立ち上がり時間

Time taken by a signal to change to a high value

電子工学において、電圧または電流の ステップ関数を記述する場合、立ち上がり時間とは、信号が指定された低い値から指定された高い値に変化するのにかかる時間を指します。 ^[1]これらの値は、与えられた基準値に対する比率^[2]、またはそれと同等のパーセンテージ^{[3]として表されることがあります。}アナログ電子工学およびデジタル電子工学においては、^[要出典]これらのパーセンテージは、通常、出力ステップの高さの10%と90%（または同等の0.1と0.9 ）です。 ^[4]ただし、他の値も一般的に使用されます。^{[5]制御理論への応用において、Levine (1996, p. 158) によれば、立ち上がり時間は「}応答が最終値のx%からy%に上昇するのに必要な時間」と定義され、減衰不足の2次システムでは0%から100%の立ち上がり時間が一般的であり、臨界減衰では5%から95%、過剰減衰では10%から90%の立ち上がり時間が一般的です。^[6]

同様に、立ち下がり時間（パルス減衰時間）は、パルスの振幅が規定値（通常、オーバーシュートまたはアンダーシュートを除いたピーク値の90%）から別の規定値（通常、オーバーシュートまたはアンダーシュートを除いた最大値の10%）まで減少（立ち下がり）するのにかかる時間です。立ち下がり時間の制限を規定する際に、アンダーシュートと振動（リンギングおよびハンチングとも呼ばれる）の制限が追加で規定されることがあります。 ${\displaystyle t_{f}}$

オーウィラー（1969、p.22）によれば、「立ち上がり時間」という用語は、表示される負の変位が一般に立ち下がり時間と呼ばれている場合でも、正または負のステップ応答のどちらにも適用されます。^[7]

概要

立ち上がり時間は、高速入力信号に対する回路の応答能力の尺度であるため、高速エレクトロニクスにおいて根本的に重要なアナログパラメータである。 ^[8]回路、ジェネレータ、データ測定機器および伝送機器の立ち上がり時間を短縮するための多くの取り組みがなされてきた。これらの短縮は、より高速な電子デバイスの研究および浮遊回路パラメータ（主に容量とインダクタンス）の低減技術から生じる傾向がある。高速エレクトロニクスの領域外の用途では、（達成可能な最先端技術と比較して）長い立ち上がり時間が望ましい場合がある。例えば、照明の調光では、立ち上がり時間が長いほど、とりわけ電球の寿命が長くなる。また、アナログスイッチを使用してデジタル信号でアナログ信号を制御する場合では、立ち上がり時間が長いほど容量性フィードスルーが少なくなり、制御対象のアナログ信号ラインへの 結合ノイズが小さくなる。

立ち上がり時間に影響を与える要因

与えられたシステム出力の立ち上がり時間は、入力信号の立ち上がり時間とシステムの特性の両方に依存します。^[9]

例えば、抵抗回路における立ち上がり時間は、主に浮遊容量とインダクタンスによって決まります。すべての回路は抵抗だけでなく、容量とインダクタンスも持つため、定常状態に達するまで負荷における電圧および／または電流の遅延が顕著になります。純粋なRC回路では、出力の立ち上がり時間（10%から90%）はおよそ2.2 RCに相当します。^[10]

代替定義

連邦規格1037C（1997、p. R-22）で与えられている定義と、Levine（1996、p. 158）によって与えられたその若干の一般化とは別に、立ち上がり時間の他の定義が時々使用される：^[11]これらの代替定義は、考慮される参照レベルに関してだけでなく、標準と異なる。例えば、ステップ関数応答の50％ポイントを通る接線の切片にグラフ上対応する時間間隔が時々使用される。^[12] Elmore（1948、p. 57）によって導入された別の定義^[13]は、統計学と確率論の概念を使用する。ステップ応答 V（t）を考慮して、彼は遅延時間 t _Dをその1次導関数V′（t）の1次モーメントとして再定義する。すなわち、

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}.}$

最後に、彼は2次モーメントを用いて立ち上がり時間t _{rを定義する。}

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}}}$

モデルシステムの立ち上がり時間

表記

分析に必要なすべての表記法と仮定がここにリストされています。

• Levine（1996、p.158、2011、9-3（313））に従って、立ち上がり時間を推定する信号の基準値に対する低い値のパーセンテージとしてx％を定義し、高い値のパーセンテージとしてy％を定義します。
• t _{1 は}解析対象システムの出力が定常状態のx%にある時間であり、 t _{2 はそれが}y%にある時間ですどちらも秒単位で測定されます。
• t _rは解析対象システムの立ち上がり時間であり、単位は秒である。定義によれば、 $${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$$
• f _Lは解析対象システムの下限カットオフ周波数（-3 dB ポイント）であり、ヘルツ単位で測定されます。
• f _Hは解析対象システムの高域カットオフ周波数（-3 dB ポイント）で、ヘルツ単位で測定されます。
• h ( t )は、時間領域における解析対象システムのインパルス応答です
• H ( ω )は周波数領域における解析対象システムの周波数応答です
• 帯域幅は次のように定義され、低い方の遮断周波数f _Lは通常高い方の遮断周波数f _Hよりも数十倍低いため、 $${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}}$$ $${\displaystyle BW\cong f_{H}}$$
• ここで分析するすべてのシステムは、 0 (ローパス システム)まで拡張される周波数応答を持ち、したがって正確です。 $${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$$
• 簡単にするために、「立ち上がり時間の計算の簡単な例」のセクションで分析されたすべてのシステムは、ユニティゲインの 電気ネットワークであり、すべての信号は電圧として考えられます。入力はV ₀ボルトのステップ関数であり、これは次のことを意味します。 $${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$$
• ζは減衰比であり、 ω ₀は与えられた2次システムの固有振動数である。

立ち上がり時間の計算の簡単な例

このセクションの目的は、いくつかの単純なシステムのステップ応答の立ち上がり時間を計算することです。

ガウス応答システム

システムが以下の周波数応答を特徴とする場合、 そのシステムはガウス応答を持つと言われる。

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}}$

ここでσ > 0は定数であり、^[14]高域遮断周波数と次の関係がある。

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

この種の周波数応答は因果フィルタでは実現できないが、^[15]、1次ローパスフィルタのカスケード接続の挙動が、カスケード段数が漸近的に無限大に増加するにつれて、このシステムの挙動に近づくという事実にその有用性がある。^[16]対応するインパルス応答は、示されている周波数応答の逆フーリエ変換を使用して計算できる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}e^{i\omega t}}\,d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

ステップ応答の定義を直接適用すると、

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\sigma t/2}e^{-\tau ^{2}}\,d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

システムの 10% ～ 90% の立ち上がり時間を決定するには、次の 2 つの式を時間について解く必要があります。

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

誤差関数の既知の特性を用いることで、 t =  − t ₁ = t ₂の値が求められる。t r ₌ t ₂  −  t ₁ = 2 tであるので、

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

そして最後に

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

1段ローパスRCネットワーク

単純な1段ローパスRCネットワークの場合、^[18] 10%から90%の立ち上がり時間はネットワークの時定数τ = RCに比例します。

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

比例定数は、 V ₀振幅 の単位ステップ関数入力信号に対するネットワークのステップ応答の知識から導くことができます。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

時間を解決する

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

そして最後に、

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

t ₁とt ₂は​

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

これらの方程式を解くと、 t ₁とt ₂の解析式が得られます。

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

したがって、立ち上がり時間は時定数に比例する：^[19]

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

さて、

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^[20]

それから

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

そして高周波数カットオフは帯域幅に等しいので、

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

最後に、代わりに 20% ～ 80% の立ち上がり時間を考慮すると、t _{r は}次のようになります。

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

1段ローパスLRネットワーク

単純な1段ローパスRLネットワークであっても、10%から90%の立ち上がり時間はネットワークの時定数τ = L ⁄ Rに比例します。この主張の正式な証明は、前のセクションで示したとおりです。立ち上がり時間の最終的な表現の唯一の違いは、2つの異なる回路の時定数τの表現の違いによるものであり、この場合、次のようになります。

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

減衰2次システムの立ち上がり時間

レヴァイン（1996、p.158）によれば、制御理論で使用される減衰不足システムでは、立ち上がり時間は一般的に波形が最終値の0％から100％に達するまでの時間として定義される：^[6]したがって、減衰不足の2次システムの0％から100％までの立ち上がり時間は次の形式をとる：^[21]

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

2次システム、ステップ応答、ゼロなしの 正規化された立ち上がり時間の2次 近似は次のようになります。

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}$

ここで、ζは減衰比、ω ₀はネットワークの固有振動数です。

カスケードブロックの立ち上がり時間

n個のカスケード接続された相互作用しないブロックから構成されるシステムを考えます。各ブロックの立ち上がり時間はt _{r i} , i = 1,…, nで、ステップ応答にはオーバーシュートはありません。また、最初のブロックの入力信号の立ち上がり時間はt _{r S}であるとします。^[22]その後、その出力信号の立ち上がり時間t _{r 0}は次のように なります。

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

Valley & Wallman (1948, pp. 77–78)によれば、この結果は中心極限定理の帰結であり、Wallman (1950)によって証明された: ^{[23] [24]}しかし、この問題の詳細な分析はPetitt & McWhorter (1961, §4–9, pp. 107–115)によって提示されており、^[25]彼らはまた、前述の式をある程度厳密な根拠で証明した最初の人物としてElmore (1948)を挙げている。^[26]

参照

• 周波数応答
• インパルス応答
• ステップ応答
• 整定時間

注記

1. 「立ち上がり時間」、連邦規格1037C、1996年8月7日
2. 例えば、(Cherry & Hooper 1968, p.6およびp.306)、(Millman & Taub 1965, p. 44)、(Nise 2011, p. 167)を参照。
3. 例えば、Levine（1996、p.158）、（Ogata 2010、p.170）、（Valley & Wallman 1948、p.72）を参照。
4. 例えば、(Cherry & Hooper 1968、p. 6およびp. 306)、(Millman & Taub 1965、p. 44)、(Valley & Wallman 1948、p. 72)を参照。
5. 例えば、Valley & Wallman (1948、p. 72、脚注 1) は、「アプリケーションによっては、5 パーセント ポイントと 95 パーセント ポイントの間、または 1 パーセント ポイントと 99 パーセント ポイントの間の立ち上がり時間を測定することが望ましい」と述べています。
6. 正確には、Levine（1996、p. 158）は次のように述べています。「立ち上がり時間とは、応答が最終値のx%からy%に上昇するのに必要な時間です。過減衰の2次制御システムでは通常、0%から100%の立ち上がり時間が使用され、過減衰の2次制御システムでは （中略） 10%から90%の立ち上がり時間が一般的に使用されます。」しかし、この記述は誤りです。過減衰の2次制御システムの0%～100%の立ち上がり時間は、RCネットワークの場合と同様に無限大だからです。この記述は、本書の第2版にも記載されています（Levine 2011、p. 9-3（313））。
7. これもOrwiler（1969、22ページ）による。
8. Valley & Wallman (1948, p. 72) によると、「矩形パルスまたはステップ関数の立ち上がりエッジの再現において最も重要な特性は、通常10～90%で測定される立ち上がり時間と「オーバーシュート」である」。また、Cherry & Hooper (1968, p. 306) によると、「増幅器の矩形波応答において最も重要な2つのパラメータは、立ち上がり時間と傾斜率である」。
9. (Orwiler 1969、pp. 27–29)および「カスケードブロックの立ち上がり時間」のセクションを参照してください。
10. 例えば、(Valley & Wallman 1948、p. 73)、(Orwiler 1969、p. 22 および p. 30)、または「1 段ローパス RC ネットワーク」のセクションを参照してください。
11. (Valley & Wallman 1948, p. 72, 脚注1)および(Elmore 1948, p. 56)を参照。
12. (Valley & Wallman 1948、p. 72、脚注1)および(Elmore 1948、p. 56およびp. 57、図2a)を参照。
13. (Petitt & McWhorter 1961, pp. 109–111)も参照。
14. (Valley & Wallman 1948, p. 724)および(Petitt & McWhorter 1961, p. 122)を参照。
15. Paley-Wiener基準による。例えば、Valley & Wallman (1948, p. 721 and p. 724)を参照。また、Petitt & McWhorter (1961, p. 122)もこの事実を簡潔に述べている。
16. (Valley & Wallman 1948, p. 724)、(Petitt & McWhorter 1961, p. 111、脚注1を含む、p.)、(Orwiler 1969, p. 30)を参照。
17. (Orwiler 1969, p. 30)と比較。
18. 「単極フィルタ」とも呼ばれる。Cherry & Hooper 1968, p. 639を参照。
19. (Valley & Wallman 1948, p. 72, 式(2))、(Cherry & Hooper 1968, p. 639, 式(13.3))、または(Orwiler 1969, p. 22およびp. 30)と比較してください。
20. この関係の正式な証明については、「時間定数」のエントリの「時間定数と帯域幅の関係」セクションを参照してください。
21. （緒方2010、171頁）を参照。
22. 「 S」は「ソース」を意味し、電流源または電圧源として理解されます。
23. この美しい1ページの論文には、計算は一切含まれていません。ヘンリー・ウォールマンは、電子工学と確率論の概念を対比させた「辞書」と呼ぶ表を作成しただけです。その鍵となるのはラプラス変換の使用です。そして、この「辞書」によって確立された概念の対応関係に従って、ブロックのカスケード接続におけるステップ応答が中心極限定理に対応することを指摘し、次のように述べています。「これは重要な実用的帰結をもたらします。例えば、ネットワークにオーバーシュートがない場合、応答時間はカスケード接続時に必然的に急速に増加し、つまりカスケード接続されたネットワークの数の平方根に比例するという事実です」（ウォールマン 1950、p. 91）。
24. (Cherry & Hooper 1968, p. 656)および(Orwiler 1969, pp. 27–28)も参照。
25. (Cherry & Hooper 1968, p. 656より引用)。
26. (Petitt & McWhorter 1961, p. 109)を参照。

参考文献

• Cherry, EM; Hooper, DE (1968), Amplifying Devices and Low-pass Amplifier Design , New York–London– Sidney : John Wiley & Sons , pp. xxxii+1036。
• エルモア、ウィリアム・C.（1948年1月）「広帯域増幅器を中心とする減衰線形回路網の過渡応答」『応用物理学ジャーナル』19 (1): 55–63、Bibcode :1948JAP....19...55E、doi : 10.1063/1.1697872。
• レヴィン、ウィリアム・S.（1996）、コントロールハンドブック、ボカラトン、フロリダ州：CRCプレス、pp. xvi+1548、ISBN 0-8493-8570-9。
• レヴィン、ウィリアムS.（2011）[1996]、「制御ハンドブック：制御システムの基礎（第2版）」、ボカラトン、フロリダ州：CRCプレス、pp. xx+766、ISBN 978-1-4200-7362-1。
• ミルマン、ジェイコブ、タウブ、ハーバート（1965年）、パルス、デジタルおよびスイッチング波形、ニューヨーク、セントルイス、サンフランシスコ、トロント、ロンドン、シドニー：マグロウヒル、pp. xiv+958。
• 国家通信システム技術標準化部（1997年3月1日）、連邦規格1037C。電気通信：電気通信用語集、FSC TELE、第FED-STD-1037巻、ワシントン：一般サービス管理局情報技術サービス、p. 488。
• Nise, Norman S. (2011), 制御システム工学（第6版）、ニューヨーク：John Wiley & Sons、pp. xviii+928、ISBN 978-0470-91769-5。
• 緒方勝彦 (2010) [1970], Modern Control Engineering (5th ed.), Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall , pp. x+894, ISBN 978-0-13-615673-4。
• Orwiler, Bob (1969年12月)、「垂直増幅回路」(PDF)、Circuit Concepts、vol. 062-1145-00 (第1版)、オレゴン州ビーバートン：Tektronix、p. 461。
• ペティット、ジョセフ・メイヨー；マクウォーター、マルコム・マイヤーズ（1961年）「電子増幅回路理論と設計」、マグロウヒル電気・電子シリーズ、ニューヨーク・トロント・ロンドン：マグロウヒル、pp. xiii+325。
• バレー、ジョージ・E・ジュニア;ウォールマン、ヘンリー(1948)、「第2章の§2および第7章の§1～7」、真空管増幅器、MIT放射線研究所シリーズ、第18巻、ニューヨーク：マグロウヒル、pp. xvii+743。
• ウォールマン、ヘンリー（1950）、「過渡応答と確率の中心極限定理」、タウブ、AH（編）『電磁気理論』（マサチューセッツ工科大学、1948年7月29～31日）、応用数学シンポジウム講演論文集、第2巻、プロビデンス：アメリカ数学会、p.91、MR  0034250、Zbl  0035.08102。

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