは（2d）に相当する。ボルンの業績は、アルノルド・ゾンマーフェルト(1910) ^{[H 15]}とマックス・フォン・ラウエ(1911) ^{[H 16]}によってさらに発展させられ、両者は虚数を用いて ( 2d ) を得、これはヴォルフガング・パウリ(1921) ^[16]によってまとめられ、パウリは座標 ( 2d ) に加えて虚数を用いて計量 ( 2e ) も得た。アインシュタイン (1912) ^{[H 17]}は静的重力場を研究し、コットラー・メラー計量 ( 2b ) と、座標に依存する光速を用いた式 ( 2a ) の近似値を得た。 ^[28]ヘンドリック・ローレンツ(1913) ^{[H 18]は、アインシュタインの}等価原理と均一重力場を研究しながら、( 2d , 2e , 2f ) に類似した座標を得た。

詳細な記述はフリードリヒ・コットラー（1914）^{[H 19]}によってなされ、彼は対応する直交四面体、変換式、計量（2a、2b）を定式化した。またカール・ボラート（1922）^{[H 20]}は一様加速度と一様重力場の研究で計量（2b ）を得た。ジョルジュ・ルメートル（1924）^{[H 21]}はボルン剛性に関する論文で座標と計量（2a、2b）を得た。アルバート・アインシュタインとネイサン・ローゼン（1935）は一様重力場の「よく知られた」表現として（2d、2e）を説明した。^{[H 22]}クリスチャン・モラー（1943）^{[H 11]}が均質重力場に関する研究で（2a、2b ）を得た後、彼（1952） ^{[H 23]}とミスナー＆ソーン＆ホイーラー（1973）^[2]はフェルミ・ウォーカー輸送を用いて同じ方程式を得た。

これらの研究は平坦時空を対象としていたが、ヴォルフガング・リンドラー（1960）^[14]は曲がった時空における双曲運動を解析し、平坦時空における双曲座標（2d、2e ）とシュワルツシルト空間におけるクラスカル座標との類似性を示した（1966） ^{[15] 。これは、双曲運動する観測者によって測定される}ウンルー放射の定式化において、その後の研究者に影響を与えた。これはブラックホールのホーキング放射の記述に類似している。

地平線

Born (1909) は、双曲運動をする Born 剛体の内部の点は の領域にのみ存在しうると示した。^{[H 24]} Sommerfeld (1910) は、慣性座標と双曲座標間の変換を許す座標は を満たさなければならないと定義した。^{[H 25]} Kottler (1914) ^{[H 26]}はこの領域を と定義し、それを超えると双曲運動をする観測者に信号が届かない「境界面」(ドイツ語: Grenzebene )の存在を指摘した。これはBollert (1922) によって「観測者の地平線」(ドイツ語: Horizo​​nt des Beobachters ) と名付けられた。 ^{[H 27]} Rindler (1966) ^[15]は、このような地平線と Kruskal 座標の地平線との関係を実証した。 ${\displaystyle X/\left(X^{2}-T^{2}\right)>0}$ ${\displaystyle T<X}$ ${\displaystyle X^{2}-T^{2}>0}$ ${\displaystyle c^{2}/\alpha +x}$

レーダー座標

ボレルトの形式論を用いて、ステパン・モホロヴィチッチ(1922) ^{[H 28]}はいくつかのパラメータの選択を誤り、印刷エラーを伴う計量 ( 2h ) を得た。これはボレルト (1922b) によって別の印刷エラーで修正され、印刷エラーのないバージョンがモホロヴィチッチ (1923) によって示された。さらにモホロヴィチッチは計量 ( 2b、現在ではコットラー・モラー計量と呼ばれる) は誤りであると誤って主張したが、これはボレルト (1922) によって反論された。^{[H 29]}計量 ( 2h ) はハリー・ラス (1963) ^[13]によって再発見され、ラスは対応する座標 ( 2g ) も示した。これは「ラス座標」と呼ばれることもある。^[9]メトリック（2h ）は、（ 2a、2b）と同様に、フリッツ・ローリッヒ（1963）によっても導出されました。^[12]最終的に、ラス座標（2g、2h）は、デスロージとフィルポット（1987）によってレーダー座標と同一視されました。^{[29] [8]}

歴史的な公式の表

アインシュタイン（1907）[H 30] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}\sigma =\tau \left(1+{\frac {\gamma \xi }{c^{2}}}\right)\\\sigma =\tau e^{\gamma \xi /c^{2}}\\c\left(1+{\frac {\gamma \xi }{c^{2}}}\right)\end{matrix}}}}$ 1909年生まれ[H 14] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}x=-q\xi ,\ y=\eta ,\ z=\zeta ,\ t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\\left(p=x_{\tau },\ q=-t_{\tau }={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}\end{matrix}}}}$ ヘルグロッツ（1909）[H 31] [30] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}x&=x'\\y&=y'\\t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}\end{matrix}}}}$ ゾンマーフェルト（1910）[H 15] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \\y&=y'\\z&=z'\\l&=r\sin \varphi \\\varphi &=i\psi ,\ l=ict\end{aligned}}}$ フォン・ラウエ（1911）[H 32] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \\R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}}$ アインシュタイン（1912）[H 17] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}d\xi ^{2}-d\tau ^{2}=dx^{2}-c^{2}dt^{2}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\c=c_{0}+ax\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}\xi &=x+{\frac {ac}{2}}t^{2}\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\tau &=ct\end{aligned}}\end{matrix}}}}$ コットラー（1912）[H 33] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{aligned}x^{(1)}&=x_{0}^{(1)}\\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)}\\x^{(3)}&=b\cos i\varphi \\x^{(4)}&=b\sin i\varphi \end{aligned}}}}$ ロレンツ（1913）[H 18] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}dc={\frac {g}{c}}dz\\\hline {\begin{aligned}z&=a\left(z'-z_{0}^{\prime }\right)\\ct&=b\left(z'-z_{0}^{\prime }\right)\\a&={\frac {1}{2}}\left(e^{kt'}+e^{-kt}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left(e^{kt'}-e^{-kt}\right)\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\c'=k\left(z'-z_{0}^{\prime }\right),\ z'-z_{0}^{\prime }={\frac {c^{2}}{g}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}&dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt\\&=dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}-c^{\prime 2}dt^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}}}$

コットラー（1914a）[H 34] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}x^{(1)}&=x_{0}^{(1)}\\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)}\\x^{(3)}&=b\cos iu\\x^{(4)}&=b\sin iu\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{matrix}c_{1}^{(1)}=0,&&c_{1}^{(2)}=0,&&c_{1}^{(3)}=-\sin iu,&&c_{1}^{(4)}=\cos iu,\\c_{2}^{(1)}=0,&&c_{2}^{(2)}=0,&&c_{2}^{(3)}=-\cos iu,&&c_{2}^{(4)}=-\sin iu,\end{matrix}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\dS^{2}=(dX')^{2}+(dY')^{2}+(dZ')^{2}-\left(c+{\frac {Z'c}{b}}\right)^{2}dT'\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\c'=c+{\frac {Z'c^{2}}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}\end{matrix}}}}$ コットラー（1914b）[H 35] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}c_{1}^{(1)}=0,&&c_{1}^{(2)}=0,&&c_{1}^{(3)}={\frac {1}{i}}\sinh u,&&c_{1}^{(4)}=\cosh u,\\c_{2}^{(1)}=0,&&c_{2}^{(2)}=0,&&c_{2}^{(3)}={\frac {1}{i}}\cosh u,&&c_{2}^{(4)}=-\sinh u,\\c_{3}^{(1)}=1,&&c_{3}^{(2)}=0,&&c_{3}^{(3)}=0,&&c_{3}^{(4)}=0,\\c_{4}^{(1)}=0,&&c_{4}^{(2)}=1,&&c_{4}^{(3)}=0,&&c_{4}^{(4)}=0,\end{matrix}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\X=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}X&=x_{0}+{\mathfrak {X}}'\\Y&=y_{0}+{\mathfrak {Y}}'\\Z&=\left(b+{\mathfrak {Z}}'\right)\cosh {\mathfrak {u}}\\cT&=\left(b+{\mathfrak {Z}}'\right)\sinh {\mathfrak {u}}\end{aligned}}\\\left(\Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}',\ \Delta ^{(3)}={\mathfrak {Y}}',\ \Delta ^{(4)}={\mathfrak {Z}}'\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}{\mathfrak {X}}'&=X_{0}-x_{0}+q_{x}T\\{\mathfrak {Y}}'&=Y_{0}-y_{0}+q_{y}T\\b+{\mathfrak {Z}}'&={\sqrt {\left(Z_{0}+q_{x}T\right)^{2}-c^{2}T^{2}}}\\c{\mathfrak {T}}'&=b\operatorname {artanh} {\frac {cT}{Z_{0}+q_{x}T}}\end{aligned}}\\\left(X=X_{0}+q_{x}T,\ Y=Y_{0}+q_{y}T,\ Z=Z_{0}+q_{x}T\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\dS^{2}=(d{\mathfrak {X}}')^{2}+(d{\mathfrak {Y}}')^{2}+(d{\mathfrak {Z}}')^{2}-c^{2}\left({\frac {b+{\mathfrak {Z}}'}{b^{2}}}\right)^{2}(d{\mathfrak {T}}')^{2}\end{matrix}}}$ コットラー（1916、1918）[H 36] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}x&=x'\\y&=y'\\{\frac {c^{2}}{\gamma }}+z&=\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+z'\right)\cosh {\frac {\gamma t'}{c}}\\ct&=\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+z'\right)\sinh {\frac {\gamma t'}{c}}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}-\left(c+{\frac {\gamma }{c}}z'\right){}^{2}dt^{\prime 2}\end{matrix}}}$

パウリ（1921）[H 37] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}x^{1}&=\varrho \cos \varphi \\x^{4}&=\varrho \sin \varphi \end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=\left(d\xi ^{1}\right)^{2}+\left(d\xi ^{2}\right)^{2}+\left(d\xi ^{3}\right)^{2}+\left(\xi ^{1}\right)^{2}\left(d\xi ^{4}\right)^{2}\\\left(\xi ^{(1)}=\varrho ,\ \xi ^{(2)}=x^{(2)},\ \xi ^{(3)}=x^{(3)},\ \xi ^{(4)}=\varphi \right)\end{matrix}}}$ ボレルト（1922）[H 20] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}ds^{2}=c^{2}\left(1+{\frac {\gamma _{0}x}{c^{2}}}\right)d\tau ^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\\\hline ds^{2}=g_{44}dx_{4}^{2}+g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}\left(dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\V''-{\frac {g_{11}}{2g_{11}}}V'=0\\\left(g_{22}=-1,\ g_{11}=-1,\ V''=0,\ V=ax+b\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=dx_{4}^{2}(ax+b)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\end{matrix}}}}$ モホロヴィチッチ (1922、1923)。ボレールト (1922b) [H 28] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}{\text{Mohorovičić (1922):}}\\g_{11}=g_{44}=V^{2},\ VV''-V'^{2}=0,\ V\left(x_{1}\right)=e^{ax_{1}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=e^{2a}\left(-dx_{4}^{2}+dx_{1}^{2}\right)+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\\\{\text{corrected by Bollert (1922b):}}\\ds^{2}=e^{2ax}\left(-dx_{4}^{2}+dx_{1}^{2}\right)+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\\\{\text{final correction by Mohorovičić (1923):}}\\ds^{2}=e^{2ax_{1}}\left(-dx_{4}^{2}+dx_{1}^{2}\right)+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\end{matrix}}}}$ ルメートル（1924）[H 21] ${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}1+g\xi =&(1+gx)\cosh gt\\g\tau =&(1+gx)\sinh gt\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+(1+gx)^{2}dt^{2}\end{matrix}}}}$ アインシュタイン＆ローゼン（1935）[H 22] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}\cosh \alpha x_{4}\\\xi _{2}&=x_{2}\\\xi _{3}&=x_{3}\\\xi _{4}&=x_{1}\sinh \alpha x_{4}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}+\alpha {}^{2}x_{1}^{2}dx_{4}^{2}\end{matrix}}}$ モーラー（1952）[H 23] ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}\alpha _{ik}=\left({\begin{matrix}U_{4}/ic&0&0&iU_{1}/c\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\U_{1}/ic&0&0&U_{4}/ic\end{matrix}}\right)\\U_{i}=\left(c\sinh {\frac {g\tau }{c}},\ 0,0,\ ig\cosh {\frac {g\tau }{c}}\right)\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\X_{i}=\mathbf {f} _{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\{\begin{aligned}X&={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {gt}{c}}-1\right)+x\cosh {\frac {gt}{c}}\\Y&=y\\Z&=z\\T&={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {gt}{c}}+x{\frac {\sinh {\frac {gt}{c}}}{c}}\end{aligned}}\\{\boldsymbol {\downarrow }}\\ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left(1+gx/c^{2}\right)^{2}\\\\\end{matrix}}}$

参照

• ベルの宇宙船パラドックスは、リンドラー座標を使用して研究されることが多い、物議を醸す主題です。
• ボルン座標は、ミンコフスキー時空における特定の加速観測者の運動に適応したもう1つの重要な座標系です。
• 合同性（一般相対性理論）
• エーレンフェストのパラドックスは、ボルン座標を使用して研究されることが多い、物議を醸す主題です。
• 一般相対論におけるフレーム場
• 一般相対性理論のリソース
• ミルンモデル
• レイショードゥリ方程式
• ウンルー効果

参考文献

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11. 例えば、Birrell & Davies (1982) 110–111ページやPadmanabhan (2010) 126ページは式( 2g , 2h )をリンドラー座標またはリンドラーフレームとして表記している。Tilbrook (1997) 864–864ページやJones & Wanex (2006)は式( 2a , 2b )をリンドラー座標として表記している。
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歴史的資料

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さらに読む

役に立つ背景:

• ブースビー、ウィリアム・M. (1986). 『微分可能多様体とリーマン幾何学入門』ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-116052-1。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)滑らかな多様体上のベクトル場に関する背景については第 4 章 を参照してください。
• フランケル、セオドア（1979年）『重力曲率：アインシュタイン理論入門』サンフランシスコ：WHフリーマン社、ISBN 0-7167-1062-5。フェルマー計量の導出については第 8 章 を参照してください。

リンドラー座標:

• リンドラー、ヴォルフガング (1969). 『エッセンシャル相対性理論』 ニューヨーク、ヴァン・ノストランド・ラインホールド社. doi :10.1007/978-1-4757-1135-6. ISBN 978-0-387-90201-2。

• ミスナー、チャールズ、ソーン、キップ・S、ホイーラー、ジョン・アーチボルド (1973). 『重力』サンフランシスコ: WHフリーマン. ISBN 0-7167-0344-0。セクション6.6を参照してください。
• リンドラー、ヴォルフガング（2001年）『相対性理論：特殊相対性、一般相対性、そして宇宙論相対性』オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-850836-0。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
• 倪 衛頭; マーク・ツィンメルマン (1978). 「加速回転する観測者の固有座標系における慣性および重力効果」. Physical Review D. 17 ( 6): 1473– 1476. Bibcode :1978PhRvD..17.1473N. doi :10.1103/PhysRevD.17.1473.

リンドラー地平線:

• Jacobson, Ted & Parenti, Renaud (2003). 「地平線エントロピー」. Found. Phys . 33 (2): 323– 348. arXiv : gr-qc/0302099 . Bibcode :2003FoPh...33..323J. doi :10.1023/A:1023785123428. S2CID  16826867.電子版
• バルセロ, カルロス; リベラティ, ステファノ & ヴィッサー, マット (2005). 「アナログ重力」. Living Reviews in Relativity . 8 (1): 12. arXiv : gr-qc/0505065 . Bibcode :2005LRR.....8...12B. doi : 10.12942/lrr-2005-12 . PMC  5255570. PMID 28179871  .

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