サンプルサイズの決定

サンプルサイズの決定または推定は、統計サンプルに含める観察または反復の数を選択する行為です。サンプルサイズは、サンプルから母集団についての推論を行うことを目的とするあらゆる実証研究の重要な特徴です。実際には、研究で使用されるサンプルサイズは、データ収集のコスト、時間、または利便性と、十分な統計的検出力を提供する必要性に基づいて決定されるのが通常です。複雑な研究では、層別調査や複数の処理グループを含む実験デザインなど、異なるサンプルサイズが割り当てられる場合があります。国勢調査では、データは母集団全体について求められるため、意図されるサンプルサイズは母集団と等しくなります。研究が複数の処理グループに分割される可能性がある実験デザインでは、グループごとに異なるサンプルサイズが存在する可能性があります。

サンプルサイズはいくつかの方法で選択できます。

経験を活用する – 小規模なサンプルは、時には避けられないこともありますが、信頼区間が広くなり、統計的仮説検定でエラーが発生するリスクがあります。
最終的に得られるサンプルから導き出される推定値の目標分散を使用します。つまり、高い精度が必要な場合（狭い信頼区間）、これは推定値の目標分散が低くなることを意味します。
検出力目標の使用、つまりサンプルが収集されたら適用される統計的検定の検出力。
信頼度レベルを使用します。つまり、必要な信頼度レベルが大きいほど、サンプルサイズが大きくなります (精度要件が一定である場合)。

導入

サンプルサイズの決定は、研究方法論における重要な側面であり、研究結果の信頼性と妥当性を確保する上で重要な役割を果たします。推定値の精度、統計的検定の検出力、そして研究結果の全体的な堅牢性に影響を与えるためには、研究に含める参加者数またはデータポイント数を慎重に選択する必要があります。

新製品に関する顧客の平均満足度を調査するケースを考えてみましょう。適切なサンプルサイズを決定するには、必要な信頼度、誤差範囲、回答のばらつきといった要素を考慮する必要があります。例えば、信頼度を95%とするとします。これは、真の平均満足度が計算範囲内に収まると95%確信できることを意味します。また、誤差範囲を±3%とします。これは、サンプル推定値と真の母数パラメータとの間の許容可能な差の範囲を示します。さらに、過去のデータや仮定に基づいて、満足度の予想されるばらつきについてある程度の見当がついている場合もあります。

重要性

一般的に、サンプルサイズが大きいほど、未知のパラメータを推定する際の精度は向上します。例えば、特定の魚種における病原体感染の蔓延率を正確に判定するには、100匹の魚ではなく200匹の魚のサンプルを調べることが望ましいです。この現象は、大数の法則や中心極限定理など、数理統計学のいくつかの基本的な事実によって説明されます。

状況によっては、サンプルサイズを大きくしても精度の向上が最小限にとどまるか、あるいは全く向上しないことがあります。これは、データに系統的誤差や強い依存性がある場合、データが裾の重い分布に従う場合、あるいは強い依存性や偏りがある場合に発生する可能性があります。

サンプルサイズは、以下のように、推定値の質によって評価されます。これは通常、データ収集にかかるコスト、時間、利便性、そして十分な統計的検出力の必要性に基づいて決定されます。例えば、割合を推定する場合、95%信頼区間の幅が0.06単位未満であることが望まれるでしょう。あるいは、仮説検定の検出力に基づいてサンプルサイズを評価する場合もあります。例えば、ある政治候補者に対する女性の支持と男性の支持を比較する場合、支持レベルの差が0.04単位であることを検出するために80%の検出力が必要であるとします。

推定

割合の推定

比較的単純な状況として、割合の推定が挙げられます。これは統計分析の基本的な側面であり、特に集団内における特定の特性の普及度を測定する際に用いられます。例えば、あるコミュニティにおける65歳以上の住民の割合を推定したい場合などが挙げられます。

割合の推定値はであり、Xは「陽性」事例の数（例えば、n人のサンプルのうち 65 歳以上の人の数）です。観測値が独立である場合、この推定値は（尺度化された）二項分布に従います（また、はベルヌーイ分布のデータの標本平均でもあります）。この分布の最大分散は0.25 で、真のパラメータがp = 0.5 のときに発生します。実際のアプリケーションでは、真のパラメータpが不明なため、最大分散はサンプルサイズの評価によく使用されます。p の適切な推定値がわかっている場合は、その量を0.25 の代わりに使用できます。 ${\hat {p}}=X/n$ $p(1-p)$

サンプルサイズnが十分に大きくなると、分布は正規分布に近似されます。^[1]これと二項分布のワルド法を使用すると、信頼区間が得られます。Zは、必要な信頼水準（たとえば、95%信頼区間の場合は1.96）の標準Zスコアを表し、次の形式になります。 ${\hat {p}}$

\left({\widehat {p}}-Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)

割合を推定するための適切な標本サイズnを決定するには、以下の式を解くことができます。ここで、Wは信頼区間の望ましい幅を表します。得られた標本サイズの式は、多くの場合、保守的なp推定値（例：0.5）を用いて適用されます。

Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}=W/2

nの場合、サンプルサイズは

$n={\frac {Z^{2}}{W^{2}}}$ 0.5を最も保守的な割合の推定値として使用した場合。 （注：W/2 =誤差の範囲。）

下の図では、信頼度レベルと誤差の範囲が異なると、二項比率のサンプルサイズがどのように変化するかを確認できます。

それ以外の場合、式はとなり、となります。たとえば、95% 信頼区間の幅が 2 パーセントポイント (0.02) である米国大統領候補を支持する人口の割合を推定する場合、サンプルサイズは (1.96) ² / (0.02 ² ) = 9604 が必要で、この場合の誤差幅は 1パーセントポイントです。大統領選は 50/50 に近いことが多いため、この場合 p に 0.5 の推定値を使用するのは妥当であり、また、控えめな推定値を使用するのが賢明です。この場合の誤差幅は1 パーセントポイント (0.02 の半分) です。 $Z{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}=W/2$ $n={\frac {4Z^{2}p(1-p)}{W^{2}}}$

実際には、真の割合に対する 95% 信頼区間を形成するために、次の式がよく使用されます。この式はnについて解くことができ、望ましい誤差幅Wを満たすのに必要な最小サンプルサイズを提供します。上記は一般に次のように簡略化されます。^[2]^[3]n = 4/ W ² = 1/ B ²ここで、 Bは推定値の誤差範囲です。つまり、推定値は通常± B 以内で与えられます。B = 10% の場合はn = 100 が必要で、B = 5%の場合はn = 400 が必要で、B = 3% の場合は要件はn = 1000 に近似しますが、 B = 1%の場合はサンプルサイズn = 10000 が必要です。これらの数値は、世論調査やその他のサンプル調査のニュースレポートで頻繁に引用されます。ただし、数値は切り上げられることが好ましいため、報告された結果は正確な値ではない可能性があります。nの値は、望ましい結果を得るために必要なサンプルポイントの最小数であるため、回答者の数は最小値以上である必要があります。 $\left({\widehat {p}}-1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)$ $2{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}=W/2$

平均の推定

簡単に言えば、ある都市における通勤の平均時間を推定したいとします。人口全体を対象に調査する代わりに、ランダムに100人を抽出し、それぞれの通勤時間を記録し、そのサンプルの平均通勤時間を計算します。例えば、1人目は25分、2人目は30分、…100人目は20分かかります。すべての通勤時間を合計し、サンプルの人数（この場合は100人）で割ります。その結果が、人口全体の平均通勤時間の推定値となります。この方法は、人口全体を測定することが現実的ではない場合に有効であり、代表的なサンプルに基づいて妥当な近似値を提供します。

数学的に正確に言えば、各データ値の分散がσ ^{2であるサイズ}nの独立かつ同一に分布する (iid) サンプルを使用して母集団の平均を推定する場合、サンプル平均の標準誤差は次のようになります。

{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.

この式は、標本サイズが大きくなるにつれて推定値の精度がどのように向上するかを定量的に表しています。中心極限定理を用いて標本平均値を正規分布で近似することを正当化すると、次のような信頼区間が得られます。

\left({\bar {x}}-{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}\right)

、

ここで、Z は、必要な信頼度の標準Z スコアです (95% 信頼区間の場合は 1.96)。

信頼区間の幅Wに必要なサンプルサイズnを決定するには、サンプル平均の両側の誤差幅をW/2とすると、次の式が成り立ちます。

{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}=W/2

を解くことができます。これにより、 nに対するサンプルサイズの式が得られます。

$n={\frac {4Z^{2}\sigma ^{2}}{W^{2}}}$ 。

例えば、95%信頼区間が6単位の幅で血圧に対する薬剤の効果を推定する場合、母集団における血圧の既知の標準偏差が15であれば、必要なサンプルサイズはとなりますが、これは97に切り上げられます。これは、サンプルサイズは整数でなければならず、計算された最小値以上である必要があるためです。これらの計算を理解することは、研究を設計する研究者にとって、望ましい信頼水準内で母集団平均を正確に推定するために不可欠です。 ${\frac {4\times 1.96^{2}\times 15^{2}}{6^{2}}}=96.04$

仮説検定に必要なサンプルサイズ

統計学者が直面する一般的な課題の一つは、ある検定において特定の統計的検出力を達成するために必要な標本サイズを、あらかじめ定められた第1種過誤率α（仮説検定における有意水準を示す）を維持しながら計算するという課題です。αは、所定の値を与えられた場合に、ある検定において一定の検出力をもたらします。以下のように、αは特定の値に関する事前定義された表、数式、シミュレーション、ミードの資源方程式、または累積分布関数によって推定できます。

テーブル

^[4] パワー	コーエンのd
^[4] パワー	0.2	0.5	0.8
0.25	84	14	6
0.50	193	32	13
0.60	246	40	16
0.70	310	50	20
0.80	393	64	26
0.90	526	85	34
0.95	651	105	42
0.99	920	148	58

右の表は、2標本t検定で、実験群と対照群の標本サイズが等しい場合（つまり、試験における個体の総数が与えられた数の2倍の場合）、望ましい有意水準が0.05である場合に、その標本サイズを推定するために使用できます。^[4]使用されるパラメータは次のとおりです。

試験の望ましい統計的検出力。左側の列に表示されます。
Cohen の d (= 効果サイズ) は、実験グループと対照グループ間の目標値の平均の期待差を期待標準偏差で割ったものです。

数式

必要なサンプルサイズの計算は、対立仮説における検定統計量の分布を扱うのが困難な場合が多いため、必ずしも容易ではありません。具体的な問題に対するサンプルサイズの概算式は既に存在します。一般的な参考文献としては ^[5]と^{[6]が挙げられます。}

計算的アプローチ（QuickSize）

QuickSizeアルゴリズム^[7]は、非常に汎用性の高いアプローチであり、使い方が簡単でありながら、幅広い問題に対して正確な解を導き出すのに十分な汎用性を備えています。このアルゴリズムは、シミュレーションと探索アルゴリズムを組み合わせて使用します。

ミードの資源方程式

ミードの資源方程式は、実験動物のサンプルサイズの推定だけでなく、他の多くの実験室実験でも頻繁に用いられます。サンプルサイズの推定において他の方法ほど正確ではないかもしれませんが、期待標準偏差やグループ間の値の期待差などのパラメータが不明な場合や推定が非常に困難な場合に、適切なサンプルサイズのヒントを与えてくれます。^[8]

式内のすべてのパラメータは、実際にはその概念の数の自由度であるため、式に挿入する前にその数から 1 が差し引かれます。

式は次の通りである: ^[8]

E=N-B-T,

どこ：

Nは研究対象者の総数またはユニット数（マイナス1）である。
Bはブロッキング成分であり、設計で考慮される環境の影響を表す（マイナス1）
Tは治療成分であり、使用される治療群（対照群を含む）の数、または質問される質問の数（マイナス1）に対応する。
Eはエラー成分の自由度であり、 10 から 20 の間になります。

例えば、実験動物を用いた研究が4つの治療群（T =3）で計画されており、群ごとに8匹の動物、合計32匹（N =31）の動物を使用し、それ以上の層別化（B =0）を行わない場合、Eは28となり、カットオフの20を超えているため、サンプルサイズが少し大きすぎる可能性があり、群ごとに6匹の動物の方が適切である可能性があることを示しています。^[9]

累積分布関数

X _i , i = 1, 2, ..., nを、平均 μ が未知で分散 σ ^{2が既知の}正規分布から得られた独立した観測値とします。2つの仮説、すなわち帰無仮説を考えます。

H_{0}:\mu =0

そして対立仮説：

H_{a}:\mu =\mu ^{*}

何らかの「最小有意差」μ ^* > 0 について。これは、差異を観察することに着目する最小の値である。さて、(1) H _{a が}真であるときに少なくとも1 − βの確率（つまり1 − βのべき乗）でH ₀を棄却し、(2) H 0 が真であるときに確率αでH ₀を棄却するには、_以下が必要である。z α_が標準正規分布の上限αパーセントポイントである場合、

\Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{0})=\alpha

など

'標本平均( )が'より大きい場合はH _{0を棄却する}

{\bar {x}}

z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}

は(2)を満たす決定規則である。（これは片側検定である。）このようなシナリオでは、対立仮説H _{a が} 真であるときに、少なくとも1−βの確率でこれを達成することが不可欠となる。ここで、標本平均は平均μ ^*の正規分布から得られる。したがって、この要件は次のように表現される。

\Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{a})\geq 1-\beta

注意深く操作することで、次のような場合にこれが起こることが示されます（統計的検出力の例を参照）。

n\geq \left({\frac {z_{\alpha }+\Phi ^{-1}(1-\beta )}{\mu ^{*}/\sigma }}\right)^{2}

ここで、は正規累積分布関数です。 $\Phi$

層別サンプルサイズ

層別抽出法などのより複雑なサンプリング手法を用いると、サンプルをサブサンプルに分割できる場合が多くあります。通常、H個のサブサンプル（H個の異なる層から）がある場合、それぞれのサンプルサイズはn _h（h = 1, 2, ..., H ）となります。これらのn _hは、 n ₁ + n ₂ + ... + n _H = n（つまり、サンプルサイズの合計はサブサンプルサイズの合計で与えられる）という規則に従う必要があります。これらのn _{h を}最適に選択するには、（例えば）ネイマンの最適割り当て法を用いるなど、様々な方法があります。

層化抽出法を用いる理由は数多くある。^[10]標本推定値の分散を小さくするため、部分的に非ランダムな手法を用いるため、あるいは層を個別に調査するためなどである。有用な部分的に非ランダムな手法としては、アクセスしやすい場所では個人を抽出し、そうでない場合は移動コストを節約するためにクラスターを抽出という方法が挙げられる。^[11]

一般的に、H層の場合、加重標本平均は

{\bar {x}}_{w}=\sum _{h=1}^{H}W_{h}{\bar {x}}_{h},

と

\operatorname {Var} ({\bar {x}}_{w})=\sum _{h=1}^{H}W_{h}^{2}\operatorname {Var} ({\bar {x}}_{h}).

^[12]

重みは、層内の母集団要素の割合を表すことが多いが、常にそうであるとは限らない。固定サンプルサイズ、つまりの場合、 $W_{h}$ $W_{h}=N_{h}/N$ $n=\sum n_{h}$

\operatorname {Var} ({\bar {x}}_{w})=\sum _{h=1}^{H}W_{h}^{2}\operatorname {Var} ({\bar {x}}_{h})\left({\frac {1}{n_{h}}}-{\frac {1}{N_{h}}}\right),

^[13]

これは、各層内のサンプリング率が各層内の標準偏差に比例するようにすれば、最小にすることができます。ここで、およびは、となる定数です。 $n_{h}/N_{h}=kS_{h}$ $S_{h}={\sqrt {\operatorname {Var} ({\bar {x}}_{h})}}$ $k$ $\sum {n_{h}}=n$

「最適な割り当て」は、層内のサンプリング率が層内の標準偏差に正比例し、層内の要素あたりのサンプリングコストの平方根に反比例するときに達成されます。 $C_{h}$

{\frac {n_{h}}{N_{h}}}={\frac {KS_{h}}{\sqrt {C_{h}}}},

^[14]

ここでは定数であり、より一般的には、 $K$ $\sum {n_{h}}=n$

n_{h}={\frac {K'W_{h}S_{h}}{\sqrt {C_{h}}}}.

^[15]

定性調査

質的研究は、定量的研究とは異なる独自の方法論を用いてサンプルサイズを決定します。あらかじめ決められた公式や統計計算に頼るのではなく、研究プロセス全体を通して主観的かつ反復的な判断が行われます。質的研究では、研究者はしばしば主観的な立場を取り、研究の進行に合わせて判断を下します。一方、質的研究におけるサンプルサイズの決定は異なるアプローチを採用します。一般的に、研究の進行に合わせて主観的な判断が下されます。^[16]一般的なアプローチの一つは、「飽和」点に達するまで、参加者や資料を継続的に追加していくことです。飽和とは、新しい参加者やデータが新たな洞察をもたらさなくなった時点で発生し、選択されたサンプル内の多様な視点や経験が十分に捉えられたことを示します。飽和に達した時点で、研究は飽和に達します。 ^[17]飽和に達するために必要な人数は、経験的に調査されています。^[18]^[19]^[20]^[21]

量的研究とは異なり、質的研究では、研究開始前のサンプルサイズ推定に関する信頼できる指針が不足しています。がん生存者への綿密なインタビューを例に挙げると、質的研究者は適切なサンプルサイズを決定するためにデータの飽和度を用いるかもしれません。もしインタビューを複数回行っても新たなテーマや洞察が得られない場合、飽和状態に達しており、それ以上のインタビューを行っても生存者の経験に関する知識はそれほど深まらない可能性があります。したがって、事前に設定された統計式に従うのではなく、飽和状態に達するという概念は、質的研究におけるサンプルサイズ決定のための動的な指針となります。研究開始前のサンプルサイズ推定に関する信頼できる指針は不足しており、様々な提案がなされています。^[19]^[22]^[23]^[24]質的研究におけるサンプルサイズ決定プロセスに何らかの構造を導入する試みとして、量的検出力計算に類似したツールが提案されています。このツールは負の二項分布に基づいており、特にテーマ分析に適しています。^[25]^[24]

参照

実験計画法
ステップワイズ回帰におけるエンジニアリング応答曲面の例
コーエンのh
受信者動作特性

参考文献

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さらに読む

NIST: サンプルサイズの選択
ASTM E122-07: ロットまたはプロセスの特性の平均を指定された精度で推定するためのサンプルサイズを計算するための標準的な方法

外部リンク

Cochranのサンプルサイズ式を実装したMATLABスクリプト
さまざまな統計検定のためのサンプルサイズ計算機
さまざまな統計検定のための統計装置

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