SETAR（モデル）

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フリー百科事典『ウィキペディア』より

時系列データの統計モデル

統計学では、自己励起閾値自己回帰（SETAR）モデルは、通常、自己回帰モデルの拡張として時系列データに適用され、レジーム切り替え動作を通じてモデルパラメータの柔軟性を高めます。

時系列データx _tが与えられた場合、SETARモデルは、系列の挙動が変化すると仮定し、この系列の将来の値を理解し、場合によっては予測するためのツールです。ある系列から別の系列への切り替えは、 x系列の過去の値に依存します（これが、モデル名の「 Self-Exciting 」の由来です）。

このモデルは、それぞれ異なるレジームに対応するk個の 自己回帰（AR）部分から構成されます。このモデルは通常、 SETAR ( k , p )モデルと呼ばれます。ここで、 kは閾値の数、モデルにはk+1個のレジームがあり、 pは自己回帰部分の次数です（レジームによって異なる場合があるため、p部分は省略され、モデルは単にSETAR( k )と表記されることがあります）。

意味

[編集]

自己回帰モデル

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時系列y _tに対する単純なAR( p )モデルを考える

${\displaystyle y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}.\,}$

どこ：

${\displaystyle \gamma _{i}\,}$i =1,2,..., pは自己回帰係数 であり、時間の経過に伴って一定であると仮定されます。

${\displaystyle \epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;\sigma ^{2})\,}$は、一定の分散を持つホワイトノイズ誤差項を表します。

次のベクトル形式で記述されます。

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,}$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots ,y_{t-p})\,}$変数の行ベクトルです。

${\displaystyle \gamma \,}$はパラメータのベクトルです: ; ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,}$

${\displaystyle \epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;1)\,}$は、一定の分散を持つホワイトノイズ誤差項を表します。

自己回帰モデルの拡張としてのSETAR

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SETARモデルは1977年にハウエル・トンによって導入され、その後、画期的な論文（Tong and Lim, 1980）でより発展させられました。SETARモデルは自己回帰モデルの拡張として考えられ、弱外生 閾値変数 z _tの値（ yの過去の値と仮定）に応じてモデルパラメータを変化させることができます（例えば、y _t-d）。ここで、dは変化を引き起こす遅延パラメータです。

このように定義すると、SETAR モデルは次のように表すことができます。

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} \gamma ^{(j)}+\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\quad {\textrm {if}}\quad r_{j-1}<z_{t}<r_{j}}$

どこ：

${\displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p})\,}$変数の列ベクトルです。

${\displaystyle -\infty =r_{0}<r_{1}<\ldots <r_{k}=+\infty \,}$は、 z _tの領域をkつの異なる領域に分割するk+1 個の非自明な閾値です。

SETARモデルは、Tongの一般閾値自己回帰モデル（Tong and Lim, 1980, p. 248）の特殊なケースです。後者は閾値変数を非常に柔軟に扱うことができ、例えば、開ループ閾値自己回帰システム（Tong and Lim, 1980, p. 249）における外生時系列や、マルコフ連鎖駆動型閾値自己回帰モデル（Tong and Lim, 1980, p. 285）におけるマルコフ連鎖（マルコフスイッチングモデルとも呼ばれます）などが挙げられます。

このモデルの誕生以来 30 年間にわたる発展の包括的なレビューについては、Tong (2011) を参照してください。

基本構造

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k 個のレジームのそれぞれにおいて、AR ( p ) プロセスはp 個の異なる変数セット : によって制御されます。このような設定では、レジームの変化（系列y _t-dの過去の値が閾値を超えたことによる）により、異なる係数セット : がプロセスyを制御します。 ${\displaystyle \gamma ^{(j)}\,}$ ${\displaystyle \gamma ^{(j)}\,}$

参照

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• ロジスティック平滑伝達モデル

参考文献

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• Hansen, BE (1997). TARモデルにおける推論, 非線形ダイナミクスと計量経済学の研究, 2, 1-14.
• Tong, H. (1977)「AJLawranceとNTKottegodaによる河川流量時系列の確率的モデリングと題する論文に関する議論への貢献」、Journal of the Royal Statistical Society、シリーズA、140、34-35。
• Tong, H. & Lim, KS (1980)「閾値自己回帰、限界サイクルおよび周期的データ（考察付き）」、Journal of the Royal Statistical Society、シリーズ B、42、245-292。
• Tong, H. (1983) 「非線形時系列分析における閾値モデル」統計学講義ノート、Springer-Verlag。
• トン、H. (1990). 『非線形時系列：動的システムアプローチ』 オックスフォード大学出版局.
• Tong, H. (2007). 「時系列モデルの誕生」. 中央統計局, 17, 8-14.
• Tong, H. (2011). 「時系列分析における閾値モデル ― 30年後（P.Whittle、M.Rosenblatt、BEHansen、P.Brockwell、NISamia、F.Battagliaによる議論を含む）」Statistics & Its Interface, 4, 107-136.

[1] [2] https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/saii_11.pdf

• Tsay, RS (1989).閾値自己回帰過程の検定とモデリング, アメリカ統計学会誌, 84 (405), 231-240.

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SETAR（モデル）

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時系列データの統計モデル

統計学では、自己励起閾値自己回帰（SETAR）モデルは、通常、自己回帰モデルの拡張として時系列データに適用され、レジーム切り替え動作を通じてモデルパラメータの柔軟性を高めます。

時系列データx _tが与えられた場合、SETARモデルは、系列の挙動が変化すると仮定し、この系列の将来の値を理解し、場合によっては予測するためのツールです。ある系列から別の系列への切り替えは、 x系列の過去の値に依存します（これが、モデル名の「 Self-Exciting 」の由来です）。

このモデルは、それぞれ異なるレジームに対応するk個の 自己回帰（AR）部分から構成されます。このモデルは通常、 SETAR ( k , p )モデルと呼ばれます。ここで、 kは閾値の数、モデルにはk+1個のレジームがあり、 pは自己回帰部分の次数です（レジームによって異なる場合があるため、p部分は省略され、モデルは単にSETAR( k )と表記されることがあります）。

意味

自己回帰モデル

時系列y _tに対する単純なAR( p )モデルを考える

${\displaystyle y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}.\,}$

どこ：

${\displaystyle \gamma _{i}\,}$i =1,2,..., pは自己回帰係数 であり、時間の経過に伴って一定であると仮定されます。

${\displaystyle \epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;\sigma ^{2})\,}$は、一定の分散を持つホワイトノイズ誤差項を表します。

次のベクトル形式で記述されます。

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,}$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots ,y_{t-p})\,}$変数の行ベクトルです。

${\displaystyle \gamma \,}$はパラメータのベクトルです: ; ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,}$

${\displaystyle \epsilon _{t}\sim ^{iid}WN(0;1)\,}$は、一定の分散を持つホワイトノイズ誤差項を表します。

自己回帰モデルの拡張としてのSETAR

SETARモデルは1977年にハウエル・トンによって導入され、その後、画期的な論文（Tong and Lim, 1980）でより発展させられました。SETARモデルは自己回帰モデルの拡張として考えられ、弱外生 閾値変数 z _tの値（ yの過去の値と仮定）に応じてモデルパラメータを変化させることができます（例えば、y _t-d）。ここで、dは変化を引き起こす遅延パラメータです。

このように定義すると、SETAR モデルは次のように表すことができます。

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} \gamma ^{(j)}+\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\quad {\textrm {if}}\quad r_{j-1}<z_{t}<r_{j}}$

どこ：

${\displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p})\,}$変数の列ベクトルです。

${\displaystyle -\infty =r_{0}<r_{1}<\ldots <r_{k}=+\infty \,}$は、 z _tの領域をkつの異なる領域に分割するk+1 個の非自明な閾値です。

SETARモデルは、Tongの一般閾値自己回帰モデル（Tong and Lim, 1980, p. 248）の特殊なケースです。後者は閾値変数を非常に柔軟に扱うことができ、例えば、開ループ閾値自己回帰システム（Tong and Lim, 1980, p. 249）における外生時系列や、マルコフ連鎖駆動型閾値自己回帰モデル（Tong and Lim, 1980, p. 285）におけるマルコフ連鎖（マルコフスイッチングモデルとも呼ばれます）などが挙げられます。

このモデルの誕生以来 30 年間にわたる発展の包括的なレビューについては、Tong (2011) を参照してください。

基本構造

k 個のレジームのそれぞれにおいて、AR ( p ) プロセスはp 個の異なる変数セット : によって制御されます。このような設定では、レジームの変化（系列y _t-dの過去の値が閾値を超えたことによる）により、異なる係数セット : がプロセスyを制御します。 ${\displaystyle \gamma ^{(j)}\,}$ ${\displaystyle \gamma ^{(j)}\,}$

参照

• ロジスティック平滑伝達モデル

参考文献

• Hansen, BE (1997). TARモデルにおける推論, 非線形ダイナミクスと計量経済学の研究, 2, 1-14.
• Tong, H. (1977)「AJLawranceとNTKottegodaによる河川流量時系列の確率的モデリングと題する論文に関する議論への貢献」、Journal of the Royal Statistical Society、シリーズA、140、34-35。
• Tong, H. & Lim, KS (1980)「閾値自己回帰、限界サイクルおよび周期的データ（考察付き）」、Journal of the Royal Statistical Society、シリーズ B、42、245-292。
• Tong, H. (1983) 「非線形時系列分析における閾値モデル」統計学講義ノート、Springer-Verlag。
• トン、H. (1990). 『非線形時系列：動的システムアプローチ』 オックスフォード大学出版局.
• Tong, H. (2007). 「時系列モデルの誕生」. 中央統計局, 17, 8-14.
• Tong, H. (2011). 「時系列分析における閾値モデル ― 30年後（P.Whittle、M.Rosenblatt、BEHansen、P.Brockwell、NISamia、F.Battagliaによる議論を含む）」Statistics & Its Interface, 4, 107-136.

[1] [2] https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/saii_11.pdf

• Tsay, RS (1989).閾値自己回帰過程の検定とモデリング, アメリカ統計学会誌, 84 (405), 231-240.

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