ロドリゲスの公式

Formula for the Legendre polynomials

数学において、ロドリゲスの公式（以前はアイボリー・ヤコビの公式と呼ばれていた）は、ルジャンドル多項式を生成する。この公式は、オリンデ・ロドリゲス （1816年）、サー・ジェームズ・アイボリー （1824年）、カール・グスタフ・ヤコビ （1827年）によって独立に提唱された。「ロドリゲスの公式」という名称は、1865年にエルミートがロドリゲスが最初に発見したと指摘した後、1878年にハイネによって提唱された。この用語は、他の直交多項式の同様の公式を説明する際にも用いられる。Askey（2005年）は、ロドリゲスの公式の歴史を詳細に説明している。

声明

を重み関数に関する区間上の直交多項式の列とする。すなわち、これらは次数 を持ち、直交条件を満たす。ただし、 は に依存する非零定数であり、はクロネッカーのデルタである。区間は、片側または両側で無限大になる場合がある。 ${\displaystyle (P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle deg(P_{n})=n}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n}}$$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta _{m,n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

ロドリゲス型の式—が最大次数 1 の多項式であり、が最大次数 2 の多項式であり、任意の に対して である場合。 $${\displaystyle w(x)=W(x)/B(x),\quad {\frac {W'(x)}{W(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}x^{k}W(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}x^{k}W(x)=0.}$$ ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

そして、すべての に対してであれば、いくつかの定数に対して となります。 ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right]\neq 0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$ ${\displaystyle c_{n}}$

証明^[1]

とすると、任意の多項式 に対して となり、 が成り立つ。 に関する帰納法で証明される。 ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$ ${\textstyle F_{k}=B^{n-k}p_{k}}$ ${\textstyle k\in 0:n}$ ${\textstyle p_{k}}$ ${\textstyle deg(p_{k})\leq k}$ ${\textstyle k}$ $${\displaystyle F_{k+1}=B^{n-k-1}(Bp_{k}'+(n-k)B'p_{k}+(A-B')p_{k})}$$

とします。 は次数 の多項式であることを示しました。 を部分積分すると、であるので、すべての に対して が成り立ちます。したがって、について直交多項式級数を構成します。したがって、いくつかの定数 に対して が成り立ちます。 ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$ ${\textstyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\textstyle n>m}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}Q_{m}Q_{n}wdx=\int _{a}^{b}B^{n}w(D_{x}^{n}Q_{m})dx=0}$$ ${\textstyle D_{x}^{n}Q_{m}=0}$ ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ ${\textstyle c_{n}}$

微分方程式^[2] — $${\displaystyle B(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{n}(x)+A(x){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)+\lambda _{n}P_{n}(x)=0}$$

$${\displaystyle \lambda _{n}=-{\frac {1}{2}}n(n-1)B''-nA'}$$

証明^[3]

のとき、それは自明である。 のとき、それは に簡約され、これは であるので真である。そこで と仮定する。 を定義すると、直接計算と簡約化により、証明する方程式は次の式と等しくなる。 ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle AP_{1}'=A'P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle I_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B^{n}(x)w(x))}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {d}{dx}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0}$$

ライプニッツの微分法によれば、

$${\displaystyle B(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {d^{n-2}}{dx^{n-2}}}(B''y)}$$

$${\displaystyle A(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(A'y)}$$

任意の に対して となる。これにより 階微分方程式の反対側に移ることができる。 を設定し、 と定義する。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A(x),B(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=B^{n}(x)w(x)}$

$${\displaystyle J(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)y(x))-n{\frac {d}{dx}}(B'(x)y(x))+{\frac {n(n-1)}{2}}B''y(x)}$$

$${\displaystyle K(x)=-{\frac {d}{dx}}(A(x)y(x))+nA'y(x)}$$

$${\displaystyle L(x)=\lambda _{n}y(x)}$$

すると方程式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(J+K+L)=0}$

${\displaystyle J(x)}$には 3 つの項があるので、それらを の順に呼び出します。には 2 つの項があるので、それらを の順に呼び出します。 ${\displaystyle J_{1}(x),J_{2}(x),J_{3}(x)}$ ${\displaystyle K(x)}$ ${\displaystyle K_{1}(x),K_{2}(x)}$

${\displaystyle J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''+nA')y=0}$。

それは、最初の記述から次のよう に導かれる。 ${\displaystyle J_{1}(x)+J_{2}(x)+K_{1}(x)=0}$ ${\displaystyle J_{1}(x)}$

${\displaystyle J_{1}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right)}$

そして最も内側の1次導関数をとって

${\displaystyle J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\bigg (}nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x){\bigg )}\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right]}$

これを書き直すと

${\displaystyle J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}{\Big (}nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x){\Big )}}$

最初の項は の負の値であり、2 番目の項は の負の値です。 ${\displaystyle J_{2}(x)}$ ${\displaystyle K_{1}(x)}$

より抽象的に、これはシュトゥルム・リウヴィル理論を通して見ることができます。演算子 を定義すると、微分方程式は と等価になります。関数空間 を上の関数のヒルベルト空間として定義し、 が成り立つようにします。すると、演算子 は特定の境界条件を満たす関数上で自己随伴となり、スペクトル定理を適用できるようになります。 ${\displaystyle Lf:=-{\frac {1}{w}}(Wf')'}$ ${\displaystyle LP_{n}=\lambda _{n}P_{n}}$ ${\displaystyle X=L^{2}([a,b],w(x)dx)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}fgw}$ ${\displaystyle L}$

母関数

コーシーの積分公式を用いた簡単な議論は、ロドリゲスの公式から得られる直交多項式が次のような生成関数を持つことを示している。

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$

ここでの関数は標準的な正規化が施されていないかもしれない。しかし、これは次のように等価に書ける。 ${\displaystyle P_{n}(x)}$

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

ここで、これらはアプリケーションに応じて、所望の正規化が得られるように選択される。変数uはuの定数倍に置き換えられ、 ${\displaystyle N_{n}}$

$G(x,\alpha u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

これにより、生成関数の別の形式が得られます。

コーシーの積分公式により、ロドリゲスの公式は と等価である。ここで積分は の周りを反時計回りに閉ループに沿っている。 $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}{\frac {c_{n}}{w(x)}}\oint _{C}{\frac {B^{n}(t)w(t)}{(t-x)^{n+1}}}\,dt}$$ ${\displaystyle x}$

$u={\frac {t-x}{B(t)}}$

すると、複素経路積分は次の形をとる。

$P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}c_{n}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du$

$G(x,u)={\frac {w(t){\frac {dt}{du}}}{w(x)B(t)}}$

ここで、閉経路Cは原点を囲む。の式において、はの暗黙の関数である。先に示したべき級数展開により、 ${\displaystyle G(x,u)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G(x,u)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\sum _{m=0}^{\infty }u^{m}P_{m}(x)}{u^{n+1}}}\,du=P_{n}(x)}$

項のみが非ゼロの留数を持ち、それは です。前述のように、正規化は後から挿入できる規則であるため、係数は省略されています。 ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n!\,c_{n}}$

先ほど示した の一般式において t を u で表すことで、 の明示的な公式が得られます。簡単な例として、および（エルミート多項式）とすると、 、、となり、 となります。 ${\displaystyle G(x,u)}$ ${\displaystyle G(x,u)}$ ${\displaystyle B(x)=1}$ ${\displaystyle A(x)=-x}$ ${\displaystyle w(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle t=u+x}$ ${\displaystyle w(t)=\exp \left(-{\frac {(u+x)^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle G(x,u)=\exp \left(-xu-{\frac {u^{2}}{2}}\right)}$

例

家族	${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle w}$	${\displaystyle W}$	${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle c_{n}}$
ルジャンドル ${\displaystyle P_{n}}$	${\displaystyle [-1,+1]}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}}$
チェビシェフ（第1種） ${\displaystyle T_{n}}$	${\displaystyle [-1,+1]}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!!}}}$
チェビシェフ（第2種） ${\displaystyle U_{n}}$	${\displaystyle [-1,+1]}$	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}}$	${\displaystyle -3x}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}(n+1)}{(2n+1)!!}}}$
ゲーゲンバウアー/超球状 ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}$	${\displaystyle [-1,+1]}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha -1/2}(1+x)^{\alpha -1/2}}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha +1/2}(1+x)^{\alpha +1/2}}$	${\displaystyle -(2\alpha +1)x}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}2^{n}n!}}}$
ヤコビ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$	${\displaystyle [-1,+1]}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha +1}(1+x)^{\beta +1}}$	${\displaystyle (\beta -\alpha )-(\alpha +\beta +2)x}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}}$
ラゲール関連 ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$	${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}}$	${\displaystyle x^{\alpha +1}e^{-x}}$	${\displaystyle \alpha +1-x}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$
物理学者のエルミート ${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (-1)^{n}}$

これらの公式^{[4] [5]は}古典的な直交多項式に対するものである。同様の公式は、シュトゥルム・リウヴィル方程式から生じる他の多くの直交関数列にも成り立ち、特に結果として得られる列が多項式である場合、これらはロドリゲスの公式（またはロドリゲス型公式）とも呼ばれる。

ルジャンドル

出典: ^[6]

ロドリゲスはルジャンドル多項式の公式を次のように述べました。ルジャンドル多項式の場合、生成関数は と定義されます。 ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.}$$ $${\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0}$$ $G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$

周回積分はルジャンドル多項式に対するシュレーフリ積分^[7]を与える：積分関数を合計すると、となる。 が小さい場合、 となり、これは経験的に の周りの留数となるべき積分であることを示しているので、 $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i2^{n}}}\oint _{C}{\frac {(t^{2}-1)^{n}}{(t-x)^{n+1}}}dt}$$ $${\displaystyle G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\left({\frac {1}{t-t_{-}}}-{\frac {1}{t-t_{+}}}\right)dt}$$ ${\displaystyle t_{\pm }={\frac {1}{u}}(1\pm {\sqrt {1-2ux+u^{2}}})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t_{-}\approx x,t_{+}\to \infty }$ ${\displaystyle t_{-}}$ $${\displaystyle G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}}$$

エルミート

出典: ^[8]

物理学者のエルミート多項式： $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$ $${\displaystyle H_{n}''-2xH_{n}'+2nH_{n}=0}$$

生成関数は次のように定義される。 $${\displaystyle G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}\,u^{n}.}$$ $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{x^{2}}}{n!}}{\frac {n!}{2\pi i}}\,u^{n}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}u^{n}}{(t-x)^{n+1}}}\right)dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}{\frac {1}{t-x+u}}\\&=e^{x^{2}}\,e^{-(x-u)^{2}}\\&=e^{2xu-u^{2}}\end{aligned}}}$$

ラゲール

出典: ^[9]

関連するラゲール多項式の場合、 $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}$$ $${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )}(x)''+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )}(x)'+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0~.}$$

生成関数は次のように定義されます。同じ方法で、次の式が得られます。 $${\displaystyle G(x,u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)}$$ ${\displaystyle G(x,u)={\frac {1}{(1-u)^{\alpha +1}}}e^{-{\frac {ux}{1-u}}}}$

ヤコビ

出典: ^[10]

$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left\{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(1-x^{2}\right)^{n}\right\}.}$$ $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}'+n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=0.}$$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)u^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-u+R)^{-\alpha }(1+u+R)^{-\beta },}$

ここで、平方根の枝はとなるように選択されます。 ${\textstyle R={\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}$ ${\displaystyle R(x,0)=1}$

参照

• 古典的な直交多項式

参考文献

1. シャピロ、ジョエル (2016). 「ロドリゲスの公式と直交多項式」(PDF) . p. 1.
2. シャピロ 2016、2ページ。
3. シャピロ 2016、2ページ。
4. Shapiro (2016). 「物理学 464/511 Lecture J」(PDF) .
5. NIST. 「ロドリゲスの公式と直交多項式」。
6. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005).物理学者のための数学的手法 第6版. Elsevier Academic Press. p. 741. ISBN 0-12-059876-0。
7. Schläfli、Ludwig (1881)、「Über die zwei Heineschen Kugelfunktionen mit beliebigem Parameter und ihre ausnahmslose Darstellung durch bestimmte Integrale」、Gesammelte Mathematische Abhandlungen、バーゼル: Springer Basel、pp.  317–392、ISBN 978-3-0348-4044-6 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
8. ArfkenとWeber 2005、817ページ。
9. ArfkenとWeber 2005、837ページ。
10. NIST. 「§18.12 生成関数」

• アスキー、リチャード（2005）「1839年の順列に関する論文：ロドリゲスの公式との関係およびさらなる発展」、アルトマン、シモン・L.、オルティス、エドゥアルド・L.（編）『フランスにおける数学と社会的ユートピア：オリンデ・ロドリゲスとその時代』、数学史、第28巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  105– 118、ISBN 978-0-8218-3860-0
• アイヴォリー、ジェームズ（1824）「軸を中心に回転する均質流体塊の平衡を保つために必要な図形について」、ロンドン王立協会哲学論文集、114、王立協会：85-150、doi：10.1098/rstl.1824.0008、JSTOR  107707
• Jacobi、CGJ (1827)、「Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、2 : 223–226、doi :10.1515/crll.1827.2.223、ISSN  0075-4102、S2CID  120291793
• オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「Olinde Rodrigues」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント アンドリュース大学
• ロドリゲス、オリンド(1816)、「球状の魅力」、フランス帝国工科大学通信、(パリ大学理学部の論文)、3 (3): 361–385

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