尺度逆カイ二乗分布

スケール逆カイ二乗
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \nu >0\,}$ ${\displaystyle \tau ^{2}>0\,}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$
CDF	${\displaystyle \Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$
平均	${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{\nu -2}}}$のために ${\displaystyle \nu >2\,}$
モード	${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{\nu +2}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {2\nu ^{2}\tau ^{4}}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}}$のために ${\displaystyle \nu >4\,}$
歪度	${\displaystyle {\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}}$のために ${\displaystyle \nu >6\,}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}}$のために ${\displaystyle \nu >8\,}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\!+\!\ln \left({\frac {\tau ^{2}\nu }{2}}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)}$ ${\displaystyle \!-\!\left(1\!+\!{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2\tau ^{2}\nu t}}\right)}$
CF	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right)}$

尺度逆カイ二乗分布 （ は尺度パラメータ）は、自由度 の単変量逆ウィシャート分布に等しくなります。 ${\displaystyle \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\psi ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

このスケール逆カイ二乗分布の族は、逆カイ二乗分布およびカイ二乗分布にリンクされています。

の場合、およびも同様です。 ${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )}$

しかし、の代わりに、スケール逆カイ二乗分布はスケールパラメータによってパラメータ化されることが最も多く、分布はと表記されます。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \tau ^{2}=\psi /\nu }$ ${\displaystyle \nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$

上記の関係は次のように記述できます。 ${\displaystyle \tau ^{2}}$

の場合、およびも同様です。 ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )}$

このスケール逆カイ二乗分布族は、逆ガンマ分布の再パラメータ化です。

具体的には、

${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$   それから   ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$

どちらの形式も、固定された第 1 逆モーメントと第 1 対数モーメントの最大エントロピー分布を表すために使用できます。 ${\displaystyle (E(1/X))}$ ${\displaystyle (E(\ln(X))}$

スケーリングされた逆カイ二乗分布は、ベイズ統計学においても特別な用途を持つ。具体的には、スケーリングされた逆カイ二乗分布は、正規分布の分散パラメータの共役事前分布として用いることができる。代替パラメータ化における同様の事前分布は、逆ガンマ分布によって与えられる。

キャラクター設定

スケール逆カイ二乗分布の確率 密度関数は領域上に広がり、 ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$

ここで、は自由度パラメータ、は尺度パラメータである。累積分布関数は ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$

${\displaystyle =Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)}$

ここで、 は不完全ガンマ関数、 はガンマ関数、は正規化ガンマ関数である。特性関数は ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle Q(a,x)}$

${\displaystyle \varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=}$

${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),}$

ここで、 は第2種の修正された修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle K_{\frac {\nu }{2}}(z)}$

パラメータ推定

の最大尤度推定値は ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.}$

の最大尤度推定値は、ニュートン法を使用して次のように求めることができます。 ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),}$

ここではディガンマ関数です。平均 の式を について解くことで初期推定値が得られます。 を標本平均とします。すると、 の初期推定値は 次のように与えられます。 ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.}$

正規分布の分散のベイズ推定

スケーリングされた逆カイ二乗分布には、正規分布の分散のベイズ推定という 2 番目の重要な用途があります。

ベイズの定理によれば、関心のある量の事後確率分布は、その量の事前分布と尤度関数の積に比例します。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})}$

ここで、D はデータを表し、I はσ ²について既に持っている可能性の ある初期情報を表します。

最も単純なシナリオは、平均 μ が既にわかっている場合、または、特定の仮定された μ の値に対して σ ^2の条件付き分布が求められている場合に発生します。

すると尤度項L (σ ² | D ) = p ( D |σ ² )はよく知られた形になる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

これを、再スケーリング不変な事前分布p(σ ² | I ) = 1/σ ²と組み合わせると、これは（例えばJeffreysに従って）この問題におけるσ ²の可能な限り最も情報量の少ない事前分布であると主張でき、組み合わせ事後確率が得られる。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

この形は、パラメータν = nおよびτ ² = s ² = (1/ n ) Σ (x _i -μ) ²を持つ尺度逆カイ2乗分布の形として認識できます。

ゲルマンと共著者は、以前にサンプリングの文脈で見られたこの分布の再出現は驚くべきことのように思えるかもしれないが、事前の選択を考慮すると「この結果は驚くべきことではない」と述べている。^{[ 1 ]}

特に、σ ^{2の再スケーリング不変事前分布を選択すると、σ 2} / s ²の比率の確率は、 s 2 を条件とした場合も、 σ ²を条件とした場合も同じ形（条件変数に依存しない）になり^ます。

${\displaystyle p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})}$

サンプリング理論の場合、 σ ^{2を条件として、 (1/s 2} )の確率分布はスケーリングされた逆カイ二乗分布です。したがって、スケールに依存しない事前分布が与えられた場合、 s ²を条件とするσ ²の確率分布もスケーリングされた逆カイ二乗分布です。

情報的な事前情報として使用する

^{σ 2}の可能な値についてより詳しいことが分かっている場合は、Scale-inv-χ ² ( n ₀ , s ₀ ^{2 )などのスケール逆カイ2乗族の分布が、} n ₀回の以前の観測の結果から得られたかのように、 σ ²のより有益な事前分布を表す便利な形式になります（ただし、n _0は必ずしも整数である必要はありません）。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

このような事前分布は事後分布につながる。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {ns^{2}+n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

これはそれ自体が尺度逆カイ二乗分布である。したがって、尺度逆カイ二乗分布はσ ^{2推定のための便利な}共役事前分布族である。

平均が不明な場合の分散の推定

平均値が不明な場合、平均値として採用できる最も情報量の少ない事前分布は、おそらく並進不変事前分布p (μ| I ) ∝ const.であり、これはμとσ ²に対して次の結合事後分布を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)&\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

^{σ 2}の周辺事後分布は、結合事後分布からμにわたって積分することによって得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma ^{2}|D,I)\;\propto \;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]d\mu \\=\;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}/n}}\\\propto \;&(\sigma ^{2})^{-(n+1)/2}\;\exp \left[-{\frac {(n-1)s^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

これもまた、パラメータがおよびである尺度化された逆カイ 2 乗分布です。 ${\displaystyle \scriptstyle {n-1}\;}$ ${\displaystyle \scriptstyle {s^{2}=\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}/(n-1)}}$

関連ディストリビューション

• もしそうなら ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,}$
• （逆カイ二乗分布）ならば ${\displaystyle X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,}$
• もしそうなら（逆カイ二乗分布） ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$
• もしそうなら（逆ガンマ分布） ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$
• 尺度逆カイ二乗分布はタイプ5ピアソン分布の特殊なケースである。

参考文献

• ゲルマン、アンドリュー他 (2014).ベイズデータ分析（第3版）. ボカラトン: CRC Press. p. 583. ISBN 978-1-4398-4095-5。

1. ゲルマン、アンドリュー他 (2014).ベイズデータ分析（第3版）. ボカラトン: CRC Press. p. 65. ISBN 978-1-4398-4095-5。

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