スカラーポテンシャル

数理物理学において、スカラーポテンシャルとは、物体が2つの異なる位置にある場合の位置エネルギーの差が、物体が1つの位置から別の位置へ移動する際の経路ではなく、位置のみに依存する状況を記述する。これは3次元空間におけるスカラー場であり、方向を持たない値（スカラー）であり、その位置のみに依存する。身近な例としては、重力による位置エネルギーが挙げられる。

スカラーポテンシャルは、ベクトル解析と物理学における基本的な概念です（ベクトルポテンシャルとの混同の恐れがない場合は、形容詞「スカラー」はしばしば省略されます）。スカラーポテンシャルはスカラー場の一例です。ベクトル場 $F$ が与えられた場合、スカラーポテンシャル $P$ は次のように定義されます。^[1]

$\mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),$

ここで $、\nabla P$ は $P$ の勾配であり、式の 2 番目の部分は、直交座標 $x、y、z$ の関数の勾配のマイナスです。^[a]場合によっては、数学者は勾配の前に正の符号を付けてポテンシャルを定義することがあります。^[2]勾配による $P$ の定義により、任意の点における $F$ $の方向はその点におけるP$ の最も急激な減少の方向であり、その大きさは単位長さあたりの減少率です。

$F を$ スカラーポテンシャルのみで記述するには、次の同等のステートメントのいずれかが真である必要があります。

$-\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),$ ここで積分は位置 $a$ から位置 $b$ まで通るジョルダン弧上で行われ、 $P$ $($ $b$ $)$ は位置 $b$ $で評価されたP$ です。
$\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,$ ここで、積分は任意の単純な閉じた経路、つまりジョルダン曲線上で行われます。
${\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.$

これらの条件のうち最初のものは勾配の基本定理を表し、微分可能な一価スカラー場 $P$ の勾配である任意のベクトル場に対して成り立ちます。2番目の条件は、 $F$ がスカラー関数の勾配として表現できるようにするための要件です。3番目の条件は、回転の基本定理を用いて、2番目の条件を $F$ の回転に関して再表現したものです。これらの条件を満たすベクトル場 $F$ は、非回転的（保存的）であると言われています。

スカラーポテンシャルは、物理学や工学の多くの分野で重要な役割を果たしています。重力ポテンシャルは、単位質量あたりの重力の力、または位置の関数としての場による加速度に関連付けられたスカラーポテンシャルです。重力ポテンシャルは、単位質量あたりの重力の位置エネルギーです。静電気学では、電位は電場、つまり単位電荷あたりの静電気力に関連付けられたスカラーポテンシャルです。この場合、電位は単位電荷あたりの静電ポテンシャルエネルギーです。流体力学では、回転しないラメラ場は、ラプラシアン場である特殊な場合にのみスカラーポテンシャルを持ちます。核力のある側面は、湯川ポテンシャルで記述できます。ポテンシャルは、古典力学のラグランジアンおよびハミルトン定式化で重要な役割を果たします。さらに、スカラーポテンシャルは量子力学における基本量です。

すべてのベクトル場がスカラーポテンシャルを持つわけではありません。スカラーポテンシャルを持つベクトル場は保存力と呼ばれ、物理学における保存力の概念に対応します。非保存力の例としては、摩擦力、磁力、流体力学におけるソレノイド場の速度場などが挙げられます。しかし、ヘルムホルツの分解定理により、すべてのベクトル場はスカラーポテンシャルとそれに対応するベクトルポテンシャルで記述できます。電気力学では、電磁スカラーポテンシャルと電磁ベクトルポテンシャルを合わせて電磁四元ポテンシャルと呼びます。

積分可能性条件

$F が$ 保存ベクトル場（非回転、回転なし、またはポテンシャルとも呼ばれる）であり、その成分が連続偏微分を持つ場合、参照点 $r$ $0$ に対する $F$ のポテンシャルは線積分で定義されます。

$V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,$

ここで、 $Cは$ $r$ $0から$ $r$ へのパラメータ化されたパスであり、

$\mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .$

線積分が経路 $C$ の終点 $r 0$ と $r$ のみに依存するという事実は、本質的には、保存ベクトル場の経路独立性です。線積分の基本定理によれば、 $V が$ このように定義されると、 $F = -\nabla V$ となり、 $Vは保存ベクトル場$ $F$ のスカラーポテンシャルとなります。スカラーポテンシャルはベクトル場のみによって決定されるわけではありません。実際、関数の勾配は定数を加えても影響を受けません。 $V が$ 線積分によって定義される場合、 $Vの曖昧さは参照点$ $r 0$ の選択の自由度を反映しています。

高度は重力による位置エネルギーとして

均一な球状物体の内部および周囲の重力ポテンシャルの2次元断面のプロット。断面の変曲点は球状物体の表面にあります。

一例として、地球の表面近くの（ほぼ）均一な重力場が挙げられます。この重力場には位置エネルギーがあり、 $U$ は重力位置エネルギー、 $h$ は地表からの高さです。これは、等高線図上の重力位置エネルギーが高度に比例することを意味します。等高線図上では、高度の 2 次元の負の勾配は 2 次元のベクトル場であり、そのベクトルは常に等高線に垂直で、重力の方向にも垂直です。しかし、等高線図で表された丘陵地帯では、 $U$ の 3 次元の負の勾配は常に重力の方向、つまり $F$ に向かって真下を向いています。ただし、丘を転がり落ちるボールは、丘の表面の法線力によって丘の表面に垂直な重力成分が打ち消されるため、真下に移動することはできません。ボールを動かすために残った重力成分は、表面と平行です。 $U=mgh$

$\mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta$

ここで $θ$ は傾斜角であり、 $F S$ の重力に垂直な成分は

$\mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .$

この地面と平行な力 $F P は$ $、 θ$ が 45 度のときに最大になります。

$Δ h を$ 等高線図上の等高線間の高度の均一間隔とし、 $Δ x を$ 2つの等高線間の距離とします。すると

$\theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}$

となることによって

$F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.$

しかし、等高線図上では勾配は $Δ x$ に反比例し、これは力 $F P$ とは相似ではありません。等高線図上の高度は、厳密には2次元のポテンシャル場ではありません。等高線図上と、等高線図で表される地球表面の丘陵地帯では、力の大きさは異なりますが、力の方向は同じです。

浮力ポテンシャルとしての圧力

流体力学において、流体は平衡状態にあるが均一な重力場が存在する場合、均一な浮力が流体中に浸透し、重力を打ち消します。このようにして流体は平衡状態を維持します。この浮力は、負の圧力勾配です。

$\mathbf {f_{B}} =-\nabla p.$

浮力は重力と反対方向、つまり上向きに働くため、流体内の圧力は下向きに増加します。静止した水体における圧力は、水面下の深さに比例して増加します。定圧面とは、水面に平行な面であり、圧力ゼロ面として特徴付けられます。

液体が垂直渦（回転軸が表面に対して垂直）を持つ場合、渦は圧力場に下降効果をもたらします。渦内の液体表面は下方に引っ張られ、液体表面と平行なままで圧力が等しい表面も同様に下方に引っ張られます。この効果は渦内部で最も強く、渦軸からの距離が離れるにつれて急速に減少します。

流体によってその流体に囲まれた固体物体に働く浮力は、物体の表面に沿った負の圧力勾配を積分することによって得られます。

$F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .$

ユークリッド空間におけるスカラーポテンシャル

3次元ユークリッド空間において、非回転ベクトル場 $E$ のスカラーポテンシャルは次のように与えられる。 $\mathbb {R} ^{3}$

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$

ここで、 $dV (r')は$ $r'$ に関する無限小体積要素である。そして

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$

これは、 $E$ が連続しており、無限大に向かって漸近的にゼロに減少し、 $1/ r$ よりも速く減少し、 $E$ の発散も同様に無限大に向かってゼロに減少し、 $1/$ $r$ $2$ よりも速く減少する場合に当てはまります。

別の言い方をすれば、

$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}$

ニュートンポテンシャルとする。これはラプラス方程式の基本解であり、 $Γ$ のラプラシアンがディラックのデルタ関数の負の値に等しいことを意味する。

$\nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.$

するとスカラーポテンシャルは $E$ と $Γ$ の畳み込みの発散となる。

$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).$

実際、非回転ベクトル場と回転不変なポテンシャルとの畳み込みも非回転的である。非回転ベクトル場 $G$ については、次のように示される。

$\nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).$

したがって

$\nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E}$

必要に応じて。

より一般的には、式

$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )$

$n$ 次元ユークリッド空間（ $n > 2$ ）において成立するニュートンポテンシャルは次のように与えられる。

$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}$

ここで $ωn は$ $単位n$ 球体の体積である。証明は同一である。あるいは、部分積分（あるいはより厳密には畳み込みの性質）によって、

$\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').$

参照

注記

^ この式の 2 番目の部分は直交座標に対してのみ有効であり、円筒座標や球面座標などの他の座標系では、勾配の基本定理から導かれるより複雑な表現になります。

参考文献

^ ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）『古典力学』（第2版）アディソン・ウェズリー出版社、 3～ 4頁。ISBN 978-0-201-02918-5。
^ 負の値なしでポテンシャルが定義されている例については[1]を参照。その他の参考文献としては、Louis Leithold著『The Calculus with Analytic Geometry』（第5版）、1199ページなどがある。関数の勾配からその関数を解くときは、ポテンシャルという用語の使用を避けてください。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズのスカラーポテンシャル関連メディア

[2] この式の 2 番目の部分は直交座標に対してのみ有効であり、円筒座標や球面座標などの他の座標系では、勾配の基本定理から導かれるより複雑な表現になります。

[1] ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）『古典力学』（第2版）アディソン・ウェズリー出版社、 3～ 4頁。ISBN 978-0-201-02918-5。

[3] 負の値なしでポテンシャルが定義されている例については[1]を参照。その他の参考文献としては、Louis Leithold著『The Calculus with Analytic Geometry』（第5版）、1199ページなどがある。関数の勾配からその関数を解くときは、ポテンシャルという用語の使用を避けてください。