Matrix representing the effect of scattering on a physical system
物理学 において 、 S 行列 または 散乱行列は、 散乱過程 にある物理系の初期状態と終状態を関連付ける 行列 である。 量子力学 、 散乱理論 、 場の量子論 （QFT）において用いられる 。
より正式には、場の理論理論（QFT）の文脈において、 S 行列は、物理状態の ヒルベルト空間 における漸近的に自由な粒子状態（ インステート と アウトステート ）の集合を連結する ユニタリ行列 として定義される。多粒子状態は、 ローレンツ変換 によって、以下の式 (1) で規定されるように 、 一粒子状態の テンソル積 （物理学用語では 直積 ）として 変換される場合、 自由 （または非相互作用）であると言われる 。 漸近的に自由 とは、状態が遠い過去または遠い未来のいずれかにおいてこの様相を呈することを意味する。
S行列は、漸近的に解け、 事象の地平線 を持たない任意の背景（ 時空 ）に対して定義できます が、 ミンコフスキー空間 の場合は単純な形になります。この特殊な場合において、ヒルベルト空間は、 非同次 ローレンツ群 （ ポアンカレ群 ） の既約 ユニタリ表現 の空間です。S 行列 は、（遠い過去）と（遠い未来） の間の 発展演算子 です 。これは、エネルギー密度がゼロ（または粒子の分離距離が無限大）の極限においてのみ定義されます。 t = − ∞ {\displaystyle t=-\infty } t = + ∞ {\displaystyle t=+\infty }
ミンコフスキー空間の量子場理論に質量ギャップ がある場合、 漸近過去の状態と漸近未来の 状態は両方とも フォック空間 によって記述されることが示されます 。
歴史 S 行列理論の初期要素は 、 ポール・ディラック の1927年の論文「原子核の量子力学について」 に見られる。 [1] [2] S行列は、 ジョン・アーチボルド・ホイーラー が1937年の論文「共鳴群構造法による軽核の数学的記述について」で 初めて正式に導入した。 [3] この論文でホイーラーは 散乱行列 、つまり「積分方程式の任意の特定解の漸近挙動と標準形の解の漸近挙動」を結び付ける係数のユニタリ行列を導入したが、 [4] 完全には発展させなかった。
1940年代、 ヴェルナー・ハイゼンベルクは S 行列の概念を独自に発展させ、実証しました 。 当時の 量子場理論には問題となる発散が存在していたため、ハイゼンベルクは理論の発展に伴う将来の変化の影響を受けない、 理論の本質的な特徴 を分離しようとしました。その過程で、彼はユニタリな「特性」 S 行列を導入するに至りました。 [4]
しかしながら今日では、正確な S行列の結果は、 共形場理論 、 可積分系、そして量子場理論や 弦理論 のいくつかの分野 において重要です 。S行列 は 場の理論的処理の代替ではなく、むしろその最終結果を補完するものです。
モチベーション 高エネルギー 素粒子物理学では、 散乱 実験における様々な結果の 確率 を計算することに関心が寄せられています 。これらの実験は3つの段階に分けられます。
入射する粒子 の集合を 衝突させる（通常は高エネルギーを持つ 2 種類の粒子）。 入射粒子が相互作用できるようにする。これらの相互作用により、存在する粒子の種類が変化する可能性があります（例えば、 電子 と 陽電子が 対消滅すると、2つの 光子 が生成される場合があります ）。 結果として放出される粒子を測定します。 入射粒子が相互作用 を通じて射出粒子へと 変化する過程は 散乱と 呼ばれます。素粒子物理学においては、これらの過程に関する物理理論は、異なる入射粒子が異なるエネルギーで衝突した場合に、異なる射出粒子が生成される確率を計算できなければなりません。
量子場理論におけるS行列はまさにこれを実現する。これらの場合には 、 小エネルギー密度近似が有効であると仮定される。
使用 S 行列は、 量子力学における 遷移 確率振幅 や様々な相互作用の 断面積と密接に関連しています 。S行列の 要素 （個々の数値エントリ）は 散乱振幅 として知られています 。 複素エネルギー平面における S 行列の 極は、 束縛状態 、仮想状態、または 共鳴 として識別されます。複素エネルギー平面における S 行列の 分岐は、 散乱チャネル の開口部と関連付けられています 。
量子場の理論における ハミルトニアン アプローチでは、 S行列は 相互作用描像 における積分ハミルトニアンの 時間順 指数 として計算される。また、 ファインマン経路積分 を用いて表すこともできる 。どちらの場合も、 S 行列の 摂動計算は ファインマン図 をもたらす 。
散乱理論 において 、 S 行列は、 ハイゼンベルク描像 において自由粒子の 入射状態を 自由粒子の 出射状態 （ 散乱チャネル ）に写像する 演算子 です 。これは、相互作用（少なくとも最も興味深い相互作用は）を正確に記述できないことが多いため、非常に有用です。
1次元量子力学では 説明のため、まず S 行列が2次元である単純なプロトタイプを考える。このプロトタイプでは、鋭いエネルギー E を持つ粒子が、1次元量子力学の法則に従って局在ポテンシャル V から散乱する。この単純なモデルは、より一般的なケースの特徴をいくつか示しているが、扱いやすい。
各エネルギー E は、 V に依存する 行列 S = S ( E ) を生成します。したがって、比喩的に言えば、適切な基底において、 与えられた V に対して、対角線上の2 × 2 ブロックを除くすべての要素がゼロである「連続行列」として、全体の S 行列を視覚化することができます。
意味 エネルギーE の量子粒子ビームが入射する 局所的な1次元 ポテンシャル障壁 V ( x ) を考える。これらの粒子はポテンシャル障壁に対して左から右へ入射する。
ポテンシャル障壁の外側における シュレーディンガー方程式 の解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では 、 右側の領域では で与えられる 平面波です。ここで は 波動ベクトル です 。時間依存性は概要では不要なので省略します。係数 A の項は入射波を表し、係数 C の項は出射波を表します。B は 反射波を表します。入射波は正方向（左から）に移動するものとして設定しているため、 D はゼロであり省略できます。 ψ L ( x ) = A e i k x + B e − i k x {\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}} ψ R ( x ) = C e i k x + D e − i k x {\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}} k = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}
「散乱振幅」、すなわち出射波と入射波の遷移の重なりは、 S 行列を定義する線形関係である。 ( B C ) = ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) ( A D ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}
上記の関係は次のように表すことができます。 ここで、 S の要素はポテンシャル障壁 V ( x ) の散乱特性を完全に特徴付けます 。 Ψ o u t = S Ψ i n {\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}} Ψ o u t = ( B C ) , Ψ i n = ( A D ) , S = ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) . {\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}
単一性 S 行列のユニタリー性は、 量子力学 における 確率流 の保存に直接関係しています 。
波動関数 ψ ( x ) の 確率電流密度 J は次のように定義される。 障壁の左側 の 確率電流密度は、 障壁の右側 の 確率電流密度は、 J = ℏ 2 m i ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ x − ψ ∂ ψ ∗ ∂ x ) . {\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).} J L ( x ) {\displaystyle J_{\rm {L}}(x)} ψ L ( x ) {\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)} J L ( x ) = ℏ k m ( | A | 2 − | B | 2 ) , {\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),} J R ( x ) {\displaystyle J_{\rm {R}}(x)} ψ R ( x ) {\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)} J R ( x ) = ℏ k m ( | C | 2 − | D | 2 ) . {\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}
確率電流の保存則では、 J L = J R となる。これは S 行列が ユニタリ行列で あることを意味する。
証拠 J L = J R | A | 2 − | B | 2 = | C | 2 − | D | 2 | B | 2 + | C | 2 = | A | 2 + | D | 2 Ψ out † Ψ out = Ψ in † Ψ in Ψ in † S † S Ψ in = Ψ in † Ψ in S † S = I {\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}
時間反転対称性 ポテンシャル V ( x ) が実数の場合、系は 時間反転対称性 を持つ。この条件下では、 ψ ( x )が シュレーディンガー方程式の解であれば、 ψ *( x ) も解となる。
時間反転解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では 、 ポテンシャル障壁の右側の領域では で与えられます。ここで、係数 B * 、 C *の項は入射波を表し、係数 A * 、 D * の項は 出射波を表します。 ψ L ∗ ( x ) = A ∗ e − i k x + B ∗ e i k x {\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}} ψ R ∗ ( x ) = C ∗ e − i k x + D ∗ e i k x {\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}
これらは再び S 行列によって関連づけられる。 つまり 、これらの関係 を合わせると条件が得られる。 この条件は、ユニタリー関係と相まって、 時間反転対称性の結果として S行列が対称であることを意味する。 ( A ∗ D ∗ ) = ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) ( B ∗ C ∗ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,} Ψ i n ∗ = S Ψ o u t ∗ . {\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.} Ψ i n ∗ = S Ψ o u t ∗ , Ψ o u t = S Ψ i n {\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}} S ∗ S = I {\displaystyle S^{*}S=I} S T = S . {\displaystyle S^{T}=S.}
対称性とユニタリー性を組み合わせることで、S行列は次のように表すことができます。
ここで、 および です 。つまり、S行列は3つの実パラメータによって決定されます。 ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) = ( e i φ e i δ ⋅ r e i φ 1 − r 2 e i φ 1 − r 2 − e i φ e − i δ ⋅ r ) = e i φ ( e i δ ⋅ r 1 − r 2 1 − r 2 − e − i δ ⋅ r ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}} δ , φ ∈ [ 0 ; 2 π ] {\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]} r ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle r\in [0;1]}
転送行列 伝達 行列は 散乱ポテンシャルの右側の平面波と左側の平面 波 と を 関連付け ます 。 [ 5 ] M {\displaystyle M} C e i k x {\displaystyle Ce^{ikx}} D e − i k x {\displaystyle De^{-ikx}} A e i k x {\displaystyle Ae^{ikx}} B e − i k x {\displaystyle Be^{-ikx}}
( C D ) = ( M 11 M 12 M 21 M 22 ) ( A B ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}} そしてその成分はS行列の成分から次のように導くことができる: [6] および 、ここで時間反転対称性が仮定されている。 M 11 = 1 / S 12 ∗ = 1 / S 21 ∗ , M 22 = M 11 ∗ {\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}} M 12 = − S 11 ∗ / S 12 ∗ = S 22 / S 12 , M 21 = M 12 ∗ {\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}
時間反転対称性の場合、転送行列は 3つの実パラメータで表すことができます。 M {\displaystyle \mathbf {M} }
M = 1 1 − r 2 ( e i φ − r ⋅ e − i δ − r ⋅ e i δ e − i φ ) {\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}
（ r = 1 の場合、 左側 と右側の間に接続はありません） δ , φ ∈ [ 0 ; 2 π ] {\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]} r ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle r\in [0;1]}
有限平方井戸 質量 m を持つ粒子が (静的な)有限の正方形井戸 に 近づく場合の時間反転対称性に関する 1 次元の非相対論的問題には、次の式 で
表される ポテンシャル関数 V があります
。散乱は、 自由粒子の 波束を 、左側 (遠く離れた側) または右側 (遠く離れた側) から来る平面波の 波数を持つ平面波に分解することで解決できます 。 V ( x ) = { − V 0 for | x | ≤ a ( V 0 > 0 ) and 0 for | x | > a {\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}} A k exp ( i k x ) {\displaystyle A_{k}\exp(ikx)} k > 0 {\displaystyle k>0} D k exp ( − i k x ) {\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}
波数k の平面波のS行列の 解は [6] であり 、したがって 、であり、したがって 、 この場合はである。 S 12 = S 21 = exp ( − 2 i k a ) cos ( 2 l a ) − i sin ( 2 l a ) l 2 + k 2 2 k l {\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}} S 11 = S 12 ⋅ i sin ( 2 l a ) l 2 − k 2 2 k l {\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}} e i δ = ± i {\displaystyle e^{i\delta }=\pm i} − e − i δ = e i δ {\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }} S 22 = S 11 {\displaystyle S_{22}=S_{11}}
ここで、平面波に関連付けられたエネルギー 固有値 は一定に保たれる必要がある ため、正方形井戸内の平面波の（増加した）波数は次のようになります。 l = k 2 + 2 m V 0 ℏ 2 {\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}} E k {\displaystyle E_{k}} E k = ℏ 2 k 2 2 m = ℏ 2 l 2 2 m − V 0 {\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}
トランスミッションは T k = | S 21 | 2 = | S 12 | 2 = 1 ( cos ( 2 l a ) ) 2 + ( sin ( 2 l a ) ) 2 ( l 2 + k 2 ) 2 4 k 2 l 2 = 1 1 + ( sin ( 2 l a ) ) 2 ( l 2 − k 2 ) 2 4 k 2 l 2 {\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}
の 場合 、したがって 、 波数kの平面波は、反射せずに井戸を通過します 。 sin ( 2 l a ) = 0 {\displaystyle \sin(2la)=0} cos ( 2 l a ) = ± 1 {\displaystyle \cos(2la)=\pm 1} S 11 = S 22 = 0 {\displaystyle S_{11}=S_{22}=0} | S 21 | = | S 12 | = 1 {\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1} k 2 + 2 m V 0 ℏ 2 = n 2 π 2 4 a 2 {\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
有限正方形バリア 正方形の バリア は正方形の井戸に似ていますが、 の場合と の場合で違いがあります 。 V ( x ) = + V 0 > 0 {\displaystyle V(x)=+V_{0}>0} | x | ≤ a {\displaystyle |x|\leq a}
障壁から遠く離れた 平面波（波数 k または −k ）のエネルギー固有値に応じて、3つの異なるケースがあります 。 E k = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
透過係数と反射係数 ポテンシャル障壁の左側からの透過係数は、 D = 0 の とき、 T L = | C | 2 | A | 2 = | S 21 | 2 . {\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}
ポテンシャル障壁の左側からの反射係数は、 D = 0 の とき、 R L = | B | 2 | A | 2 = | S 11 | 2 . {\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}
同様に、ポテンシャル障壁の右側からの透過係数は、 A = 0の とき、 T R = | B | 2 | D | 2 = | S 12 | 2 . {\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}
ポテンシャル障壁の右側からの反射係数は、 A = 0の とき、 R R = | C | 2 | D | 2 = | S 22 | 2 . {\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}
透過係数と反射係数の関係は、 であり、
この恒等式は S 行列
のユニタリー性特性の結果です 。 T L + R L = 1 {\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1} T R + R R = 1. {\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}
時間反転対称性により、S 行列は対称となり、したがって および となり ます 。 T L = | S 21 | 2 = | S 12 | 2 = T R {\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}} R L = R R {\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}
一次元における光学定理 自由粒子 V ( x ) = 0 の場合 、 S行列は [8] である。しかし、 V ( x ) が0と異なる
場合、 S 行列は上記の形から ずれる。このずれは、 エネルギーの2つ の複素関数 r と t によってパラメータ化される 。ユニタリー性から、これら2つの関数の間には、 S = ( 0 1 1 0 ) . {\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.} S = ( 2 i r 1 + 2 i t 1 + 2 i t 2 i r ∗ 1 + 2 i t 1 − 2 i t ∗ ) . {\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.} | r | 2 + | t | 2 = Im ( t ) . {\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}
この恒等式の 3 次元における類似物は 光学定理 として知られています。
量子場理論における定義
インタラクション画像 S 行列を定義する簡単な方法は、 相互作用図 を考えることから始まる 。 [9] ハミルトニアン H を 自由部分 H 0 と相互作用 V に分割すると、 H = H 0 + V となる。この図では、演算子は自由場演算子として動作し、状態ベクトルは相互作用 V に応じたダイナミクスを持つ。 を自由な初期状態から発展した状態とすると、 S 行列 要素は、この状態の最終状態への射影として定義される。 したがって、 ここで S は S 演算子 である。この定義の大きな利点は、 相互作用図で状態を発展させる 時間発展演算子 U が正式にわかっていることである。 [10] ここで T は 時間順序付けされた積 を表す 。この演算子で表現され、 そこから U についての知識を使って 展開すると ダイソン級数 が得られる 。 または、 V が ハミルトニアン密度 として与えられる場合は 、 | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle } | Φ i ⟩ . {\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .} ⟨ Φ f | . {\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.} S f i ≡ lim t → + ∞ ⟨ Φ f | Ψ ( t ) ⟩ ≡ ⟨ Φ f | S | Φ i ⟩ , {\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,} U ( t , t 0 ) = T e − i ∫ t 0 t d τ V ( τ ) , {\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},} S f i = lim t 2 → + ∞ lim t 1 → − ∞ ⟨ Φ f | U ( t 2 , t 1 ) | Φ i ⟩ , {\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,} S = U ( ∞ , − ∞ ) . {\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).} S = ∑ n = 0 ∞ ( − i ) n n ! ∫ − ∞ ∞ d t 1 ⋯ ∫ − ∞ ∞ d t n T [ V ( t 1 ) ⋯ V ( t n ) ] , {\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} S = ∑ n = 0 ∞ ( − i ) n n ! ∫ − ∞ ∞ d x 1 4 ⋯ ∫ − ∞ ∞ d x n 4 T [ H ( x 1 ) ⋯ H ( x n ) ] . {\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}
S は特別な時間発展演算子であるため、 ユニタリである。任意の初期状態と任意の終了状態に対して、 S f i = ⟨ Φ f | S | Φ i ⟩ = ⟨ Φ f | ∑ n = 0 ∞ ( − i ) n n ! ∫ − ∞ ∞ d x 1 4 ⋯ ∫ − ∞ ∞ d x n 4 T [ H ( x 1 ) ⋯ H ( x n ) ] | Φ i ⟩ . {\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}
このアプローチは、潜在的な問題を覆い隠してしまうという点で、いくぶんナイーブと言えるでしょう。 [11] これは意図的なものです。このアプローチは実際には機能しており、技術的な問題のいくつかは他のセクションで取り上げられています。
州内と州外 ここでは、上記の相互作用描像アプローチでは考慮されなかった潜在的な問題に対処するため、やや厳密なアプローチが採用されています。最終的な結果は、もちろん、より迅速な方法を採用した場合と同じです。そのためには、in状態とout状態の概念が必要になります。これらは、真空状態と自由粒子状態の2つの方法で展開されます。言うまでもなく、これら2つのアプローチは同等ですが、異なる角度から問題を解明します。
真空から もし a † ( k ) が 生成演算子 ならば、その エルミート随伴演算子は 消滅演算子 であり 、真空を破壊する。 a ( k ) | ∗ , 0 ⟩ = 0. {\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}
ディラック表記法 では 、 真空量子状態 、すなわち実粒子のない状態
として定義します 。アスタリスクは、すべての真空が必ずしも等しいわけではなく、ヒルベルト空間の零状態 0 とは決して等しくないことを意味します。すべての真空状態は ポアンカレ不変 、つまり並進、回転、ブーストに対して不変であると仮定されます [11]。 正式には、 P μ は空間および時間における並進の生成元 であり 、 M μν は ローレンツ変換 の生成元です 。したがって、真空の記述は参照フレームに依存しません。定義される入状態と出状態に関連付けられているのは、入場 演算子 Φ i と出場演算子 (別名 場 ) Φ o です。ここでは、表記法の煩雑さを最小限に抑えて例示するために、最も単純なケース、つまりスカラー理論 に注目します 。入場と出場は、 自由 クラインとゴルドン方程式 を満たします。これらの場は自由場と同じ等時間交換関係（ETCR）を持つと仮定される。 ここで π i , j はΦ i , j と 共役な 場である 。入場と出場には、 同じ ヒルベルト空間[ 12] で2つの 異なる 完全集合（ フォック空間 、 初期空間 i 、最終空間 f ）に作用する生成消滅演算子の2つのセット a † i ( k ) と a † f ( k ) が関連付けられている。これらの演算子は通常の交換規則を満たす。 | ∗ , 0 ⟩ {\displaystyle |*,0\rangle } P μ | ∗ , 0 ⟩ = 0 , M μ ν | ∗ , 0 ⟩ = 0 {\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0} ( ◻ 2 + m 2 ) ϕ i , o ( x ) = 0 , {\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,} [ ϕ i , o ( x ) , π i , o ( y ) ] x 0 = y 0 = i δ ( x − y ) , [ ϕ i , o ( x ) , ϕ i , o ( y ) ] x 0 = y 0 = [ π i , o ( x ) , π i , o ( y ) ] x 0 = y 0 = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}} [ a i , o ( p ) , a i , o † ( p ′ ) ] = i δ ( p − p ′ ) , [ a i , o ( p ) , a i , o ( p ′ ) ] = [ a i , o † ( p ) , a i , o † ( p ′ ) ] = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}
生成演算子がそれぞれの真空および状態（入口状態と出口状態に有限個の粒子が存在する場合）に及ぼす作用素は、正規化の問題を無視して次のように与えられる
。一般的な n 粒子 状態が
どのように正規化されるかについては、次の節で詳しく説明 する。初期空間と最終空間は次のように定義される。 | i , k 1 … k n ⟩ = a i † ( k 1 ) ⋯ a i † ( k n ) | i , 0 ⟩ , | f , p 1 … p n ⟩ = a f † ( p 1 ) ⋯ a f † ( p n ) | f , 0 ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}} H i = span { | i , k 1 … k n ⟩ = a i † ( k 1 ) ⋯ a i † ( k n ) | i , 0 ⟩ } , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},} H f = span { | f , p 1 … p n ⟩ = a f † ( p 1 ) ⋯ a f † ( p n ) | f , 0 ⟩ } . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}
漸近状態は明確に定義されたポアンカレ変換特性を持つと仮定される。つまり、一粒子状態の直積として変換すると仮定される。 [13] これは非相互作用場の特性である。このことから、漸近状態はすべて 運動量演算子 P μ の固有状態で あることが分かる。 [11] 特に、それらは完全ハミルトニアンの固有状態である。 P μ | i , k 1 … k m ⟩ = k 1 μ + ⋯ + k m μ | i , k 1 … k m ⟩ , P μ | f , p 1 … p n ⟩ = p 1 μ + ⋯ + p n μ | f , p 1 … p n ⟩ . {\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .} H = P 0 . {\displaystyle H=P^{0}.}
真空は通常、安定かつ唯一であると仮定されている。 [11] [注1] | i , 0 ⟩ = | f , 0 ⟩ = | ∗ , 0 ⟩ ≡ | 0 ⟩ . {\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}
相互作用は断熱的にオンとオフになるものと想定されます。
ハイゼンベルク像 これ以降はハイゼンベルク 描像 を採用する。この描像では、状態は時間に依存しない。したがって、ハイゼンベルク状態ベクトルは粒子系の完全な時空履歴を表す。 [13] in 状態と out 状態のラベル付けは、漸近的な出現を指す。状態 Ψ α , in は、 t → −∞のときに粒子内容が α によって集合的に表されるものである ことによって特徴付けられる 。同様に、状態 Ψ β , out は、 t → +∞ に対して β によって表される粒子内容を持つ 。in 状態と out 状態、および相互作用状態が同じヒルベルト空間に存在するという仮定を使用し、正規化された in 状態と out 状態の完全性を仮定すると (漸近的完全性の公理 [11] )、初期状態を最終状態の基底で展開することができる (またはその逆)。明示的な表現は、より多くの表記法と用語が導入された後で示される。展開係数は、 以下で定義される S行列要素とまったく同じである。
ハイゼンベルク描像では状態ベクトルは時間に対して一定ですが、それが表す物理的状態はそうでは ありません 。システムが t = 0 の 時点で状態 Ψにあることが判明した場合、 t = τ の時点で状態 U ( τ )Ψ = e − iHτ Ψ にあることが分かります 。これは (必ずしも) 同じハイゼンベルク状態ベクトルではありませんが、 等価な 状態ベクトルであり、測定時に、非ゼロの係数を持つ展開からの最終状態の 1 つであることがわかることを意味します。 τ を変化させると、観測された Ψ (測定されていない) が確かに シュレーディンガー描像の状態ベクトルであることがわかります。測定を十分な回数繰り返して平均化すると、 t = τ の時点で t = 0の時点と 同じ 状態ベクトルが実際に見つかる と言えます 。これは、上記の in 状態から out 状態への展開を反映しています。
自由粒子状態から この観点から、典型的な散乱実験がどのように行われるかを検討する必要がある。最初の粒子は、相互作用しないほど遠く離れた、明確に定義された状態に準備される。何らかの方法で相互作用するように仕向けられ、最後の粒子は、相互作用しなくなるほど遠く離れた時点で記録される。その考え方は、ハイゼンベルク描像において、遠い過去に自由粒子状態として現れた状態を探すことである。これが「in状態」となる。同様に、「out状態」とは、遠い未来に自由粒子状態として現れた状態である。 [13]
この節の一般的な参考文献であるWeinberg (2002)の表記法を用いる。一般的な非相互作用多粒子状態は 次
のように表される。 Ψ p 1 σ 1 n 1 ; p 2 σ 2 n 2 ; ⋯ , {\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}
p は運動量、 σ はスピンZ成分、または質量がゼロの場合は ヘリシティ 、 n は粒子種です。 これらの状態は、 として正規化されます 。 順列は次のように機能します。 s ∈ S k がk 個のオブジェクトの順列 ( k 粒子 状態の場合) である場合、
非ゼロの項が生成されます。 s が 奇数のフェルミオン転置を含む 場合を除き、符号はプラスです。奇数のフェルミオン転置を含む場合はマイナスです。 表記は通常省略され、1 つのギリシャ文字で状態を記述するコレクション全体を表します。省略された形式では、正規化は次のようになります 。 自由粒子状態にわたって積分する場合、この表記法で次のように書きます 。ここで、和には、粒子タイプ インデックスの順列を法として等しい項が 2 つ存在しない項のみが含まれます。 求められる状態の集合は 完全 であると想定されます。 これは と表現され、 次のように言い換えることができます。 ここで、各固定された α に対して、右辺は状態 α への射影演算子です。 不同次ローレンツ変換 (Λ, a ) の下では、フィールドは次の規則に従って変換されます。 ( Ψ p 1 ′ σ 1 ′ n 1 ′ ; p 2 ′ σ 2 ′ n 2 ′ ; ⋯ , Ψ p 1 σ 1 n 1 ; p 2 σ 2 n 2 ; ⋯ ) = δ 3 ( p 1 ′ − p 1 ) δ σ 1 ′ σ 1 δ n 1 ′ n 1 δ 3 ( p 2 ′ − p 2 ) δ σ 2 ′ σ 2 δ n 2 ′ n 2 ⋯ ± permutations . {\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.} n s ( i ) ′ = n i , 1 ≤ i ≤ k , {\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,} ( Ψ α ′ , Ψ α ) = δ ( α ′ − α ) . {\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).} d α ⋯ ≡ ∑ n 1 σ 1 n 2 σ 2 ⋯ ∫ d 3 p 1 d 3 p 2 ⋯ , {\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,} Ψ = ∫ d α Ψ α ( Ψ α , Ψ ) , {\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),} ∫ d α | Ψ α ⟩ ⟨ Ψ α | = 1 , {\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}
U ( Λ , a ) Ψ p 1 σ 1 n 1 ; p 2 σ 2 n 2 ⋯ = e − i a μ ( ( Λ p 1 ) μ + ( Λ p 2 ) μ + ⋯ ) ( Λ p 1 ) 0 ( Λ p 2 ) 0 ⋯ p 1 0 p 2 0 ⋯ ∑ σ 1 ′ σ 2 ′ ⋯ D σ 1 ′ σ 1 ( j 1 ) ( W ( Λ , p 1 ) ) D σ 2 ′ σ 2 ( j 2 ) ( W ( Λ , p 2 ) ) ⋯ Ψ Λ p 1 σ 1 ′ n 1 ; Λ p 2 σ 2 ′ n 2 ⋯ , {\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },} 1
ここで 、 W (Λ, p ) は ウィグナー回転 、 D ( j ) はSO(3) の (2 j + 1) 次元 表現です 。 Λ = 1、 a = ( τ 、 0、 0、 0) （ U は exp( iHτ ) ） と置くと、 次式が成り立ちます。
したがって、求められる入力状態と出力状態は、混合粒子エネルギー項が存在しないため 、 必然的に相互作用しない完全ハミルトニアンの固有状態です。 上のセクションの議論では、入力状態 Ψ + と出力状態 Ψ − は 、大きな正と負の τに対して、 g で表される自由粒子状態の 対応するパッケージの外観を持つ ようなものでなければならないことが
示されています。 g は滑らかで、運動量に適切に局在していると仮定します。波のパッケージが必要です。そうでなければ、時間発展は自由粒子を示す位相因子のみを生成し、そうはなりません。右辺は、上記のように、入状態と出状態がハミルトニアンの固有状態であることから導かれる。この要件を形式化するために、完全な ハミルトニアン Hを 自由粒子ハミルトニアン H 0 と相互作用 V （ H = H 0 + V）の2つの項に分割できると仮定する。この場合、 H 0 の 固有状態 Φ γ は 、正規化とローレンツ変換の性質に関して、入状態と出状態と同じ様相を示す。 H Ψ = E α Ψ , E α = p 1 0 + p 2 0 + ⋯ , {\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,} e − i H τ ∫ d α g ( α ) Ψ α ± = ∫ d α e − i E α τ g ( α ) Ψ α ± {\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }} H 0 Φ α = E α Φ α , {\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },} ( Φ α ′ , Φ α ) = δ ( α ′ − α ) . {\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}
in 状態と out 状態は、それぞれ τ → −∞ または τ → +∞ を 満足する 完全ハミルトニアンの固有状態として定義されます
。 を定義して 、 この最後の式は、波パッケージを使用する場合にのみ機能します。これらの定義から、in 状態と out 状態は自由粒子状態と同じ方法で正規化され、 3 つのセットはユニタリに等価であることがわかります。次に、固有値方程式を書き直します。 ここで、 ± iε 項が追加され、LHS の演算子が可逆になります。in 状態と out 状態は V → 0 に対して自由粒子状態に簡約されるため、 RHS にを代入して次の式を取得します。 次に、自由粒子状態の完全性を使用して、 最終的に次の式を取得します。 ここで、 H 0 は自由粒子状態に関するその固有値に置き換えられています。これが リップマン・シュウィンガー方程式 です。 H Ψ α ± = E α Ψ α ± , {\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },} e − i H τ ∫ d α g ( α ) Ψ α ± → e − i H 0 τ ∫ d α g ( α ) Φ α . {\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.} Ω ( τ ) ≡ e + i H τ e − i H 0 τ , {\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },} Ψ α ± = Ω ( ∓ ∞ ) Φ α . {\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.} ( Ψ β + , Ψ α + ) = ( Φ β , Φ α ) = ( Ψ β − , Ψ α − ) = δ ( β − α ) , {\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),} ( E α − H 0 ± i ϵ ) Ψ α ± = ± i ϵ Ψ α ± + V Ψ α ± , {\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },} i ϵ Ψ α ± = i ϵ Φ α {\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }} Ψ α ± = Φ α + ( E α − H 0 ± i ϵ ) − 1 V Ψ α ± . {\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.} V Ψ α ± = ∫ d β ( Φ β , V Ψ α ± ) Φ β ≡ ∫ d β T β α ± Φ β , {\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },} Ψ α ± = Φ α + ∫ d β T β α ± Φ β E α − E β ± i ϵ . {\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}
参加州を参加していない州として表記 初期状態は最終状態の基底に展開できます（またはその逆）。完全性関係を用いると、 | C m | 2 は相互作用が に 変換する確率です。 量子力学の通常の法則によれば、 展開 係数はまさに 以下で定義される S行列要素です。 Ψ α − = ∫ d β ( Ψ β + , Ψ α − ) Ψ β + = ∫ d β | Ψ β + ⟩ ⟨ Ψ β + | Ψ α − ⟩ = ∑ n 1 σ 1 n 2 σ 2 ⋯ ∫ d 3 p 1 d 3 p 2 ⋯ ( Ψ β + , Ψ α − ) Ψ β + , {\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},} Ψ α − = | i , k 1 … k n ⟩ = C 0 | f , 0 ⟩ + ∑ m = 1 ∞ ∫ d 4 p 1 … d 4 p m C m ( p 1 … p m ) | f , p 1 … p m ⟩ , {\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,} | i , k 1 … k n ⟩ = Ψ α − {\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}} | f , p 1 … p m ⟩ = Ψ β + . {\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.} C m ( p 1 … p m ) = ⟨ f , p 1 … p m | i , k 1 … k n ⟩ = ( Ψ β + , Ψ α − ) {\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})} | i , k 1 … k n ⟩ = C 0 | f , 0 ⟩ + ∑ m = 1 ∞ ∫ d 4 p 1 … d 4 p m | f , p 1 … p m ⟩ ⟨ f , p 1 … p m | i , k 1 … k n ⟩ . {\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}
S -マトリックス S 行列は [13] によって定義される。 S β α = ⟨ Ψ β − | Ψ α + ⟩ = ⟨ f , β | i , α ⟩ , | f , β ⟩ ∈ H f , | i , α ⟩ ∈ H i . {\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}
ここで α と βは 粒子の内容を表す略記であり、個々のラベルは省略される。S行列には S 演算子 S が [13] で定義され、 Φγは 自由 粒子 状態である。 [13] [注2] この定義は相互作用描像で用いられる直接的なアプローチと整合している。また、ユニタリ同値性により、 ⟨ Φ β | S | Φ α ⟩ ≡ S β α , {\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },} ⟨ Ψ β + | S | Ψ α + ⟩ = S β α = ⟨ Ψ β − | S | Ψ α − ⟩ . {\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}
物理的な要件として、 Sは ユニタリ演算子 でなければならない 。これは量子場理論における確率保存則の記述である。しかし 、完全性により、 S はイン状態からアウト状態へのユニタリ変換となる。ローレンツ不変性はS行列におけるもう一つの重要な要件である 。 [ 13 ] [注3] S演算子は、 初期の イン 状態から最終的な アウト状態への 量子正準変換 を表す。さらに、 Sは 真空状態を不変に保ち、 イン空間場を アウト 空間場 に変換する。 [注4] ⟨ Ψ β − | S | Ψ α − ⟩ = S β α = ⟨ Ψ β − | Ψ α + ⟩ . {\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .} S | Ψ α − ⟩ = | Ψ α + ⟩ , {\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,} S | 0 ⟩ = | 0 ⟩ {\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle } ϕ f = S ϕ i S − 1 . {\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}
生成消滅演算子の観点から見ると、これは 次のよう
になる。S が 出力状態の左に作用する
場合も同様の式が成り立つ 。つまり、 S 行列は次のように表せる
。 a f ( p ) = S a i ( p ) S − 1 , a f † ( p ) = S a i † ( p ) S − 1 , {\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},} S | i , k 1 , k 2 , … , k n ⟩ = S a i † ( k 1 ) a i † ( k 2 ) ⋯ a i † ( k n ) | 0 ⟩ = S a i † ( k 1 ) S − 1 S a i † ( k 2 ) S − 1 ⋯ S a i † ( k n ) S − 1 S | 0 ⟩ = a o † ( k 1 ) a o † ( k 2 ) ⋯ a o † ( k n ) S | 0 ⟩ = a o † ( k 1 ) a o † ( k 2 ) ⋯ a o † ( k n ) | 0 ⟩ = | o , k 1 , k 2 , … , k n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}} S β α = ⟨ o , β | i , α ⟩ = ⟨ i , β | S | i , α ⟩ = ⟨ o , β | S | o , α ⟩ . {\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}
S が 相互作用を正しく記述する 場合、次の特性も真である必要があります。
系が 運動量固有状態 | k ⟩にある 単一の粒子 で構成されている場合、 S | k ⟩ = | k ⟩ となります。これは上記の計算から特別なケースとして導かれます。 S 行列の要素は、出力状態の全運動量が 入力状態の全 運動量 と同じ場合にのみ非ゼロとなる。これは、 S 行列に要求されるローレンツ不変性から導かれる。
進化演算子 あなた 時間依存の生成消滅演算子を以下のように定義する。 つまり 、 a † ( k , t ) = U − 1 ( t ) a i † ( k ) U ( t ) a ( k , t ) = U − 1 ( t ) a i ( k ) U ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}} ϕ f = U − 1 ( ∞ ) ϕ i U ( ∞ ) = S − 1 ϕ i S , {\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,} S = e i α U ( ∞ ) . {\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}
位相差は S に対して次のように表されるので 、 e i α = ⟨ 0 | U ( ∞ ) | 0 ⟩ − 1 , {\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,} S | 0 ⟩ = | 0 ⟩ ⟹ ⟨ 0 | S | 0 ⟩ = ⟨ 0 | 0 ⟩ = 1 . {\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}
U の明示的な表現を代入すると 、次の式が得られます。 ここで、 はハミルトニアンの相互作用部分であり、 は時間順序です。 S = 1 ⟨ 0 | U ( ∞ ) | 0 ⟩ T e − i ∫ d τ H i n t ( τ ) , {\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,} H i n t {\displaystyle H_{\rm {int}}} T {\displaystyle {\mathcal {T}}}
調べてみると、この式は明示的に共変ではないことがわかります。
ダイソンシリーズ S 行列を表す最も広く用いられている表現は ダイソン級数です。これは S行列演算子を 次の級数 で表します 。 ここで、 S = ∑ n = 0 ∞ ( − i ) n n ! ∫ ⋯ ∫ d 4 x 1 d 4 x 2 … d 4 x n T [ H i n t ( x 1 ) H i n t ( x 2 ) ⋯ H i n t ( x n ) ] {\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}
T [ ⋯ ] {\displaystyle T[\cdots ]} 時間順序 を表します 。 H i n t ( x ) {\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)} 理論における相互作用を記述する 相互作用ハミルトン 密度を表します。
ない- S -マトリックス ブラックホールからホーキング放射 への粒子の変換は S 行列では記述できなかったため 、スティーブン・ホーキングは「非 S 行列」を提案した。彼はこれにドル記号（$）を使用し、「ドル行列」とも呼ばれた。 [14]
参照
^ 開放系を研究する場合は、これは当てはまりません。外部場の影響下では、外部場が粒子を生成する可能性があるため、真空の入口と出口の真空度が異なる場合があります。 ^ ここでは、完全な ハミルトニアン Hが 自由粒子ハミルトニアン H 0 と相互作用 V （ H = H 0 + V）の2つの項に分割でき、 H 0 の 固有状態 Φ γ が正規化とローレンツ変換の性質に関して、入状態および出状態と同じ様相を示すと仮定する。Weinberg (2002)、110ページを参照。 ^ Λ が（非同次）適切な直交ローレンツ変換である 場合、 ウィグナーの定理は、 H i または H f のいずれかに作用する ユニタリ演算子 U (Λ) の存在を保証します。同じ U (Λ) が H i と H f に作用する場合、理論はローレンツ不変であると言われています。 U (Λ) のユニタリー性を使用すると 、 S βα = ⟨ i 、 β | f 、 α ⟩ = ⟨ i 、 β | U (Λ) † U (Λ)| f 、 α ⟩ となります。右辺は、相互作用しない状態がどのように変換されるかについての知識を使用して展開して式を取得でき、その式は、 S 行列がローレンツ不変であることを意味する 定義 としてとらえられます。Weinberg（2002）を参照、式3.3.1は明示的な形式を示しています。 ^ ここでは 漸近完全性の公理 が用いられている。入状態と出状態は同じヒルベルト空間を張り、これは相互作用理論のヒルベルト空間と一致すると仮定されている。これは自明な公理ではない。粒子が束縛状態に永久的に結合できる場合、ヒルベルト空間の構造は変化する。Greiner & Reinhardt 1996、第9.2節を参照。
注記 ^ ポール・ディラック (1927-08-01)。 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge" 。 Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。 44 (8): 585–595 。 Bibcode :1927ZPhy...44..585D。 土井 ：10.1007/BF01451660。 ISSN 0044-3328。 ^ Sanyuk, Valerii I.; Sukhanov, Alexander D. (2003-09-01). 「20世紀物理学におけるディラック：100周年記念評価」 . Physics-Uspekhi . 46 (9): 937– 956. doi :10.1070/PU2003v046n09ABEH001165. ISSN 1063-7869. ^ ジョン・アーチボルド・ホイーラー、「共鳴群構造法による軽い核の数学的記述について」、 物理学改訂第 52巻、1107-1122ページ（1937年）。 ^ ab Jagdish Mehra 、 Helmut Rechenberg 、 『量子論の歴史的発展』 （990ページと1031ページ）Springer、2001 ISBN 0-387-95086-9 、 ISBN 978-0-387-95086-0 ^ 「任意次元における散乱理論の転送行列定式化」 （PDF） . gemma.ujf.cas.cz . 2022年 10月29日 閲覧 。 ^ ab "EE201/MSE207 Lecture 6" (PDF) . intra.ece.ucr.edu . 2022年 10月29日 閲覧 。 ^ 「潜在的な障壁」. quantummechanics.ucsd.edu . 2022年 11月1日 閲覧 。 ^ Merzbacher 1961 Ch 6. 以下で使用されるより一般的な慣例では、 自由粒子の場合に S行列を恒等行列にすることです。 ^ Greiner & Reinhardt 1996 セクション8.2。 ^ Greiner & Reinhardt 1996 式8.44。 ^ abcde Greiner & Reinhardt 1996 第9章。 ^ Weinberg 2002 第3章。特にセクション3.2の冒頭のコメントを参照。 ^ abcdefg ワインバーグ 2002 第 3 章. ^ レナード・サスキンド 『 ブラックホール戦争 』第11章。
参考文献
![{\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352150d66e7bb48ad4c3af47d715c1fa5c226452)
![{\displaystyle r\in [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e4a331091780c1c20984e24729116415c07017)
![{\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d3c73907c0e126b968524c295d5618fbb9cd71)
![{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbd00856aa074d57f3f40336969ddc4eb0d3619)
![{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259e41d9ea58a7b6acee92cb51c39e93f85ed471)
![{\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d3803d884148902545a5cadf6d6d880d0ad467)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985570026189beff767ce542ec3e6dc474540359)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13712751ca82a33842a05f3728f71be61546b334)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36703f8815b0885fbbbeb622beb15f13448d8e46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger}{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d0cb82388105086e4ba38c6db37141f931b538)
![{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1257fb734d53a8f61c36eb3926bd4706054da9eb)
![{\displaystyle T[\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448448666f84a515582394ce7757000004904a9d)
