リュードベリ定数

Physical constants of energy and wavenumber

分光学において、リュードベリ定数（重原子または水素の記号）は、スウェーデンの物理学者ヨハネス・リュードベリにちなんで名付けられ、原子の電磁スペクトルに関連する物理定数です。この定数は、水素スペクトル系列のリュードベリ式における経験的フィッティングパラメータとして初めて登場しましたが、後にニールス・ボーアは、彼の原子モデルに基づいて、より基本的な定数からその値を計算できることを示しました。 ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

2019年のSI改訂以前は、電子スピンg係数が最も正確に測定された物理定数であった。^[1] ${\displaystyle R_{\infty }}$

定数は、水素原子については、核質量が無限大の極限では と表される。いずれの場合も、定数は、水素原子から放出される光子の最高波数（波長の逆数）の極限値、あるいは、水素原子を基底状態から電離させることができる最低エネルギー光子の波数を表すために使用される。水素のスペクトル系列は、水素のリュードベリ定数とリュードベリの式を用いて簡単に表すことができる。 ${\displaystyle R_{\text{H}}}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

原子物理学において、リュードベリエネルギー単位（記号Ry）は、リュードベリ定数である波数を持つ光子のエネルギー、すなわち、簡略化されたボーア模型における水素原子のイオン化エネルギーに対応する。^[要出典]

価値

リュードベリ定数

CODATA値は

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=}$ 10 973 731 .568 157 (12) m ⁻¹、^[2]

どこ

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の静止質量（つまり電子質量）であり、
• ${\displaystyle e}$は素電荷であり、
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率であり、
• ${\displaystyle h}$はプランク定数であり、
• ${\displaystyle c}$真空中の光の速度です。

この記号は原子核が無限に重いと仮定していることを意味しており、原子の質量を減じることで値を改善できます。 ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{\text{e}}}}+{\frac {1}{M}}}}}$

原子核の質量と比例関係にある。補正されたリュードベリ定数は次の通りである。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R_{\text{M}}={\frac {\mu }{m_{\text{e}}}}R_{\infty }}$

水素の場合、陽子の質量は次のようになります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$

${\displaystyle R_{\text{H}}={\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}R_{\infty }\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{ m}}^{-1},}$

リュードベリ定数は原子のスペクトル線と関連しているため、この補正は異なる同位体間の同位体シフトをもたらします。例えば、陽子と中性子（）からなる原子核を持つ水素の同位体である重水素は、そのスペクトルのわずかなシフトによって発見されました。^[3] ${\displaystyle M=m_{\text{p}}+m_{\text{n}}\approx 2m_{\text{p}}}$

リュードベリエネルギー単位

リュードベリのエネルギー単位は

${\displaystyle 1\ {\text{Ry}}~~\equiv hc\,R_{\infty }=\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}/2}$

＝2.179 872 361 1030 (24) × 10 ⁻¹⁸  J ‍ [ ^4]

＝13.605 693 122 990 (15) eV ‍ [ ^5]

リュードベリ周波数

${\displaystyle cR_{\infty }}$＝3.289 841 960 2500 (36) × 10 ¹⁵  Hz . ^[6]

リュードベリ波長

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;826(10)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$。

対応する角波長は

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;77(16)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$。

ボーアモデル

ボーア模型は、水素（水素スペクトル系列参照）をはじめとする様々な原子やイオンの原子スペクトルを説明します。完全に正確ではありませんが、多くの場合、非常に良好な近似値を示し、歴史的に量子力学の発展において重要な役割を果たしてきました。ボーア模型は、電子が原子核の周りを惑星が太陽の周りを回るのと同様に回転すると仮定しています。

ボーア模型の最も単純なバージョンでは、原子核の質量は電子の質量に比べて無限大とみなされ、^[7]系の質量中心である重心は原子核の中心に位置する。この無限質量近似は、添え字で暗示されている。ボーア模型によれば、水素原子の遷移波長は次のように予測される（リュードベリの式を参照）。 ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

ここで、n ₁とn _{2 は}任意の2つの異なる正の整数（1、2、3、…）であり、は放出または吸収される光の（真空中の）波長であり、 ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

ここで、Mは原子核の全質量です。この式は、電子の換算質量を代入することで得られます。 ${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},}$

精密測定

リュードベリ定数は、相対標準不確かさが1.1 × 10 ⁻¹²。^[2]この精度は、それを定義する他の物理定数の値を制約する。^[8]

ボーア模型は微細構造、超微細分裂、その他の効果により完全に正確ではないため、水素原子の原子遷移周波数のみからリュードベリ定数を非常に高い精度で直接測定することはできません。その代わりに、リュードベリ定数は3つの異なる原子（水素、重水素、反陽子ヘリウム）の原子遷移周波数の測定から推定されます。有限の原子核質量、微細構造、超微細分裂などの影響を考慮するために、量子電磁力学の枠組みにおける詳細な理論計算が用いられます。最終的に、測定値と理論との最良の適合からの値が決定されます。 ^[9] ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$

代替表現

リュードベリ定数は次の式で表すこともできます。

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{2h}}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

エネルギー単位では

${\displaystyle {\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}},}$

どこ

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$は電子の静止質量であり、
• ${\displaystyle e}$電子の電荷であり、
• ${\displaystyle h}$はプランク定数であり、
• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$は換算プランク定数であり、
• ${\displaystyle c}$真空中の光の速度は
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は電気定数（真空誘電率）であり、
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$は微細構造定数であり、
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$電子のコンプトン波長である。
• ${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$電子のコンプトン周波数である。
• ${\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$は電子のコンプトン角周波数であり、
• ${\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}/{e^{2}m_{\text{e}}}}$はボーア半径であり、
• ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$は古典的な電子半径です。

最初の方程式の最後の式は、水素原子をイオン化するために必要な光の波長が、原子のボーア半径の 4 π / α倍であることを示しています。

2 番目の式は、その値が水素原子の原子軌道のエネルギーの係数であるため、重要です。 ${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$

参照

• ライマン限界

参考文献

1. ポール、ランドルフ;アントニーニ、アルド。ネズ、フランソワ。アマロ、フェルナンド D.ビラベン、フランソワ。カルドーソ、ジョアンMR;コヴィタ、ダニエル S.ダックス、アンドレアス。ダワン、サティシュ。フェルナンデス、ルイス議員。ギーセン、アドルフ。グラフ、トーマス。ハンシュ、テオドール W.インデリカート、ポール。ジュリアン、ルシール。カオ、チェンヤン。ノウルズ、ポール。ル・ビゴー、エリック・オリヴィエ。リュウ、イーウェイ。ロペス、ホセAM;ルドヴァ、リヴィア;モンテイロ、クリスティーナ MB;ミュルハウザー、フランソワーズ。ネーベル、トビアス。ラビノウィッツ、ポール。ドス・サントス、ホアキンMF。シャラー、ルーカス A.シューマン、カルステン。シュウォブ, キャサリン; タック, デイヴィッド (2010). 「陽子の大きさ」. Nature . 466 (7303): 213– 216. Bibcode :2010Natur.466..213P. doi :10.1038/nature09250. PMID  20613837. S2CID  4424731.
2. 「2022 CODATA値：リュードベリ定数」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。2024年5月18日閲覧。
3. 量子力学（第2版）、BHブランスデン、CJジョアチェイン、プレンティスホール出版社、2000年、ISBN 0-582-35691-1
4. 「2022 CODATA値：リュードベリ定数×hc（J）」NIST定数、単位、不確かさに関する参考資料。NIST 。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。
5. 「2022 CODATA値：リュードベリ定数×hc（eV）」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。
6. 「2022 CODATA値：リュードベリ定数×c（Hz）」NIST定数、単位、不確かさに関する参考資料。NIST 。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。
7. Coffman, Moody L. (1965). 「有限核質量におけるリュードベリ定数の補正」. American Journal of Physics . 33 (10): 820– 823. Bibcode :1965AmJPh..33..820C. doi :10.1119/1.1970992.
8. PJ Mohr, BN Taylor, DB Newell (2015), "The 2014 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 7.0). このデータベースはJ. Baker, M. Douma, S. Kotochigovaによって開発されました。http://physics.nist.gov/constants から入手できます。国立標準技術研究所（NIST）、メリーランド州ゲイサーズバーグ 20899。R∞へのリンク、hcR∞へのリンク。Mohr , Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010". Reviews of Modern Physics . 84 (4): 1527– 1605. arXiv : 1203.5425 . Bibcode :2012RvMP...84.1527M. doi :10.1103/RevModPhys.84.1527. S2CID  103378639{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)モーア, ピーター J.、テイラー, バリー N.、ニューウェル, デビッド B. (2012). 「CODATA による基礎物理定数の推奨値：2010」. Journal of Physical and Chemical Reference Data . 41 (4): 043109. arXiv : 1507.07956 . Bibcode :2012JPCRD..41d3109M. doi :10.1063/1.4724320{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)。
9. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). 「CODATAによる基礎物理定数の推奨値：2006年」Reviews of Modern Physics . 80 (2): 633– 730. arXiv : 0801.0028 . Bibcode :2008RvMP...80..633M. doi :10.1103/RevModPhys.80.633.

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