部屋の正方形

ルームスクエアは、トーマスジェラルドルームにちなんで名付けられ、次の式で表されるn + 1 個の異なるシンボルで埋められたn行n列の配列です。

配列の各セルは空であるか、シンボルの集合から順序付けられていないペアを含んでいる。
各シンボルは配列の各行と各列に1回ずつ出現する
順序付けられていないシンボルのペアはすべて、配列の 1 つのセルにのみ出現します。

たとえば、シンボルの集合が0 から 7 までの整数である場合の、順序 7 の Room 正方形は次のようになります。

0,7			1.5		4,6	2,3
3,4	1,7			2,6		0.5
1,6	4,5	2,7			0,3
	0,2	5,6	3,7			1,4
2,5		1,3	0,6	4,7
	3,6		2,4	0,1	5,7
		0,4		3,5	1,2	6,7

nが3 または 5 でない奇数の場合にのみ、部屋の正方形 (または複数の正方形) が存在することが知られています。

歴史

7次のルームスクエアは、19世紀半ばにロバート・リチャード・アンスティスによってカークマンの女子高生問題の解法として用いられ、アンスティス自身も無限のルームスクエア族を構築したが、彼の構築は注目されなかった。 ^[1] トーマス・ジェラルド・ルームは1955年に発表された論文の中でルームスクエアを再発明し、^[2]彼の名にちなんでルームスクエアと名付けられた。ルームはこのテーマに関する最初の論文で、nは奇数かつ3または5と等しくない必要があると指摘したが、これらの条件が必要かつ十分であることが示されたのは、1973年のWD・ウォリスの研究まで待たなければならなかった。^[3]

アプリケーション

ルームの論文以前から、ルーム・スクエアはデュプリケート・ブリッジ・トーナメントのディレクターによってトーナメントの構成に使用されていました。この用途では、ルーム・スクエアはハウエル・ローテーションとして知られています。スクエアの列はテーブルを表し、各テーブルには、そのテーブルで対戦する各チームのペアが使用するカードの配り方が記されています。スクエアの行はトーナメントのラウンドを表し、スクエアのセル内の数字は、そのセルが表すテーブルとラウンドで対戦予定のチームを表します。

アーチボルドとジョンソンは実験デザインを構築するためにルームスクエアを使用した。^[4]

ルームスクエアと他の数学的オブジェクト（準群、ラテン方陣、グラフ因数分解、シュタイナー三重体系など）の間には関連性がある。^[5]

参照

参考文献

^ オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ロバート・アンスティス」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学。
^ Room, TG (1955)、「新しいタイプの魔方陣」、The Mathematical Gazette、39 :307、doi :10.2307/3608578、JSTOR 3608578、S2CID 125711658
^ ヒルシュフェルド, JWP ; ウォール, GE (1987)、「トーマス・ジェラルド・ルーム。1902年11月10日～1986年4月2日」、王立協会フェロー伝記、33 : 575–601、doi :10.1098/rsbm.1987.0020、JSTOR 769963、S2CID 73328766 ;オーストラリア科学史記録 7 (1): 109–122, doi :10.1071/HR9870710109にも掲載。要約版はオーストラリア科学アカデミーのウェブサイトでオンラインで閲覧できる。
^ Archbold, JW; Johnson, NL (1958)、「ルームの正方形の構築と実験計画への応用」、Annals of Mathematical Statistics、29 : 219– 225、doi : 10.1214/aoms/1177706719、MR 0102156
^ Wallis, WD (1972)、「パート2：ルームスクエア」、Wallis, WD; Street, Anne Penfold ; Wallis, Jennifer Seberry (編)、Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices、Lecture Notes in Mathematics、vol. 292、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. 30– 121、doi :10.1007/BFb0069909、ISBN 0-387-06035-9特に33ページを参照

さらに読む

Dinitz, JH; Stinson, DR (1992)「Room squares and related designs」、Dinitz, JH; Stinson, DR (eds.)、Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys、Wiley–Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization、John Wiley & Sons、pp. 137– 204、ISBN 0-471-53141-3
ワイスタイン、エリック W.、「ルームスクエア」、MathWorld

[anstice-1] オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ロバート・アンスティス」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学。

[room-2] Room, TG (1955)、「新しいタイプの魔方陣」、The Mathematical Gazette、39 :307、doi :10.2307/3608578、JSTOR 3608578、S2CID 125711658

[hw-3] ヒルシュフェルド, JWP ; ウォール, GE (1987)、「トーマス・ジェラルド・ルーム。1902年11月10日～1986年4月2日」、王立協会フェロー伝記、33 : 575–601、doi :10.1098/rsbm.1987.0020、JSTOR 769963、S2CID 73328766 ;オーストラリア科学史記録 7 (1): 109–122, doi :10.1071/HR9870710109にも掲載。要約版はオーストラリア科学アカデミーのウェブサイトでオンラインで閲覧できる。

[aj-4] Archbold, JW; Johnson, NL (1958)、「ルームの正方形の構築と実験計画への応用」、Annals of Mathematical Statistics、29 : 219– 225、doi : 10.1214/aoms/1177706719、MR 0102156

[wallis-5] Wallis, WD (1972)、「パート2：ルームスクエア」、Wallis, WD; Street, Anne Penfold ; Wallis, Jennifer Seberry (編)、Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices、Lecture Notes in Mathematics、vol. 292、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. 30– 121、doi :10.1007/BFb0069909、ISBN 0-387-06035-9特に33ページを参照

0,7			1.5		4,6	2,3
3,4	1,7			2,6		0.5
1,6	4,5	2,7			0,3
	0,2	5,6	3,7			1,4
2,5		1,3	0,6	4,7
	3,6		2,4	0,1	5,7
		0,4		3,5	1,2	6,7

0,7			1.5		4,6	2,3
3,4	1,7			2,6		0.5
1,6	4,5	2,7			0,3
	0,2	5,6	3,7			1,4
2,5		1,3	0,6	4,7
	3,6		2,4	0,1	5,7
		0,4		3,5	1,2	6,7

0,7			1.5		4,6	2,3
3,4	1,7			2,6		0.5
1,6	4,5	2,7			0,3
	0,2	5,6	3,7			1,4
2,5		1,3	0,6	4,7
	3,6		2,4	0,1	5,7
		0,4		3,5	1,2	6,7