散布行列

Concept in probability theory

量子力学における概念については、散乱行列を参照してください。

多変量統計と確率論において、散布行列は、多変量正規分布などの共分散行列の推定値を作成するために使用される統計です。

意味

m次元データのn個のサンプルがm行n列の行列として表されると、サンプル平均は ${\displaystyle X=[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}}$

ここでは のj番目の列です。^[1] ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle X}$

散布行列はm行m列の 半正定値行列である。

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\right)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\mathbf {x} }}^{T}}$

ここで は行列転置を表し、^[2]乗算は外積に関するものである。散布行列はより簡潔に次のように表される。 ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$

${\displaystyle S=X\,C_{n}\,X^{T}}$

ここで、 はn行n列の中心化行列です。 ${\displaystyle \,C_{n}}$

応用

n個のサンプルを与えられた多変量正規分布の共分散行列の最大尤度推定値は、正規化された散布行列として表される。

${\displaystyle C_{ML}={\frac {1}{n}}S.}$^[3]

の列が多変量正規分布から独立してサンプリングされる場合、はウィシャート分布に従います。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

参照

• 共分散行列の推定
• サンプル共分散行列
• ウィシャート分布
• 外積—または X⊗X は X とそれ自身の外積です。 ${\displaystyle XX^{\top }}$
• グラム行列

参考文献

1. Raghavan (2018年8月16日). 「散布図行列、共分散、相関関係の説明」. Medium . 2022年12月28日閲覧。
2. Raghavan (2018年8月16日). 「散布図行列、共分散、相関関係の説明」. Medium . 2022年12月28日閲覧。
3. Liu, Zhedong (2019年4月). 散布行列のロバスト推定、ランダム行列理論、およびスペクトルセンシングへの応用(PDF) (理学修士). キング・アブドラ科学技術大学.

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