Theory describing the behaviour of three-layered structures or materials
NASAの試験に使用された複合サンドイッチ構造パネル サンドイッチ理論 [1] [2] は、2枚のフェースシートと1枚のコアの3層からなる 梁 、 板 、または シェル の挙動を記述する理論です。最も一般的に用いられるサンドイッチ理論は 線形で あり、一次 梁理論 の拡張です。線形サンドイッチ理論は、建築、車両、航空機、冷凍工学などで使用される サンドイッチパネル の設計と解析において重要です。
サンドイッチ構造の利点は次のとおりです。
サンドイッチ断面は 複合材 です。通常、低～中程度の 剛性を 持つコアと、それを接合した2枚の剛性の高い外面板で構成されています。複合材は、コア材または外面板材のみで構成された同等の梁と比較して、せん断剛性対重量比が著しく高くなります。また、引張強度対重量比も高くなります。 フェイスシートの高剛性により、 複合材の 曲げ剛性と重量の比が高くなります。 サンドイッチ断面を持つ 梁 の荷重下における挙動は、一定 弾性 断面を持つ梁とは異なります。曲げ時の 曲率半径が サンドイッチ梁の厚さに比べて大きく、構成材料のひずみが小さい場合、 サンドイッチ複合梁の 変形は2つの部分に分けることができます。
曲げモーメントまたは曲げ変形による変形、および 横方向の力による変形。せん断変形とも呼ばれます。 サンドイッチビーム、プレート、シェル理論では、通常、基準応力状態は応力ゼロであると仮定します。しかし、硬化過程においては、コア材による熱分離のため、表面板間の温度差が持続します。これらの温度差と表面板の線膨張率の差により、サンドイッチビームは温度の高い表面板の方向に曲がる可能性があります。製造工程において曲げが拘束されると、 サンドイッチ複合材の構成要素に 残留応力が生じる可能性があります。問題が線形の場合、サンドイッチ理論によって提供される解に基準応力状態を 重ね合わせること が可能です。しかし、大きな弾性変形や回転が予想される場合は、初期応力状態をサンドイッチ理論に直接組み込む必要があります。
工学サンドイッチビーム理論 コアせん断による余分な変形のないサンドイッチ ビームの曲げ。 サンドイッチ梁の工学理論では、 [2]軸方向ひずみは オイラー・ベルヌーイ理論 のように梁の断面に沿って線形に変化すると仮定されている 。
ε x x ( x , z ) = − z d 2 w d x 2 {\displaystyle \varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} したがって、サンドイッチ梁の軸方向応力は次のように表される。
σ x x ( x , z ) = − z E ( z ) d 2 w d x 2 {\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} ここで 、ヤング 率 は梁の厚さ方向の位置の関数である。 梁の 曲げモーメントは次のように与えられる。 E ( z ) {\displaystyle E(z)}
M x ( x ) = ∫ ∫ z σ x x d z d y = − ( ∫ ∫ z 2 E ( z ) d z d y ) d 2 w d x 2 =: − D d 2 w d x 2 {\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} この量は サンドイッチ梁の 曲げ剛性 と呼ばれます。 せん断力は 次のように定義されます。 D {\displaystyle D} Q x {\displaystyle Q_{x}}
Q x = d M x d x . {\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.} これらの関係式を用いると、厚さと弾性係数 のコアと、厚さ と弾性係数 の2つの表面板からなるサンドイッチ梁の応力は 、次のように表される。 2 h {\displaystyle 2h} E c {\displaystyle E^{c}} f {\displaystyle f} E f {\displaystyle E^{f}}
σ x x f = z E f M x D ; σ x x c = z E c M x D τ x z f = Q x E f 2 D [ ( h + f ) 2 − z 2 ] ; τ x z c = Q x 2 D [ E c ( h 2 − z 2 ) + E f f ( f + 2 h ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}} 工学サンドイッチ梁応力の導出 以来 d 2 w d x 2 = − M x ( x ) D {\displaystyle {\cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\cfrac {M_{x}(x)}{D}}} 軸方向応力は次のように表すことができます。
σ x x ( x , z ) = z E ( z ) M x ( x ) D {\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)={\cfrac {z~E(z)~M_{x}(x)}{D}}} 二次元立体の平衡方程式は次のように与えられる。
∂ σ x x ∂ x + ∂ τ x z ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}=0} ここで せん断応力 は である 。したがって、 τ x z {\displaystyle \tau _{xz}}
τ x z ( x , z ) = ∫ ∂ σ x x ∂ x d z + C ( x ) = ∫ z E ( z ) D d M x d x d z + C ( x ) {\displaystyle \tau _{xz}(x,z)=\int {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}~\mathrm {d} z+C(x)=\int {\cfrac {z~E(z)}{D}}~{\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~\mathrm {d} z+C(x)} ここで 積分定数である。したがって、 C ( x ) {\displaystyle C(x)}
τ x z ( x , z ) = Q x D ∫ z E ( z ) d z + C ( x ) {\displaystyle \tau _{xz}(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{D}}\int z~E(z)~\mathrm {d} z+C(x)} サンドイッチ梁の上面にせん断力が作用していないと仮定する。上面板のせん断応力は次式で表される。
τ x z f a c e ( x , z ) = Q x E f D ∫ z h + f z d z + C ( x ) = Q x E f 2 D [ ( h + f ) 2 − z 2 ] + C ( x ) {\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {face} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}\int _{z}^{h+f}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]+C(x)} では 、 が成り立つ 。すると、コア上部のせん断応力は 、次のように与えられる
。 z = h + f {\displaystyle z=h+f} τ x z ( x , h + f ) = 0 {\displaystyle \tau _{xz}(x,h+f)=0} C ( x ) = 0 {\displaystyle C(x)=0} z = h {\displaystyle z=h}
τ x z ( x , h ) = Q x E f f ( f + 2 h ) 2 D {\displaystyle \tau _{xz}(x,h)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}} 同様に、コアのせん断応力は次のように計算できる。
τ x z c o r e ( x , z ) = Q x E c D ∫ z h z d z + C ( x ) = Q x E c 2 D ( h 2 − z 2 ) + C ( x ) {\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}\int _{z}^{h}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+C(x)} 積分定数 は、コアとフェースシートの界面におけるせん断応力の連続性から決定される。したがって、 C ( x ) {\displaystyle C(x)}
C ( x ) = Q x E f f ( f + 2 h ) 2 D {\displaystyle C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}} そして
τ x z c o r e ( x , z ) = Q x 2 D [ E c ( h 2 − z 2 ) + E f f ( f + 2 h ) ] {\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{f}f(f+2h)\right]}
同一の表面板と単位幅を持つサンドイッチ梁の場合、の値 は D {\displaystyle D}
D = E f ∫ w ∫ − h − f − h z 2 d z d y + E c ∫ w ∫ − h h z 2 d z d y + E f ∫ w ∫ h h + f z 2 d z d y = 2 3 E f f 3 + 2 3 E c h 3 + 2 E f f h ( f + h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}} ならば 、次の ように近似できる。 E f ≫ E c {\displaystyle E^{f}\gg E^{c}} D {\displaystyle D}
D ≈ 2 3 E f f 3 + 2 E f f h ( f + h ) = 2 f E f ( 1 3 f 2 + h ( f + h ) ) {\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)} サンドイッチ梁の応力は次のように近似できる。
σ x x f ≈ z M x 2 3 f 3 + 2 f h ( f + h ) ; σ x x c ≈ 0 τ x z f ≈ Q x 4 3 f 3 + 4 f h ( f + h ) [ ( h + f ) 2 − z 2 ] ; τ x z c ≈ Q x ( f + 2 h ) 2 3 f 2 + h ( f + h ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}} さらに 、 f ≪ 2 h {\displaystyle f\ll 2h}
D ≈ 2 E f f h ( f + h ) {\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)} そして梁のおおよその応力は
σ x x f ≈ z M x 2 f h ( f + h ) ; σ x x c ≈ 0 τ x z f ≈ Q x 4 f h ( f + h ) [ ( h + f ) 2 − z 2 ] ; τ x z c ≈ Q x ( f + 2 h ) 4 h ( f + h ) ≈ Q x 2 h {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}} 表面シートが十分に薄く、応力が厚さ全体にわたって一定であると仮定すると、近似値は次のようになります。
σ x x f ≈ ± M x 2 f h ; σ x x c ≈ 0 τ x z f ≈ 0 ; τ x z c ≈ Q x 2 h {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}} したがって、問題は 2 つの部分に分割できます。1 つはコアせん断のみが関係する部分、もう 1 つは表面シートの曲げ応力のみが関係する部分です。
線形サンドイッチ理論
薄い表面板を備えたサンドイッチ梁の曲げ コアのせん断を変形に組み込んだ後のサンドイッチ ビームの曲げ。 薄い表面板を持つ梁の線形サンドイッチ理論の主な仮定は次のとおりです。
コアの横方向の法線剛性は無限大、すなわち、曲げ加工時にZ方向のコアの厚さは変化しない。 コアの面内法線剛性はフェイスシートのそれに比べて小さい、すなわち、コアはx方向に伸びたり圧縮したりしない。 表面シートはオイラー・ベルヌーイの 仮定に従って動作する 。つまり、表面シートにはxzせん断がなく、表面シートのz方向の厚さは変化しない。 ただし、コア内の xz せん断応力は無視されません。
構成仮定 2次元直交異方性 線形弾性 材料の構成関係は
[ σ x x σ z z σ z x ] = [ C 11 C 13 0 C 13 C 33 0 0 0 C 55 ] [ ε x x ε z z ε z x ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}} サンドイッチ理論の仮定は、単純化された関係を導く。
σ x x f a c e = C 11 f a c e ε x x f a c e ; σ z x c o r e = C 55 c o r e ε z x c o r e ; σ z z f a c e = σ x z f a c e = 0 ; σ z z c o r e = σ x x c o r e = 0 {\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0} そして
ε z z f a c e = ε x z f a c e = 0 ; ε z z c o r e = ε x x c o r e = 0 {\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0} 2次元における平衡方程式は
∂ σ x x ∂ x + ∂ σ z x ∂ z = 0 ; ∂ σ z x ∂ x + ∂ σ z z ∂ z = 0 {\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0} サンドイッチ梁と平衡方程式の仮定は、
σ x x f a c e ≡ σ x x f a c e ( z ) ; σ z x c o r e = c o n s t a n t {\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} } したがって、均質な表面シートとコアの場合、ひずみは次のようになります。
ε x x f a c e ≡ ε x x f a c e ( z ) ; ε z x c o r e = c o n s t a n t {\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }
運動学 サンドイッチ梁の曲げ。総たわみは曲げ部分w b とせん断部分w s の合計である。 サンドイッチ ビームの曲げ中に生じるせん断ひずみ。 サンドイッチ梁に曲げモーメント とせん断力が作用するとする 。これらの荷重による梁の全たわみを とする。隣の図は、微小変位の場合、梁の中央面の全たわみが、 純粋な曲げ たわみ と純粋なせん断たわみ の2つのたわみの和として表されることを示す 。すなわち、 M {\displaystyle M} Q {\displaystyle Q} w {\displaystyle w} w b {\displaystyle w_{b}} w s {\displaystyle w_{s}}
w ( x ) = w b ( x ) + w s ( x ) {\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)} 変形の幾何学的形状から、 コアの工学的せん断ひずみ（ ）は複合材の有効せん断ひずみと次の関係で関係付けられている
ことが分かる。 γ {\displaystyle \gamma }
γ z x c o r e = 2 h + f 2 h γ z x b e a m {\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }} コア部のせん断ひずみは複合材の有効せん断ひずみよりも大きく、また 上記の関係式を導く際には微小変形（ ）が仮定されている点に注意されたい。梁の有効せん断ひずみはせん断変位と以下の関係式で結びついている。 tan γ = γ {\displaystyle \tan \gamma =\gamma }
γ z x b e a m = d w s d x {\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} 表面板はオイラー・ベルヌーイ梁理論の仮定に従って変形すると仮定する。表面板の全たわみは、曲げによるたわみとコアせん断によるたわみの重ね合わせであると仮定する。 曲げによる表面板の-方向変位は次式で与えられる。 x {\displaystyle x}
u b f a c e ( x , z ) = − z d w b d x {\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}} コアのせん断による上部表面板の変位は
u s t o p f a c e ( x , z ) = − ( z − h − f 2 ) d w s d x {\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} そして下面シートのそれは
u s b o t f a c e ( x , z ) = − ( z + h + f 2 ) d w s d x {\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} 2つの表面シートの法線ひずみは次のように表される。
ε x x = ∂ u b ∂ x + ∂ u s ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}} したがって、
ε x x t o p f a c e = − z d 2 w b d x 2 − ( z − h − f 2 ) d 2 w s d x 2 ; ε x x b o t f a c e = − z d 2 w b d x 2 − ( z + h + f 2 ) d 2 w s d x 2 {\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}
応力-変位関係 コアのせん断応力は次のように表される。
σ z x c o r e = C 55 c o r e ε z x c o r e = C 55 c o r e 2 γ z x c o r e = 2 h + f 4 h C 55 c o r e γ z x b e a m {\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }} または、
σ z x c o r e = 2 h + f 4 h C 55 c o r e d w s d x {\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} 表面シートの法線応力は次のように表される。
σ x x f a c e = C 11 f a c e ε x x f a c e {\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }} したがって、
σ x x t o p f a c e = − z C 11 f a c e d 2 w b d x 2 − ( z − h − f 2 ) C 11 f a c e d 2 w s d x 2 = − z C 11 f a c e d 2 w d x 2 + ( 2 h + f 2 ) C 11 f a c e d 2 w s d x 2 σ x x b o t f a c e = − z C 11 f a c e d 2 w b d x 2 − ( z + h + f 2 ) C 11 f a c e d 2 w s d x 2 = − z C 11 f a c e d 2 w d x 2 − ( 2 h + f 2 ) C 11 f a c e d 2 w s d x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}
合力とモーメント 面板に生じる垂直力は次のように定義される。
N x x f a c e := ∫ − f / 2 f / 2 σ x x f a c e d z f {\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}} そして、結果として生じるモーメントは次のように定義される。
M x x f a c e := ∫ − f / 2 f / 2 z f σ x x f a c e d z f {\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}} どこ
z f t o p f a c e := z − h − f 2 ; z f b o t f a c e := z + h + f 2 {\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}} 2つの表面板の法線応力の式を用いると、
N x x t o p f a c e = − f ( h + f 2 ) C 11 f a c e d 2 w b d x 2 = − N x x b o t f a c e M x x t o p f a c e = − f 3 C 11 f a c e 12 ( d 2 w b d x 2 + d 2 w s d x 2 ) = − f 3 C 11 f a c e 12 d 2 w d x 2 = M x x b o t f a c e {\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}} コアでは、結果として生じるモーメントは
M x x c o r e := ∫ − h h z σ x x c o r e d z = 0 {\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0} 梁の全曲げモーメントは
M = N x x t o p f a c e ( 2 h + f ) + 2 M x x t o p f a c e {\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }} または、
M = − f ( 2 h + f ) 2 2 C 11 f a c e d 2 w b d x 2 − f 3 6 C 11 f a c e d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} コアの せん断力は次のように定義される。 Q x {\displaystyle Q_{x}}
Q x c o r e = κ ∫ − h h σ x z d z = κ ( 2 h + f ) 2 C 55 c o r e d w s d x {\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} ここで 、せん断補正係数である。表面板のせん断力は、曲げモーメントから以下の関係を用いて計算できる。 κ {\displaystyle \kappa }
Q x f a c e = d M x x f a c e d x {\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}} または、
Q x f a c e = − f 3 C 11 f a c e 12 d 3 w d x 3 {\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}} 薄い表面シートの場合、表面シートのせん断力は通常無視されます。 [2]
曲げ剛性とせん断剛性 サンドイッチ梁の曲げ剛性は次のように表される。
D b e a m = − M / d 2 w d x 2 {\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} 梁の全曲げモーメントの式から、
M = − f ( 2 h + f ) 2 2 C 11 f a c e d 2 w b d x 2 − f 3 6 C 11 f a c e d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} 小さなせん断変形の場合、上記の式は次のように表される。
M ≈ − f [ 3 ( 2 h + f ) 2 + f 2 ] 6 C 11 f a c e d 2 w d x 2 {\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} したがって、サンドイッチ梁の曲げ剛性（ ）は次のように表される。 f ≪ 2 h {\displaystyle f\ll 2h}
D b e a m ≈ f [ 3 ( 2 h + f ) 2 + f 2 ] 6 C 11 f a c e ≈ f ( 2 h + f ) 2 2 C 11 f a c e {\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }} そしてフェイスシートのそれは
D f a c e = f 3 12 C 11 f a c e {\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }} 梁のせん断剛性は次のように表される。
S b e a m = Q x / d w s d x {\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}} したがって、梁のせん断剛性はコアのせん断剛性に等しく、
S b e a m = S c o r e = κ ( 2 h + f ) 2 C 55 c o r e {\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}
曲げとせん断たわみの関係 コアと表面板間の 張力 の連続性を利用することで、曲げたわみとせん断たわみの関係式が得られます。張力を直接等しくすると、次の式が得られます。
n x σ x x f a c e = n z σ z x c o r e {\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }} フェースシートとコアの界面だけ でなく、コアの上部 と下部にもトラクションの連続性が あります 。したがって、 n x = 1 {\displaystyle n_{x}=1} n z = 1 {\displaystyle n_{z}=1} n z = − 1 {\displaystyle n_{z}=-1} z = ± h {\displaystyle z=\pm h}
2 f h C 11 f a c e d 2 w s d x 2 − ( 2 h + f ) C 55 c o r e d w s d x = 4 h 2 C 11 f a c e d 2 w b d x 2 {\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}} 上記の関係式は、せん断たわみの2次導関数が存在するため、ほとんど使用されません。代わりに、
n z σ z x c o r e = d N x x f a c e d x {\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}} これは、
d w s d x = − 2 f h ( C 11 f a c e C 55 c o r e ) d 3 w b d x 3 {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}
支配方程式 上記の定義を用いると、曲げモーメントとせん断力の支配的なバランス方程式は次のようになる。
M = D b e a m d 2 w s d x 2 − ( D b e a m + 2 D f a c e ) d 2 w d x 2 Q = S c o r e d w s d x − 2 D f a c e d 3 w d x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}} 上記の式は、次 の ように解ける2つの方程式として表すこともできる。 w {\displaystyle w} w s {\displaystyle w_{s}}
( 2 D f a c e S c o r e ) d 4 w d x 4 − ( 1 + 2 D f a c e D b e a m ) d 2 w d x 2 + ( 1 S c o r e ) d Q d x = M D b e a m ( D b e a m S c o r e ) d 3 w s d x 3 − ( 1 + D b e a m 2 D f a c e ) d w s d x − 1 S c o r e d M d x = − ( 1 + D b e a m 2 D f a c e ) Q S c o r e {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}} 近似値を使用する
Q ≈ d M d x ; q ≈ d Q d x {\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}} ここで 、梁に作用する荷重の強さは q {\displaystyle q}
( 2 D f a c e S c o r e ) d 4 w d x 4 − ( 1 + 2 D f a c e D b e a m ) d 2 w d x 2 = M D b e a m − q S c o r e ( D b e a m S c o r e ) d 3 w s d x 3 − ( 1 + D b e a m 2 D f a c e ) d w s d x = − ( D b e a m 2 D f a c e ) Q S c o r e {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}} 適用された荷重と適用された曲げモーメントおよび変位境界条件が与えられた場合、この 2 つの結合された常微分方程式を解くためにいくつかの手法を使用できます。
各部分断面が ベルヌーイの定理を 満たしていると仮定すると、変形したサンドイッチ ビーム要素にかかる力とモーメントのバランスを使用して、サンドイッチ ビームの曲げ方程式を導き出すことができます。
図1 - 温度荷重と負荷の下でのたわんだサンドイッチ梁の平衡状態とたわんでいない断面との比較 応力 の結果 と梁および断面の対応する変形は図1に示されています。 線形弾性 理論を使用して次の関係を導くことができます： [3] [4]
M c o r e = D b e a m ( d γ 2 d x + ϑ ) = D b e a m ( d γ d x − d 2 w d x 2 + ϑ ) M f a c e = − D f a c e d 2 w d x 2 Q c o r e = S c o r e γ Q f a c e = − D f a c e d 3 w d x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,} どこ
w {\displaystyle w\,} 梁の横方向変位 γ {\displaystyle \gamma \,} サンドイッチの平均せん断ひずみ γ = γ 1 + γ 2 {\displaystyle \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,} γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}\,} フェイスシートの回転 γ 1 = d w d x {\displaystyle \gamma _{1}={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\,} γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}\,} コアのせん断ひずみ M c o r e {\displaystyle M^{\mathrm {core} }\,} コアの曲げモーメント D b e a m {\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\,} サンドイッチ梁の曲げ剛性 M f a c e {\displaystyle M^{\mathrm {face} }\,} フェイスシートの曲げモーメント D f a c e {\displaystyle D^{\mathrm {face} }\,} フェイスシートの曲げ剛性 Q c o r e {\displaystyle Q^{\mathrm {core} }\,} コアのせん断力 Q f a c e {\displaystyle Q^{\mathrm {face} }\,} フェイスシートのせん断力 S c o r e {\displaystyle S^{\mathrm {core} }\,} コアのせん断剛性 ϑ {\displaystyle \vartheta \,} 温度低下による追加の曲げ ϑ = α ( T o − T u ) e {\displaystyle \vartheta ={\frac {\alpha (T_{o}-T_{u})}{e}}\,} α {\displaystyle \alpha \,} 熱膨張の 温度係数
フェイスシートとコアの方程式を重ね合わせると、総せん断力 と総曲げモーメントに関する次の方程式が得られます 。 Q {\displaystyle Q} M {\displaystyle M}
S c o r e γ − D f a c e d 3 w d x 3 = Q ( 1 ) D b e a m ( d γ d x + ϑ ) − ( D b e a m + D f a c e ) d 2 w d x 2 = M ( 2 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}} 上記の式を、と について解ける2つの方程式として表すこともできます 。 w {\displaystyle w} γ {\displaystyle \gamma }
( D f a c e S c o r e ) d 4 w d x 4 − ( 1 + D f a c e D b e a m ) d 2 w d x 2 = M D b e a m − q S c o r e − ϑ ( D b e a m S c o r e ) d 2 γ d x 2 − ( 1 + D b e a m D f a c e ) γ = − ( D b e a m D f a c e ) Q S c o r e {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}
解決策のアプローチ サンドイッチ複合梁のせん断変形と曲げ変形。 連続サンドイッチ ビームの曲げ挙動と応力は、2 つの支配的な微分方程式を解くことによって計算できます。
分析的アプローチ 均一分布荷重を受ける二スパン梁のような単純な形状の場合、適切な境界条件と重ね合わせ原理を用いることで支配方程式を解くことができます。このような結果は、規格DIN EN 14509:2006 [5] （表E10.1）に記載されています。エネルギー法を用いて直接解を計算することもできます。
数値的アプローチ サンドイッチ連続梁の微分 方程式は、 有限差分法 や 有限要素 法などの数値解析手法を用いて解くことができます 。有限差分法については、Berner [6] は2段階アプローチを推奨しています。与えられた荷重下における単スパン梁のカバーシートの法線力に関する微分方程式を解いた後、エネルギー法を用いてこのアプローチを多スパン梁の計算に拡張することができます。この手法を用いると、柔軟なカバーシートを備えたサンドイッチ連続梁を積み重ねることもできます。ただし、梁の断面はスパン全体で一定である必要があります。
シュヴァルツェ[4] が推奨するより専門的なアプローチは、 支配方程式の同次部分を厳密に解き、特殊部分を近似的に解くというものである。サンドイッチ梁の支配方程式は次の式で表されることを思い出してほしい。
( 2 D f a c e S c o r e ) d 4 w d x 4 − ( 1 + 2 D f a c e D b e a m ) d 2 w d x 2 = M D b e a m − q S c o r e {\displaystyle \left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}} 定義すると
α := 2 D f a c e D b e a m ; β := 2 D f a c e S c o r e ; W ( x ) := d 2 w d x 2 {\displaystyle \alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} 私たちは得る
d 2 W d x 2 − ( 1 + α β ) W = M β D b e a m − q D f a c e {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {face} }}}} Schwarzeは、サンドイッチ梁の断面について、上式の同次部分には一般解を、特殊解には多項式近似を用いています。断面間のインターフェースは、境界条件を一致させることで結び付けられます。このアプローチは、 オープンソース コードswe2で使用されています。
実用的な重要性 線形サンドイッチ理論によって予測された結果は、実験結果とよく相関しています。この理論は、 サンドイッチパネル で覆われた大規模な産業用および商業用建物の建設に必要な 構造報告書 の基礎として用いられています。また、認可や関連する技術基準においても、この理論の使用が明確に求められています。 [5]
モハメッド・ラヒフ・ハクミ 氏らは、材料の数値的・実験的挙動、および 複合材料 の火災・爆風挙動に関する研究を行い、複数の研究論文を発表しました。
サンドイッチパネル の局部座屈 [ 7] [8] サンドイッチパネル の面座屈応力 [ 9] 発泡充填薄肉鋼梁の座屈後挙動 [10] 「模型火災試験装置を用いた複合床スラブの耐火性」 [11] 海洋構造物 用耐火サンドイッチパネル サンドイッチパネル [ 12] 火災にさらされた 吸湿性 パネルの数値温度解析 [13] オフショアにおける繊維強化複合材の費用対効果の高い使用。 [14] ハクミは、CIB作業委員会W056サンドイッチパネル、ECCS/CIB合同委員会によって推奨され、サンドイッチパネルの設計に関する欧州勧告（CIB、2000）に使用されている設計手法を開発しました。 [15] [16] [17]
参照
参考文献 ^ Plantema, F, J.、1966 年、 「サンドイッチ構造：サンドイッチ梁、プレート、シェルの曲げと座屈」 、Jon Wiley and Sons、ニューヨーク。 ^ abc Zenkert, D.、1995、 「サンドイッチ構造入門」 、Engineering Materials Advisory Services Ltd、英国。 ^ K. Stamm、H. Witte: Sandwichkonstruktionen - Berechnung、Fertigung、Ausführung 。シュプリンガー・フェルラーク、ウィーン - ニューヨーク 1974 年。 ^ ab Knut Schwarze: 「Numerische Methoden zur Berechnung von Sandwichelementen」。 シュタールバウ にて 。 1984 年 12 月、 ISSN 0038-9145。 ^ ab EN 14509 (D): 自立型二重壁金属面断熱パネル 2006年11月。 ^ Klaus Berner: Erarbeitung vollständiger Bemessungsgrundlagen im Rahmen bautechnischer Zulassungen für Sandwichbauteile .Fraunhofer IRB Verlag、シュトゥットガルト 2000 (Teil 1)。 ^ 「モハメッド・ラヒフ・ハクミ研究」。 ^ [1] サンドイッチパネル の局部座屈 ^ Davies MJ および Hakmi MR (1991)「サンドイッチパネルの面座屈応力」、Nordic Conference Steel Colloquium、pp. 99–110。 ^ Davies, JM, Hakmi, MRおよびHassinen, P. (1991)、「フォーム充填薄肉鋼梁の座屈後挙動」Journal of Constructional Steel Research 20: 75-83。 ^ 「模型火災試験施設を用いた複合床スラブの耐火性」、著者(s) ABDEL-HALIM MAH (1); HAKMI MR (2); O'LEARY DC (2); 所属 du ou des auteurs/Author(s) Affiliation(s), (1) Department of Civil Engineering, Jordan University of Science and Technology, PO Box 3030., Irbid, JORDANIE(2) Department of Civil Engineering, University of Salford, Salford, M5 4WT, ROYAUME-UNI. ^ Davies, JM、Hakmi R.博士およびMcNicholas JB：海洋構造物向け耐火サンドイッチパネル、海洋における繊維強化複合材料の費用対効果の高い使用、CP07調査レポート、Marinetech North Westプログラム、フェーズ1、1991年。 ^ Davies,JM, Hakmi,R. および Wang,HB: 火災にさらされた吸湿性パネルの数値温度解析、p1624-1635、熱問題における数値的手法、第8巻第2部、1993年7月12日～16日にスウォンジーで開催された第8回国際会議の議事録。Pineridge Press、英国。 ^ [2] HSE、オフショア繊維強化複合材の費用対効果の高い使用 CP07、オフショア構造物用耐火サンドイッチパネル JMDavies教授、R. Hakim博士、JB McNicholas博士、サルフォード大学 45ページ ^ 「サンドイッチパネルに関する欧州の推奨事項」。 ^ Davies, JM & Hakmi, MR 1990. プロファイルサンドイッチプレートの局部座屈. IABSEシンポジウム議事録, 新素材を含む混合構造, ブリュッセル, 9月, pp. 533–538 ^ 「プロファイルサンドイッチプレートの局所座屈」。
参考文献 モハメド・ラヒフ・ハクミ クラウス・ベルナー、オリバー・ラーベ： Bemessung von Sandwichbauteilen 。 IFBS-Schrift 5.08、IFBS eV、デュッセルドルフ、2006。 ラルフ・メラー、ハンス・ペーター、クヌート・シュヴァルツェ: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen 。 Band 1、Ernst & Sohn、ベルリン、2004、 ISBN 3-433-01595-3 。
外部リンク モハメッド・ラヒフ・ハクミ サンドイッチパネルの研究 https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf DIAB サンドイッチハンドブック http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (オープン ソース) http://www.swe2.com 波形面を持つサンドイッチ梁の計算（オープンソース） 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca21d0246edfcf62387ddbee52a34e1f34b3bb)
![{\displaystyle \tau_{xz}^{\mathrm{face}}(x,z)={\cfrac{Q_{x}E^{f}}{D}}\int_{z}^{h+f}z~\mathrm{d}z+C(x)={\cfrac{Q_{x}E^{f}}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]+C(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6765cabe23a07e4c51f1ddd38666f5846fd94dca)
![{\displaystyle \tau_{xz}^{\mathrm{core}}(x,z)={\cfrac{Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{f}f(f+2h)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d78a5d43b56ef620837ec0408524f4991c7c99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f002ae6749f6b85e7de2d7f16f44363d6a67d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8748763805ef458737152f7692d395f7b162ec41)
![{\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c224c9366e265ce2dabae35c765e8e3b64c09962)
![{\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7985d97028d562d05e633e550f83312d2edbe2)
