SAMV（アルゴリズム）

SAMV（反復スパース漸近最小分散^[1]^[2]）は、信号処理、医療用画像処理、リモートセンシングのアプリケーションでスペクトル推定、到着方向（DOA）推定、トモグラフィー再構成における線形逆問題に対するパラメータフリーの超解像アルゴリズムです。この名前は、漸近最小分散（AMV）基準に基づいていることを強調するために2013年に造られました^[1] 。これは、困難な環境（スナップショットの数が限られている、信号対雑音比が低いなど）で複数の高度に相関したソースの振幅と周波数の両方の特性を回復するための強力なツールです。アプリケーションには、合成開口レーダー、^[2]^[3]コンピューター断層撮影スキャン、磁気共鳴画像（MRI）などがあります。

意味

SAMVアルゴリズムの定式化は、DOA推定の文脈における逆問題として与えられる。要素均一線形アレイ（ULA）が、それぞれ位置に位置する音源から放射された狭帯域信号を受信するとする。ULA内のセンサーは、特定の時間にわたってスナップショットを蓄積する。次元スナップショットベクトルは、 $M$ $K$ $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ $N$ $M\times 1$

\mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N

ここで、はステアリング行列、はソース波形、はノイズ項です。、はディラックデルタであり、の場合にのみ1、それ以外の場合は0であると仮定します。また、とは独立であり、、ただしであると仮定します。を未知の信号電力とノイズ分散を含むベクトルとします。 $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]$ ${\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}$ ${\bf {e}}(n)$ $\mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}$ $\delta _{n,{\bar {n}}}$ $n={\bar {n}}$ ${\bf {e}}(n)$ ${\bf {x}}(n)$ $\mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}$ ${\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})$ ${\bf {p}}$ ${\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}$

の共分散行列には、以下のすべての情報が含まれています。 ${\bf {y}}(n)$ ${\boldsymbol {\bf {p}}}$

{\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.

この共分散行列は、標本共分散行列によって伝統的に推定することができる。ベクトル化演算子を行列に適用すると、得られたベクトルは未知のパラメータと次のように線形関係にある。 ${\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N$ ${\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]$ ${\bf {R}}$ ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})$ ${\boldsymbol {\bf {p}}}$

${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ 、

ここで、、、、、とし、はクロネッカー積です。 ${\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]$ ${\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]$ ${\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}$ $k=1,\ldots ,K$ ${\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})$ $\otimes$

SAMVアルゴリズム

統計量からパラメータを推定するために、漸近最小分散基準に基づく一連の反復SAMVアプローチを開発する。^[1]によれば、2次統計量に基づく任意の整合推定量の共分散行列は、実対称正定値行列によって有界となる。 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\bf {r}}_{N}$ $\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\bf {r}}_{N}$

\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},

ここで、である。さらに、この下限は、の漸近分布の共分散行列を最小化することによって得られる。 ${\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}$ ${\hat {\bf {p}}}$

{\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),

どこ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$

したがって、の推定値は反復的に取得できます。 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$

を最小化するとは以下のように計算できる。とが回目の反復である程度近似されていると仮定すると、回目の反復で以下のように改良できる。 $\{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}$ ${\hat {\sigma }}$ $f({\boldsymbol {p}})$ ${\hat {p}}_{k}^{(i)}$ ${\hat {\sigma }}^{(i)}$ $i$ $(i+1)$

{\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K

{\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},

ここで、番目の反復におけるの推定値はで与えられ、となります。 ${\bf {R}}$ $i$ ${\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}$ ${\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})$

スキャングリッドの精度を超えて

ほとんどの圧縮センシングベースの音源位置特定技術の解像度は、位置パラメータ空間をカバーする方向グリッドの細かさによって制限されます。^[4]スパース信号回復モデルでは、真の信号のスパース性は、過剰完全辞書内の隣接する要素間の距離に依存するため、最適な過剰完全辞書を選択することが困難になります。計算の複雑さは方向グリッドの細かさに正比例し、高密度のグリッドは計算上実用的ではありません。グリッドによって課せられるこの解像度の制限を克服するために、グリッドフリーのSAMV-SML (反復スパース漸近最小分散 - 確率的最大尤度) が提案されています^[1] 。これは、単一のスカラーパラメータに関する確率的最大尤度コスト関数を反復的に最小化することで位置推定値を改善します。 $\mathbf {x} (n)$ ${\bf {A}}$ ${\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}$ $\theta _{k}$

レンジドップラーイメージングへの応用

SISO レーダー/ソナー距離-ドップラー画像化問題における SAMV アルゴリズムの一般的な適用。この画像化問題は、単一スナップショットアプリケーションであり、単一スナップショット推定と互換性のあるアルゴリズム、つまり、整合フィルタ(MF、ピリオドグラムまたはバックプロジェクションに似ており、高速フーリエ変換(FFT)として効率的に実装されることが多い)、IAA、^[5]、および SAMV アルゴリズムのバリアント (SAMV-0) が含まれます。シミュレーション条件は次と同じです。^[5]要素多相パルス圧縮P3 コードが送信パルスとして使用され、合計 9 個の移動ターゲットがシミュレートされます。すべての移動ターゲットのうち、3 つはdB パワーで、残りの 6 つはdB パワーです。受信信号は、dB パワーの均一なホワイトガウスノイズで汚染されていると想定されます。 $30$ $5$ $25$ $0$

整合フィルタによる検出結果は、ドップラー領域と距離領域の両方で深刻なスミアリングとリーケージ効果の影響を受け、 dBターゲットを識別できません。一方、IAAアルゴリズムは、観測可能なターゲットの距離推定値とドップラー周波数を用いて、より優れた画像化結果を提供します。SAMV-0アプローチは非常にスパースな結果を提供し、スミアリング効果を完全に排除しますが、弱いdBターゲットを見逃してしまいます。 $5$ $5$

オープンソース実装

SAMV アルゴリズムのオープンソースMATLAB実装は、ここからダウンロードできます。

参照

アレイ処理 – 信号処理の研究分野
整合フィルタ – 信号処理で使用される、ある意味で最適なフィルタ
ピリオドグラム – 信号のスペクトル密度の推定
フィルタ逆投影 – 数学における積分変換（ラドン変換）
多重信号分類 – 周波数推定と無線方向探知（MUSIC）に使用されるアルゴリズム。一般的なパラメトリック超解像法である。
パルスドップラーレーダー – レーダーシステムの種類
超解像イメージング – 従来の限界を超えてイメージングシステムの解像度を向上させる技術
圧縮センシング - 信号処理技術
逆問題 – 一連の観測結果を生み出す原因要因を計算するプロセス
断層再構成 – 有限個の投影から物体の特性を推定する

参考文献

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