Mathematical equation describing the motion of a rocket
有効排気速度 比 の関数としての ロケットの必要 質量比 古典 ロケット方程式 、あるいは 理想ロケット方程式は、 ロケット の基本原理に従う乗り物の運動を記述する数式である。ロケットの基本原理とは、 質量の一部を高速で噴射することで 推力 を使って自身に加速を加え、 運動量保存の法則 に従って移動 できる装置のことである 。この方程式は コンスタンチン・ツィオルコフスキー が独立に導出して1903年に発表したとされているが、 [1] [2]ウィリアム・ ムーア も1810年に 独立に導出して発表し、 [3] 後に1813年に別の本で発表していた。 [4] ロバート・ゴダード も1912年に独立して展開し、 ヘルマン・オーベルト も1920年頃に独立して導出した。
車両の 速度 の最大変化 （外部力が作用していない場合）は次のとおりです。 Δ v {\displaystyle \Delta v}
Δ v = v e ln m 0 m f = I sp g 0 ln m 0 m f , {\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},} どこ：
v e {\displaystyle v_{\text{e}}} は 有効排気速度 （これも に等しい ） I sp g 0 {\displaystyle I_{\text{sp}}g_{0}} I sp {\displaystyle I_{\text{sp}}} 時間の次元における 特定の衝動 です。 g 0 {\displaystyle g_{0}} 標準重力 です 。 ln {\displaystyle \ln } は自然対数 関数です 。 m 0 {\displaystyle m_{0}} 推進剤 を含む初期の総質量 （湿質量とも呼ばれます）です。 m f {\displaystyle m_{f}} 推進剤を含まない最終的な総質量、つまり乾燥質量です。 ロケットモーターの設計によって決まる有効排気速度、望ましいデルタv（例えば、 軌道速度 または 脱出速度 ）、および与えられた乾燥質量が与えられれば 、必要な湿潤質量を求める式を解くことができる 。 必要な推進剤質量は、 m f {\displaystyle m_{f}} m 0 {\displaystyle m_{0}} m 0 = m f e Δ v / v e . {\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.} m 0 − m f = m f ( e Δ v / v e − 1 ) {\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}(e^{\Delta v/v_{\text{e}}}-1)}
必要な湿質量は、望ましいデルタ v とともに指数関数的に増加します。
歴史 この式は、 この式を独自に導き出し、1903年の著書で発表したロシアの科学者 コンスタンチン・ツィオルコフスキーにちなんで名付けられました。 [1] [2]
この方程式は1810年にイギリスの数学者ウィリアム・ムーア によって導かれ 、 [3] 後に1813年に別の本で出版されました。 [4]
アメリカ人の ロバート・ゴダードは、 1912年に宇宙飛行を可能にするロケットエンジンの改良研究を始めた際に、独自にこの式を導き出しました。ドイツの技術者 ヘルマン・オーベルトは、 1920年頃、宇宙旅行の実現可能性を研究する中で、独自にこの式を導き出しました。
ロケット方程式の導出は単純な 微積分の問題だが、ツィオルコフスキーはそれをロケットが 宇宙旅行 に必要な速度を達成できるかどうかという問題に初めて適用した人物として称賛されている 。
ボートの実験 ツィオルコフスキーによるボートの実験。 ロケット推進の原理を理解するために、コンスタンチン・ツィオルコフスキーは有名な「ボート」の実験を提唱しました。 [ 要出典 ] ある人がオールを持たずに岸から離れたボートに乗っています。彼は岸にたどり着きたいと思っています。ボートに一定量の石が積まれていることに気づき、反対方向に石を素早く繰り返し投げるというアイデアを思いつきます。実際、一方向に投げられた石の移動量は、反対方向へのボートの移動量と等しくなります（摩擦/抗力は無視）。
導出
最も人気のある派生 次のシステムを考えてみましょう。
ツィオルコフスキーの理論的なロケット（t = 0 から t = delta_t まで） 以下の派生語では、「ロケット」は「ロケットとその未使用の推進剤すべて」を意味します。
ニュートンの運動の第二法則 は、外力（ ）とシステム全体（ロケットと排気を含む）の線形運動量の変化を次のように関連付けています。 ここで 、 は時刻 におけるロケットの運動量です 。 は 時刻 におけるロケットと排気された質量の運動量です 。 ここで、観測者に関して： F → i {\displaystyle {\vec {F}}_{i}} ∑ i F → i = lim Δ t → 0 P → Δ t − P → 0 Δ t {\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}} P → 0 {\displaystyle {\vec {P}}_{0}} t = 0 {\displaystyle t=0} P → 0 = m V → {\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}} P → Δ t {\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}} t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t} P → Δ t = ( m − Δ m ) ( V → + Δ V → ) + Δ m V → e {\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}
V → {\displaystyle {\vec {V}}} ロケットの速度は t = 0 {\displaystyle t=0} V → + Δ V → {\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}} ロケットの速度は t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t} V → e {\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}} 排気ガスに加えられた（そしてロケットによって失われた）質量の速度である。 Δ t {\displaystyle \Delta t} m {\displaystyle m} その時のロケットの質量は t = 0 {\displaystyle t=0} ( m − Δ m ) {\displaystyle \left(m-\Delta m\right)} その時のロケットの質量は t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t} 観測フレームにおける排気速度は 、ロケットフレームにおける排気速度と 次式で関係付けられる。 したがって、 これを解くと次式が得られる。 および が 反対方向で、 と同じ方向を持ち 、 （ のため）は無視でき、 （ を排出すると 時間の経過とともにロケットの質量が減少するため） を使用すると、 V → e {\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}} v e {\displaystyle v_{\text{e}}} v → e = V → e − V → {\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}} V → e = V → + v → e {\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}} P → Δ t − P → 0 = m Δ V → + v → e Δ m − Δ m Δ V → {\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}} V → {\displaystyle {\vec {V}}} v → e {\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}} F → i {\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}} V → {\displaystyle {\vec {V}}} Δ m Δ V → {\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}} d m d v → → 0 {\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0} d m = − Δ m {\displaystyle dm=-\Delta m} Δ m {\displaystyle \Delta m} ∑ i F i = m d V d t + v e d m d t {\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}
外力がない場合 （ 線形運動量保存則 ）と ∑ i F i = 0 {\textstyle \sum _{i}F_{i}=0} − m d V d t = v e d m d t {\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}
が定数であると仮定すると （ツィオルコフスキーの仮説 [2] として知られている）、積分の対象にはならないので、上記の式は次のように積分できる。 v e {\displaystyle v_{\text{e}}} − ∫ V V + Δ V d V = v e ∫ m 0 m f d m m {\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}
すると 、 または または と
なります。 ここで は推進剤を含む初期の総質量、 最終質量、そして ロケットに対するロケット排気速度（ 比推力 、または時間で測定する場合は に地球上の 重力 加速度を乗じた値）です。 が定数でない場合、上記の式のように単純なロケット方程式は存在しない可能性があります。多くのロケット力学研究は、ツィオルコフスキー定数仮説に基づいています 。 Δ V = v e ln m 0 m f {\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}} m f = m 0 e − Δ V / v e {\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}} m 0 = m f e Δ V / v e {\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}} m 0 − m f = m f ( e Δ V / v e − 1 ) {\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)} m 0 {\displaystyle m_{0}} m f {\displaystyle m_{f}} v e {\displaystyle v_{\text{e}}} v e {\displaystyle v_{\text{e}}} v e {\displaystyle v_{\text{e}}}
この値は消費された推進剤の 総 作業質量 です。 m 0 − m f {\displaystyle m_{0}-m_{f}}
Δ V {\displaystyle \Delta V} （ デルタv ）は、ロケットエンジンによって生じる加速度の大きさ（外力がない場合の実際の加速度）の時間積分です。自由空間において、速度方向への加速の場合、これは速度の増加を表します。反対方向への加速（減速）の場合、これは速度の減少を表します。もちろん、重力と抗力も機体を加速させ、機体が経験する速度変化に加算または減算する可能性があります。したがって、デルタvは必ずしも機体の実際の速度変化を表すとは限りません。
その他の派生
衝動に基づく この式は、加速度（推力）を質量で割った基本積分から導くこともできます。デルタv方程式を次のように表すと： Δ v = ∫ t 0 t f | T | m 0 − t Δ m d t {\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}
ここで、Tは推力、 は初期（湿潤）質量、は 初期質量から最終（乾燥）質量を引いたものである。 m 0 {\displaystyle m_{0}} Δ m {\displaystyle \Delta m}
そして、推力のみが関与する力であると仮定すると、合力の時間積分が全力積分となることを理解し、 ∫ t 0 t f F d t = J {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}
積分は次のようになります。 J ln ( m 0 ) − ln ( m f ) Δ m {\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}
質量変化に対する力積は推進剤の質量流量（p）に対する力に等しく、推進剤の質量流量自体は排気速度に等しいことを理解すると、 積分は次の式で表される。 J Δ m = F p = V exh {\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}} Δ v = V exh ln ( m 0 m f ) {\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}
加速ベース 宇宙空間で静止し、力が働いていないロケットを想像してください（ ニュートンの第1運動法則 ）。エンジンが始動した瞬間（時計を0に合わせる）から、ロケットは 一定の質量流量 R （kg/s）で、 ロケットに対する排気速度 v e （m/s）でガスを排出します。これにより、ロケットを推進する 一定の力 F が生成され、その力は R × v e に等しくなります。ロケットは一定の力を受けますが、ガスを排出しているため、その総質量は着実に減少しています。 ニュートンの第2運動法則 によれば、任意の時刻 t におけるロケットの加速度は、推進力 F を 現在の質量 m で割った値になります。 a = d v d t = − F m ( t ) = − R v e m ( t ) {\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}
さて、ロケットに搭載されている燃料の質量は m 0 – m f に等しい。したがって、質量流量 Rが一定であれば、この燃料をすべて燃焼させるには T = ( m 0 – m f )/ R の時間がかかる。この式の両辺を 0から T まで 時間に関して積分すると（ R = dm/dt であることに留意すると、 右辺に代入できる）、次の式が得られる。 Δ v = v f − v 0 = − v e [ ln m f − ln m 0 ] = v e ln ( m 0 m f ) . {\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}
有限質量の「ペレット」排出限界 ロケット方程式は、燃料を ペレットの形で連続的に噴射するロケットの速度変化の極限ケースとして導くこともできます。この場合 、有効排気速度は、 単位燃料質量あたりに得られる機械的エネルギーが で与えられます 。 N {\displaystyle N} N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } v eff {\displaystyle v_{\text{eff}}} 1 2 v eff 2 {\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}
ロケットの重心系において、質量のペレットが 速度で射出され 、ロケットの残りの質量が の場合 、ロケットとペレットの運動エネルギーを増加させるために変換されるエネルギーの量は m p {\displaystyle m_{p}} u {\displaystyle u} m {\displaystyle m} 1 2 m p v eff 2 = 1 2 m p u 2 + 1 2 m ( Δ v ) 2 . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}
ロケット発射直前のフレームにおける運動量保存則を用いると 、 u = Δ v m m p {\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}} Δ v = v eff m p m ( m + m p ) . {\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}
搭載燃料の初期質量率を 、 ロケットの初期燃料充填質量を とする。燃料の総質量を、それぞれ質量 の個別のペレットに分割する 。 ペレット を 射出 した後のロケットの残りの質量は となる 。ペレット射出後の全体の速度変化は、 [5] の 合計である。 ϕ {\displaystyle \phi } m 0 {\displaystyle m_{0}} ϕ m 0 {\displaystyle \phi m_{0}} N {\displaystyle N} m p = ϕ m 0 / N {\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N} j {\displaystyle j} m = m 0 ( 1 − j ϕ / N ) {\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)} j {\displaystyle j} Δ v = v eff ∑ j = 1 j = N ϕ / N ( 1 − j ϕ / N ) ( 1 − j ϕ / N + ϕ / N ) {\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}
大きい場合、 分母の最後の項とを無視して、 および を 与えることができることに
注意してください 。 N {\displaystyle N} ϕ / N ≪ 1 {\displaystyle \phi /N\ll 1} Δ v ≈ v eff ∑ j = 1 j = N ϕ / N 1 − j ϕ / N = v eff ∑ j = 1 j = N Δ x 1 − x j {\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}} Δ x = ϕ N {\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}} x j = j ϕ N {\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}
ロケットの最終的な残りの質量は なので、 この リーマン 和は 定積分になります 。 N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } lim N → ∞ Δ v = v eff ∫ 0 ϕ d x 1 − x = v eff ln 1 1 − ϕ = v eff ln m 0 m f , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},} m f = m 0 ( 1 − ϕ ) {\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}
特殊相対性理論 特殊相対性理論 を考慮する と、 相対論的ロケット に対して次の式を導くことができる。 [6] ここで は、 ロケットが静止状態（燃料を含む静止質量は当初 ）で始動した 慣性系 におけるロケットの最終速度（反応質量をすべて放出し、静止質量 に減少した後 ）を表し 、 は真空中の 光速を 表す 。 Δ v {\displaystyle \Delta v} m 1 {\displaystyle m_{1}} m 0 {\displaystyle m_{0}} c {\displaystyle c} m 0 m 1 = [ 1 + Δ v c 1 − Δ v c ] c 2 v e {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}
と書く と、 この式は次のように変形できる。 m 0 m 1 {\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}} R {\displaystyle R} Δ v c = R 2 v e c − 1 R 2 v e c + 1 {\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}
そして、 恒等式 （ここで「exp」は 指数関数 を表す。 自然対数 と対数 恒等式における「べき乗」恒等式 も参照 ）と恒等式 （ 双曲線関数を 参照 ）を用いると、これは次式と等しくなる。 R 2 v e c = exp [ 2 v e c ln R ] {\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]} tanh x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} Δ v = c tanh ( v e c ln m 0 m 1 ) {\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}
方程式の項
デルタ- v デルタ v （文字通り「 速度 の 変化 」）は、 宇宙船の飛行力学 において Δvと表記され、 デルタ・ヴィー と 発音され、惑星や月への打ち上げや着陸、あるいは宇宙空間での 軌道制御 といった操作に必要な 力積 の尺度です 。これは 速度 の単位を持つ スカラー値 です。この文脈で使用されるデルタvは、 機体の 物理的な速度変化 とは異なります 。
デルタ vは、 ロケット エンジン などの反動エンジンによって生成され、単位質量あたりの 推力 と燃焼時間に比例し、 ロケット方程式を通じて特定の操作に必要な 推進剤 の質量を決定するために使用されます。
複数の操作の場合、デルタ v は線形に合計されます。
惑星間ミッションの場合、デルタ v は、多くの場合、打ち上げ日の関数として 必要なミッション デルタ vを表示する ポークチョップ プロット 上にプロットされます。
質量分率 航空宇宙工学 において 、推進剤の質量分率とは、機体の質量のうち目的地に到達せず、代わりに推進剤として燃焼される質量の割合であり、通常、機体の性能を測る指標として用いられます。言い換えれば、推進剤の質量分率は、推進剤の質量と機体の初期質量の比です。宇宙船の場合、目的地は通常軌道ですが、航空機の場合は着陸地点です。質量分率が高いほど、設計重量が軽いことを意味します。関連する別の指標として、 ペイロード分率が あります。これは、初期重量のうちペイロードが占める割合です。
ツィオルコフスキーロケット方程式の元の文言では質量分率が直接使用されていませんが、質量分率は、初期質量と最終質量の比率、つまり から導き出すことができます 。 m 0 m f = m f + m p m f = m p m f + 1 {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{f}}}={\frac {m_{f}+m_{p}}{m_{f}}}={\frac {m_{p}}{m_{f}}}+1}
有効排気速度 有効排気速度は、多くの場合、 特定の推力 として指定され、それらは次のように関連しています 。 v e = g 0 I sp , {\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}
I sp {\displaystyle I_{\text{sp}}} 秒単位の比推力、 v e {\displaystyle v_{\text{e}}} はm/s で測定された比推力であり、m/s（gがft/s 2 の場合はft/s ） で測定された有効排気速度と同じである。 g 0 {\displaystyle g_{0}} は標準重力 で、9.80665 m/s 2 （ ヤード・ポンド法 では32.174 ft/s 2 ）です 。
適用範囲 ロケット方程式は、ロケット飛行物理学の本質を1つの短い方程式にまとめたものです。この方程式は、有効排気速度が一定の場合、ロケットのような反動体にも成り立ち、有効排気速度が変化する場合でも、合計または積分することができます。ロケット方程式は、ロケットエンジンからの反動力のみを考慮しており、 空気力 や 重力 など、ロケットに作用する可能性のある他の力は考慮していません。そのため、大気圏を持つ惑星からの打ち上げ（または惑星への動力降下）に必要な推進剤の量を計算する際に、これらの力の影響をデルタVの必要量に考慮する必要があります（以下の例を参照）。「ロケット方程式の暴政」と呼ばれる現象において、ロケットが搭載できる ペイロード の量には限界があります。推進剤の量が増えると総重量が増加し、燃料消費量も増加するためです。 [7]この式は、 エアロブレーキ 、 ガンランチ 、 宇宙エレベーター 、 ランチループ、 テザー推進 、 軽帆 など の ロケット以外のシステム には適用されません 。
ロケット方程式は、 特定の新しい軌道に変更するために必要な推進剤の量を決定するため、または特定の推進剤燃焼の結果としての新しい軌道を見つけるために、軌道 操作に適用することができます。軌道操作に適用する場合、推進剤が放出され、デルタ v が瞬間的に適用される 衝撃操作 を仮定します。この仮定は、中間コース修正や軌道投入操作などの短時間の燃焼に対しては比較的正確です。燃焼時間が長くなると、操作期間中の車両への重力の影響により結果の精度は低下します。 電気推進 などの低推力で長時間の推進の場合、宇宙船の状態ベクトルの伝播と推力の積分に基づくより複雑な解析を使用して軌道運動を予測します。
例 排気速度を毎秒 4,500 メートル (15,000 フィート/秒)、対気速度を 毎秒 9,700 メートル (32,000 フィート/秒) と想定します (地球から LEO まで、 重力と空気抵抗を克服するため)。 Δ v {\displaystyle \Delta v} Δ v {\displaystyle \Delta v}
単段軌道 ロケット： = 0.884、したがって初期総質量の88.4%は推進剤となる。残りの11.6%はエンジン、燃料タンク、ペイロードに充てられる。 1 − e − 9.7 / 4.5 {\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}} 二段式軌道投入 ：第一段が 毎秒5,000メートル（16,000フィート/秒）の推進力を提供すると仮定します。 = 0.671 なので、初期総質量の67.1%を第一段の推進剤とする必要があります。残りの質量は32.9%です。第一段を処分した後、この32.9%から第一段の燃料タンクとエンジンの質量を差し引いた質量が残ります。これが初期総質量の8%だと仮定すると、24.9%が残ります。第二段は 毎秒4,700メートル（15,000フィート/秒）の推進力を提供すると仮定します。 = 0.648なので、残りの質量の64.8%は推進剤、つまり当初の総質量の16.2%を占め、残りの8.7%は第2段の燃料タンクとエンジン、ペイロード、そしてスペースシャトルの場合はオービターにも充てられます。つまり、エンジン、燃料タンク、そしてペイロードを合わせると、当初の打ち上げ質量の16.7%が使用可能となり ます 。 Δ v {\displaystyle \Delta v} 1 − e − 5.0 / 4.5 {\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}} Δ v {\displaystyle \Delta v} 1 − e − 4.7 / 4.5 {\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}
ステージ 段階的に推進するロケット段 の場合 、各段にこの式が適用されます。各段の初期質量は、前の段を廃棄した後のロケットの全質量であり、最終質量は、当該段を廃棄する直前のロケットの全質量です。各段の比推力は異なる場合があります。
例えば、ロケットの質量の80%が第一段の燃料で、10%が第一段の乾燥質量、そして残りの10%がロケット本体だとすると、
Δ v = v e ln 100 100 − 80 = v e ln 5 = 1.61 v e . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}
各ステージが 同じである、類似した、その後に小さくなるステージが 3 つある場合、次のようになります。 v e {\displaystyle v_{\text{e}}}
Δ v = 3 v e ln 5 = 4.83 v e {\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}
ペイロードは初期質量の 10% × 10% × 10% = 0.1% になります。
同等の SSTO ロケット（ペイロード0.1%）の場合、燃料タンクとエンジンの質量が11.1%、燃料が88.8%となる。
Δ v = v e ln ( 100 / 11.2 ) = 2.19 v e . {\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}
前のステージが廃棄される前に新しいステージのモーターが点火され、同時に作動するモーターが異なる特定の推力を持つ場合（固体ロケットブースターと液体燃料ステージの場合によくあるように）、状況はさらに複雑になります。
参照
参考文献 ^ abК 。 Ціолковскій、Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами、1903年 (オンラインで入手可能。2011 年 8 月 15 日に ウェイバック マシンで RAR 形式の PDFでアーカイブ ) ^ abc Tsiolkovsky, K. 「反応型飛行機械」 （PDF） 。 ^ abムーア、ウィリアム (1810). 「非抵抗 媒体 および抵抗媒体中におけるロケットの運動について」 自然哲学、化学、芸術ジャーナル 27 : 276–285 . ^ ab ムーア、ウィリアム (1813). 『ロケットの運動に関する論文：海軍砲術の理論と実践に関するエッセイ』G. & S. ロビンソン. ^ ブランコ、フィリップ（2019年11月）「ロケット推進への離散的かつエネルギー的なアプローチ」 物理教育 . 54 (6): 065001. Bibcode :2019PhyEd..54f5001B. doi :10.1088/1361-6552/ab315b. S2CID 202130640. ^ ロバート・L.「相対論的ロケット方程式の透明な導出」（最終ページの式15の右側を参照。Rは初期質量と最終質量の比、wは排気速度であり 、 本論文の表記法の v e に相当） ^ 「ロケット方程式の暴政」 NASA.gov . 2022年3月6日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2016年4月18日 閲覧。
外部リンク ロケット方程式の導出方法 相対性理論計算機 – ツィオルコフスキーのロケット方程式を学ぶ WolframAlphaのツィオルコフスキーのロケット方程式のグラフと計算機
![{\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b3f9376e3f80de022939656d53c9fdb0f5a881)
![{\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506b68f3ef6f9d1d236a2f4ab7bfbf995189b937)
![{\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed86ee6ab335e3c73886168248dbc1443e0b40)
