散乱パラメータ

Values which describe behavior of a linear electric circuit

散乱パラメータまたはS パラメータ(散乱行列またはS 行列の要素) は、電気信号によるさまざまな定常刺激を受けたときの線形 電気ネットワークの電気的動作を表します。

これらのパラメータは、電子工学、通信システム設計、特にマイクロ波工学など、電気工学のさまざまな分野に役立ちます。

Sパラメータは、類似のパラメータ群に属し、他の例としては、YパラメータとZパラメータ^[1] 、Hパラメータ、Tパラメータ、ABCDパラメータ[2]などがあります。^{[3 ]} Sパラメータは、線形電気ネットワークの特性評価に開放または短絡条件を使用せず、代わりに整合負荷を使用する点で、これらとは異なります。これらの終端は、開放回路や短絡回路の終端よりも、高信号周波数ではるかに簡単に使用できます。一般に考えられているのとは異なり、これらの量は電力で測定されるわけではありません（現在では旧式の6ポート・ネットワーク・アナライザを除く）。最新のベクトル・ネットワーク・アナライザは、デジタル変調された無線信号の復調に使用されるものと基本的に同じ回路を使用して、電圧進行波位相器の振幅と位相を測定します。

コンポーネントのネットワーク (インダクタ、コンデンサ、抵抗器) の多くの電気的特性 (ゲイン、リターンロス、電圧定在波比(VSWR)、反射係数、増幅器の安定性など) は、S パラメータを使用して表現できます。「散乱」という用語は、 RF 工学よりも光工学でより一般的であり、平面電磁波が障害物に入射するか、異なる誘電体媒体を通過するときに観察される効果を指します。S パラメータのコンテキストでは、散乱とは、伝送線路にネットワークを挿入することで生じる不連続性に遭遇したときに、伝送線路内を移動する電流と電圧が影響を受ける方法を指します。これは、波が線路の特性インピーダンスとは異なるインピーダンスに遭遇することと同等です。

Sパラメータはどの周波数でも適用可能ですが、主に無線周波数（RF）やマイクロ波周波数で動作するネットワークで使用されます。一般的に使用されるSパラメータ（従来のSパラメータ）は線形量です（後述する黒川兼行による「電力波」アプローチのような電力量ではありません ）。Sパラメータは測定周波数によって変化するため、Sパラメータ測定を行う際には、特性インピーダンスやシステムインピーダンスに加えて、周波数も指定する必要があります。

S パラメータは行列形式で簡単に表現でき、行列代数の規則に従います。

背景

Sパラメータに関する最初の公表された記述は、 1945年のヴィトルド・ベレヴィッチの論文であった。^{[4]ベレヴィッチは}再分割行列という名前を使用し、集中定数ネットワークの考慮に限定していた。散乱行列という用語は、戦時中のレーダー研究中に独自にこのアイデアを開発していた物理学者で技術者のロバート・ヘンリー・ディッケによって1947年に使用された。^{[5] [6]}これらのSパラメータと散乱行列では、散乱波はいわゆる進行波である。異なる種類のSパラメータが1960年代に導入された。^[7]後者は黒川兼行 [ja] によって普及され、  [ 8 ]^彼はこの新しい散乱波を「電力波」と呼んだ。2種類のSパラメータは非常に異なる特性を持つため、混同してはならない。^[9]黒川は、その画期的な論文^[10]において、電力波Sパラメータと従来の進行波Sパラメータを明確に区別しています。後者の変種として、擬似進行波Sパラメータがあります。^[11]

Sパラメータアプローチでは、電気回路網は「ブラックボックス」とみなされ、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、トランジスタなどの様々な基本電気回路部品、あるいは集中定数が相互接続され、ポートを介して他の回路と相互作用します。この回路網は、Sパラメータ行列と呼ばれる複素数の正方行列によって特徴付けられ、これを用いてポートに印加された信号に対する応答を計算することができます。

Sパラメータの定義においては、ネットワーク全体が入射する小信号に対して線形に動作する限り、ネットワークには任意のコンポーネントを含めることができると理解されています。また、増幅器、減衰器、フィルタ、カプラ、イコライザといった多くの典型的な通信システムコンポーネント、つまり「ブロック」も、線形かつ定義された条件下で動作することを条件として含めることができます。

Sパラメータで記述される電気回路網は、任意の数のポートを持つことができます。ポートとは、電気信号が回路網に出入りする点です。ポートは通常、一方の端子に流入する電流ともう一方の端子から流出する電流が等しいという条件を満たす端子対です。^{[12] [13]} Sパラメータは、ポートが同軸または導波管接続であることが多い周波数で使用されます。

Nポート ネットワークを記述するS パラメータマトリックスは次元Nの平方であるため、要素が含まれます。テスト周波数では、各要素または S パラメータは、大きさと角度、つまり振幅と位相を表す単位のない複素数で表されます。複素数は、直交形式、またはより一般的には極形式のいずれかで表されます。S パラメータの大きさは、線形形式または対数形式で表されます。対数形式で表される場合、大きさは「無次元単位」であるデシベルを持ちます。S パラメータの角度は、ほとんどの場合度で表されますが、ラジアンで表される場合もあります。S パラメータは、1 つの周波数の場合は点、周波数範囲の場合は軌跡で極座標図にグラフィカルに表示できます。1 つのポートのみに適用される場合 (形式)、システム インピーダンスに正規化されたインピーダンス スミス チャートまたはアドミタンススミス チャートに表示できます。スミス チャートを使用すると、電圧反射係数に相当するパラメータと、そのポートで見られる関連する（正規化された）インピーダンス（またはアドミタンス）との間の簡単な変換が可能になります。 ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle S_{nn}}$ ${\displaystyle S_{nn}}$

S パラメータのセットを指定するときは、次の情報を定義する必要があります。

1. 頻度
2. 公称特性インピーダンス（多くの場合50Ω）
3. ポート番号の割り当て
4. 温度、制御電圧、バイアス電流など、ネットワークに影響を及ぼす可能性のある条件（該当する場合）。

黒川電力波Sパラメータ

一般的なマルチポートネットワークでは、ポートには1からNまでの番号が付けられます（Nはポートの総数）。ポートiについては、Sパラメータは入射波と反射波の「電力波」、それぞれと で定義されます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

黒川^[14]は各ポートへの入射電力波を次のように定義している。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})}$

各ポートの反射波は次のように定義される。

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})}$

ここで、 はポートiのインピーダンス、は の複素共役、はそれぞれポートiの電圧と電流の複素振幅、 ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}^{*}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}}$

場合によっては、基準インピーダンスがすべてのポートで同じであると仮定すると便利です。その場合、入射波と反射波の定義は次のように簡略化されます。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}}$

そして

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}}$

黒川氏自身が指摘したように、上記のおよびの定義は一意ではないことに注意してください。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

i番目の成分がそれぞれ電力波とであるベクトルaとbの関係は、S パラメータ行列Sを使用して表すことができます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} }$

または明示的なコンポーネントを使用します:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

相互関係

ネットワークが受動的であり、伝送信号に影響を与える可逆的な材料のみを含む場合、そのネットワークは可逆的である。例えば、減衰器、ケーブル、スプリッタ、コンバイナはすべて可逆ネットワークであり、いずれの場合も、Sパラメータ行列は転置行列に等しくなる。磁気的にバイアスされたフェライト部品など、伝送媒体に非可逆的な材料を含むネットワークは非可逆的である。増幅器は非可逆ネットワークのもう一つの例である。 ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}}$

しかしながら、3ポートネットワークの特性として、相互性、損失ゼロ、完全整合を同時に実現することはできない。^[15]

ロスレスネットワーク

ロスレスネットワークとは、電力を全く消費しないネットワーク、つまり です。すべてのポートにおける入射電力の合計は、すべてのポートにおける出力（例えば反射）電力の合計に等しくなります。これは、Sパラメータ行列がユニタリであることを意味します。つまり、 はの共役転置であり、は単位行列です。 ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle (S)^{\mathrm {H} }(S)=(I)}$ ${\displaystyle (S)^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle (I)}$

損失ネットワーク

損失のある受動ネットワークとは、すべてのポートにおける入射電力の合計が、すべてのポートにおける出力（例えば「反射」）電力の合計よりも大きいネットワークです。したがって、電力消費は となります。したがって、 であり、は正定値です。^[16] ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle (I)-(S)^{\mathrm {H} }(S)}$

2ポートSパラメータ

2ポートネットワークのSパラメータ行列はおそらく最も一般的に使用されており、大規模ネットワークの高次行列を生成するための基本的な構成要素として機能します。^[17]この場合、出力波（反射波）と入射波とSパラメータ行列の関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$。

行列を方程式に展開すると次のようになります。

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}}$

そして

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}}$。

各式は、ネットワークの各ポート1と2における出力波（反射波など）と入射波の関係を、ネットワークの個々のSパラメータ、、、およびで表しています。ポート1 （）への入射波を考えると、ポート1自体（ ）またはポート2（ ）のいずれかから出力波が発生する可能性があります。ただし、Sパラメータの定義によれば、ポート2がシステムインピーダンス（）と同一の負荷で終端されている場合、最大電力伝達定理により、は完全に吸収され、ゼロになります。したがって、入射電圧波を 、出力波/反射波を、として定義すると、 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$そして。 ${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$

同様に、ポート1がシステムで終端されている場合、インピーダンスはゼロとなり、 ${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$そして ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$

2 ポート S パラメータには次のような一般的な説明があります。

${\displaystyle S_{11}}$入力ポートの電圧反射係数

${\displaystyle S_{12}}$逆電圧利得

${\displaystyle S_{21}}$順方向電圧利得

${\displaystyle S_{22}}$出力ポートの電圧反射係数です。

各ポートに対する電圧波の方向を相対的に定義するのではなく、絶対的な方向で順方向波と逆方向波として定義すると、 およびとなります。Sパラメータは、順方向電圧利得が順方向電圧の比によって定義されるなど、より直感的な意味を持ちます。 ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{+}/V_{1}^{+}}$

これらの定義を用いると、上記の行列は、入射波と反射波に関して次のよう に展開することができる。 ${\displaystyle V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle V_{2}^{-}}$

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{-}}$

${\displaystyle V_{2}^{+}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{-}}$

2ポートネットワークのSパラメータ特性

線形（小信号）条件下で動作する増幅器は非可逆ネットワークの良い例であり、整合減衰器は可逆ネットワークの例です。以下の例では、入力と出力はそれぞれポート1とポート2に接続されており、これは最も一般的な接続方法であると仮定します。公称システムインピーダンス、周波数、および温度など、デバイスに影響を与える可能性のあるその他の要因も指定する必要があります。

複素線形ゲイン

複素線形ゲインGは次のように与えられる。

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}}$。

これは、出力反射電力波を入力入射電力波で割った線形比であり、すべての値は複素数として表されます。損失のあるネットワークではサブユニタリ、能動ネットワークではサブユニタリです。デバイスの入力インピーダンスと出力インピーダンスが等しい場合にのみ、電圧利得と等しくなります。 ${\displaystyle |G|>1}$

スカラー線形ゲイン

スカラー線形ゲイン（または線形ゲインの大きさ）は次のように表される。

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|}$。

これはゲインの大きさ（絶対値）、つまり出力電力波と入力電力波の比を表し、電力ゲインの平方根に等しくなります。これは実数値（またはスカラー）であり、位相情報は省略されます。

スカラー対数ゲイン

ゲイン (g) のスカラー対数 (デシベルまたは dB) 式は次のとおりです。

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|}$dB。

これはスカラー線形ゲインよりも一般的に用いられ、正の値は通常単に「ゲイン」と理解され、負の値は「負のゲイン」（「損失」）として、dB単位の振幅に相当します。例えば、100MHzでは、10mの長さのケーブルのゲインは-1dBで、これは1dBの損失に相当します。

挿入損失

2つの測定ポートで同じ基準インピーダンスが使用される場合、挿入損失（IL ）はデシベルで表された透過係数| S ₂₁ |の大きさの逆数である。したがって、これは次式で表される：^[18]

${\displaystyle IL=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{21}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|}$dB。

測定対象デバイス（DUT）を2つの測定基準面の間に挿入することで生じる追加損失です。追加損失は、DUTの固有損失や不整合に起因する可能性があります。追加損失がある場合、挿入損失は正と定義されます。挿入損失の負の値はデシベルで表され、挿入利得と定義され、スカラー対数利得に等しくなります（上記の定義を参照）。

入力リターンロス

入力リターンロス（RL _in）は、ネットワークの実際の入力インピーダンスが公称システムインピーダンス値にどれだけ近いかを示す尺度と考えることができます。デシベルで表される入力リターンロスは、次のように表されます 。

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{11}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|}$dB。

受動2ポートネットワークにおいて、| S ₁₁ | ≤ 1の場合、リターンロスは非負の値、すなわちRL _in ≥ 0となることに注意されたい。また、やや紛らわしいことに、リターンロスは上記で定義された量の負数として使われることがあるが、この用法は厳密に言えば、損失の定義からすると誤りである。^[19]

出力リターンロス

出力リターンロス（RL _out）は入力リターンロスと同様の定義を持ちますが、入力ポートではなく出力ポート（ポート2）に適用されます。これは次のように表されます。

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|}$dB。

逆ゲインと逆アイソレーション

逆ゲイン（ ）のスカラー対数（デシベルまたはdB）式は次のとおりです。 ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|}$dB。

これは逆分離（ ）として表現されることが多く、その場合、 の大きさに等しい正の量となり、式は次のようになります。 ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|}$dB。

反射係数

ネットワークが両方のポートで完全に整合していると仮定すると、入力ポートの反射係数、または出力ポートの反射係数はそれぞれ、およびに等しいので、 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}}$そして ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}}$

およびは複素数なので、 および も同様です。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$

信号源および／または負荷がネットワークと完全に整合していない場合、負荷から出力への反射、が入力における反射に影響を与える可能性があり、同様に信号源から入力への反射、が出力における反射に影響を与える可能性があります。この場合、入力反射係数と出力反射係数は次のように表されます。^[20] ${\displaystyle \Gamma _{L}}$ ${\displaystyle \Gamma _{S}}$

${\displaystyle |\Gamma _{\mathrm {in} }|=\left|S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\right|}$そして ${\displaystyle |\Gamma _{\mathrm {out} }|=\left|S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{S}}{1-S_{11}\Gamma _{S}}}\right|}$

完全に一致する場合、 の場合には、これらの方程式は予想どおりに崩れ、それぞれ と を与えることがわかります。 ${\displaystyle \Gamma _{L}=\Gamma _{S}=0}$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

電圧定在波比

ポートにおける電圧定在波比（VSWR）は、小文字の「s」で表され、リターンロスと同様のポート整合の指標ですが、スカラー線形量であり、定在波の最大電圧と最小電圧の比です。したがって、これは電圧反射係数の大きさ、ひいては入力ポートまたは出力ポートの大きさに関連します。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

入力ポートにおけるVSWRは、 ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}}$

出力ポートにおけるVSWRは、次のように表される。 ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}}$

これは、反射係数の大きさが1以下の場合には正しい式であり、通常はそうなります。トンネルダイオード増幅器のように、反射係数の大きさが1より大きい場合、この式は負の値になります。しかし、VSWRは定義上、常に正です。マルチポートのポートkのより正確な式は次のとおりです。

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}}$

4ポートSパラメータ

4ポートSパラメータは、4ポートネットワークの特性評価に使用されます。Sパラメータには、ネットワークの4つのポート間の反射波と入射波に関する情報が含まれます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

これらは通常、2つの独立したシングルエンド信号で駆動される2本の結合伝送線路間のクロストーク量、あるいはそれらに駆動される差動信号の反射電力と入射電力を測定するために用いられます。高速差動信号の多くの仕様では、通信チャネルを4ポートSパラメータで定義しています。例えば、10ギガビット・アタッチメント・ユニット・インターフェース（XAUI）、SATA、PCI-X、InfiniBandシステムなどが挙げられます。

4ポート混合モードSパラメータ

4ポート・ミックスモードSパラメータは、4ポート・ネットワークのコモンモードおよび差動刺激信号に対する応答を特性評価します。次の表は、4ポート・ミックスモードSパラメータを示しています。

4ポート混合モードSパラメータ

			刺激
			差動		コモンモード
			ポート1	ポート2	ポート1	ポート2
応答	差動	ポート1	SDD11	SDD12	SDC11	SDC12
		ポート2	SDD21	SDD22	SDC21	SDC22
	コモンモード	ポート1	SCD11	SCD12	SCC11	SCC12
		ポート2	SCD21	SCD22	SCC21	SCC22

パラメータ表記の形式（SXYab）に注意してください。ここで、「S」は散乱パラメータまたはSパラメータ、「X」は応答モード（差動または共通）、「Y」は刺激モード（差動または共通）、「a」は応答（出力）ポート、「b」は刺激（入力）ポートです。これは散乱パラメータの一般的な命名法です。

第一象限は、被試験デバイスの差動刺激特性と差動応答特性を表す左上の4つのパラメータとして定義されます。これは、ほとんどの高速差動相互接続の実際の動作モードであり、最も注目される象限です。これには、入力差動リターンロス（SDD11）、入力差動挿入損失（SDD21）、出力差動リターンロス（SDD22）、および出力差動挿入損失（SDD12）が含まれます。差動信号処理の利点には、以下のものがあります。

• 電磁干渉感受性の低下
• 平衡差動回路からの電磁放射の低減
• 偶数次差動歪み積を共通モード信号に変換する
• シングルエンドに比べて電圧レベルが2倍に増加
• コモンモード電源とグランドノイズを差動信号にエンコードするのを拒否

第2象限と第3象限は、それぞれ右上と左下の4つのパラメータです。これらはクロスモード象限とも呼ばれます。これは、被試験デバイスで発生するあらゆるモード変換、つまりコモンモードから差動モードへのSDCab変換（意図された差動信号SDD伝送アプリケーションにおけるEMI感受性）や差動モードからコモンモードへのSCDab変換（差動アプリケーションにおけるEMI放射）を完全に特性評価できるためです。モード変換を理解することは、ギガビットデータスループットを実現するインターコネクト設計の最適化を図る際に非常に役立ちます。

第4象限は右下の4つのパラメータであり、被試験デバイスを伝播するコモンモード信号SCCabの性能特性を表します。適切に設計されたSDDab差動デバイスでは、コモンモード出力SCCabは最小限に抑えられます。しかし、第4象限のコモンモード応答データはコモンモード伝送応答の尺度であり、差動伝送応答との比率でネットワークのコモンモード除去比を決定します。このコモンモード除去比は差動信号処理の重要な利点であり、一部の差動回路実装では1にまで低減できます。^{[21] [22]}

アンプ設計におけるSパラメータ

逆アイソレーションパラメータは、増幅器の出力から入力へのフィードバックのレベルを決定し、したがって、順方向ゲインとともに増幅器の安定性（発振を抑制する傾向）に影響を与えます。入力ポートと出力ポートが互いに完全に分離された増幅器は、無限大のスカラー対数振幅のアイソレーションを持つか、または の線形振幅がゼロになります。このような増幅器はユニラテラルと呼ばれます。ただし、ほとんどの実用的な増幅器は、ある程度の有限のアイソレーションを持つため、入力で「見られる」反射係数は、出力に接続された負荷によってある程度影響を受けます。 の値が可能な限り小さくなるように意図的に設計された増幅器は、しばしばバッファ増幅器と呼ばれます。 ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle \left|S_{12}\right|}$

実在する増幅器（片側または両側ではない増幅器）の出力ポートが反射係数を持つ任意の負荷に接続されていると仮定する。入力ポートで「見られる」実際の反射係数は^[23]で与えられる。 ${\displaystyle \Gamma _{L}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}}$。

アンプが片側のみの場合、言い換えれば、出力負荷は入力に影響を与えません。 ${\displaystyle S_{12}=0}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}}$

同様の特性が反対方向にも存在します。この場合、 は出力ポートで観測される反射係数であり、 は入力ポートに接続されたソースの反射係数です。 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}}$

増幅器が無条件に安定するためのポート負荷条件

増幅器が無条件安定であるとは、いかなる反射係数の負荷または信号源を接続しても不安定性が生じない場合を指します。この条件は、信号源、負荷、および増幅器の入出力ポートにおける反射係数の値が同時に1未満である場合に成立します。見落とされがちな重要な要件は、増幅器が右半平面に極を持たない線形ネットワークであることです。^[24]不安定性は、増幅器の利得周波数応答に深刻な歪みを引き起こし、極端な場合には発振を引き起こす可能性があります。対象周波数において無条件安定であるためには、増幅器は以下の4つの式を同時に満たす必要があります。^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1}$

これらの値がそれぞれ1に等しい場合の境界条件は、極座標図上に（複素）反射係数を表す円を描くことで表すことができます。円は入力ポート用、円は出力ポート用です。多くの場合、これらの円はスミスチャートとしてスケール化されます。いずれの場合も、円の中心座標と対応する半径は、以下の式で与えられます。

ΓL_​の値| Γ _in | = 1（出力安定円）

半径 ${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

中心 ${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

ΓS_​の値| Γ_出力| = 1（入力安定円）

半径 ${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

中心 ${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

どちらの場合も

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}}$は散乱行列の行列式であり、

上付きの星印(*)は複素共役を表します。

円は反射係数の複素単位で表されているため、システムインピーダンスに正規化されたインピーダンスまたはアドミタンスベースのスミスチャート上に描画することができます。これにより、予測される無条件安定性における正規化されたインピーダンス（またはアドミタンス）の領域を容易に示すことができます。無条件安定性を示す別の方法は、ロレット安定係数（）を用いることです。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

無条件の安定は、次の場合に達成されます。 ${\displaystyle K>1}$ ${\displaystyle |\Delta |<1.}$

散乱伝達パラメータ

2ポートネットワークの散乱伝達パラメータ（Tパラメータ）は、Tパラメータ行列で表され、対応するSパラメータ行列と密接な関係があります。しかし、Sパラメータとは異なり、システム内のTパラメータ（ユーラ波と呼ばれることもあります）を測定するための単純な物理的手段は存在しません。Tパラメータ行列は、各ポートにおける入射波と反射波の正規化波と以下のように関係しています。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}}$

ただし、次のように異なる定義をすることもできます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$

MATLABのRF Toolboxアドオン^[26]やいくつかの書籍（例えば「ネットワーク散乱パラメータ」^[27]）ではこの最後の定義が使用されているため、注意が必要です。この記事の「SからTへ」および「TからSへ」の段落は最初の定義に基づいています。2番目の定義への適応は簡単です（T ₁₁をT ₂₂に、T ₁₂をT ₂₁に置き換えます）。Sパラメータと比較したTパラメータの利点は、基準インピーダンスが純粋実共役または複素共役である場合、関連する個々のTパラメータ行列を単純に掛け合わせるだけで、2つ以上の2ポートネットワークをカスケード接続した場合の効果を容易に判定できることです。例えば、3つの異なる2ポートネットワーク1、2、3のTパラメータがそれぞれ、、、である場合、 3つのネットワークすべてを直列にカスケード接続した場合のTパラメータ行列（ ）は次のように表されます。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}}$

行列乗算は可換ではないため、順序が重要であることに注意してください。Sパラメータと同様に、Tパラメータは複素値であり、2つのタイプ間で直接変換が可能です。カスケードTパラメータは個々のTパラメータの単純な行列乗算ですが、各ネットワークのSパラメータを対応するTパラメータに変換し、カスケードTパラメータを等価なカスケードSパラメータに戻す変換（通常はこれらが必要です）は簡単ではありません。しかし、この操作が完了すると、双方向のすべてのポート間の複素全波相互作用が考慮されるようになります。以下の式は、2ポートネットワークのSパラメータとTパラメータ間の変換を示します。^[28]

SからTへ：

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}}$

ここで、 は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$。

TからSへ

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}},}$

ここで、 は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21}.}$

1ポートSパラメータ

1ポートネットワークのSパラメータは、単純な1×1行列で表されます。ここで、nは割り当てられたポート番号です。Sパラメータの線形性の定義に従うと、通常は何らかの受動負荷が用いられます。アンテナは一般的な1ポートネットワークであり、の値が小さい場合、アンテナは電力を放射するか、または消費／蓄積するかのいずれかを行います。 ${\displaystyle (s_{nn})}$ ${\displaystyle s_{11}}$

高次Sパラメータ行列

異なるポートのペアの高次 S パラメータ ( ) は、2 ポート ネットワークの場合と同様に、ポートのペアを順に検討することで推定できます。各ケースでは、残りの (未使用の) ポートすべてがシステム インピーダンスと同じインピーダンスでロードされている必要があります。このようにして、未使用のポートの入射電力波はゼロになり、2 ポートの場合と同様の式が得られます。単一ポートのみに関連する S パラメータ ( ) では、残りのすべてのポートがシステム インピーダンスと同じインピーダンスでロードされている必要があります。そのため、検討中のポートを除くすべての入射電力波がゼロになります。一般に、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle S_{mn}}$ ${\displaystyle m\neq \;n}$ ${\displaystyle S_{mm}}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}}$

そして

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}.}$

例えば、2ウェイスプリッタのような3ポートネットワークでは、次のようなSパラメータ定義になります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}}$

と

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

ここで、はポートnの入射波によって誘起されるポートmの出力波を指します。 ${\displaystyle S_{mn}}$

Sパラメータの測定

S パラメータは、ベクトル ネットワーク アナライザ (VNA) で最も一般的に測定されます。

デバイスのSパラメータは、一度決定されると、複数の異なる形式で保存できます。多くの場合、Sパラメータは周波数に対して単純に表形式で、 Touchstoneファイル（S n Pファイルとも呼ばれます。ここでnはポート数です）に保存されます。これらは、ファイル名拡張子が「.s1p」、「.s2p」などの、特定の形式のテキストファイルです。この形式はIBIS Open Forumによって標準化されており、2024年1月に更新されました。^[29]

2ポートSパラメータはいずれも極座標を用いてスミスチャート上に表示できますが、最も意味があるのは と です。なぜなら、これらはいずれも、システムインピーダンスに適したスミスチャートの特性インピーダンス（またはアドミタンス）スケーリングを用いて、等価な正規化インピーダンス（またはアドミタンス）に直接変換できるからです。また、2ポートSパラメータはいずれも極座標を用いて極座標ダイアグラム上に表示できます。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

どちらのグラフィカル形式でも、S パラメータは通常、対象の周波数範囲全体にわたってスイープとしてプロットされます。

2ポート以上のネットワークのSパラメータ測定

2ポート以上のネットワークのSパラメータを同時に測定できるように設計されたVNAは実現可能ですが、すぐに複雑になり、高価になります。必要な測定値は、標準の2ポート校正済みVNAで追加測定を行い、得られた結果を正しく解釈することで得られるため、通常、その購入は正当化されません。必要なSパラメータマトリックスは、未使用のポートをシステムインピーダンスに等しい高品質負荷で終端した状態で、2ポートずつ段階的に連続的に測定することで作成できます。この方法のリスクの1つは、負荷自体のリターンロスまたはVSWRを、完全な50Ω、または公称システムインピーダンスに可能な限り近くなるように適切に指定する必要があることです。多数のポートを持つネットワークでは、コストを理由に、負荷のVSWRを適切に指定しない誘惑に駆られる可能性があります。負荷の許容可能な最悪のVSWRを決定するには、何らかの分析が必要になります。

追加負荷が適切に指定されていると仮定すると、必要に応じて、S パラメータの添え字の 2 つ以上が、VNA に関連するもの (上記のケースでは 1 と 2) からテスト対象のネットワークに関連するもの ( DUTポートの合計数を N とすると 1 ～ N) に変更されます。たとえば、DUT に 5 つのポートがあり、2 ポート VNA が VNA ポート 1 から DUT ポート 3 に、VNA ポート 2 から DUT ポート 5 に接続されている場合、DUT ポート 1、2、4 が適切な 50 オームの負荷 で終端されていると仮定すると、測定された VNA 結果 ( 、、)はそれぞれ、、に相当します。これにより、必要な 25 個の S パラメータのうち 4 個が得られます。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle S_{33}}$ ${\displaystyle S_{35}}$ ${\displaystyle S_{53}}$ ${\displaystyle S_{55}}$

参照

• アドミタンスパラメータ
• インピーダンスパラメータ
• 2ポートネットワーク
• Xパラメータ、Sパラメータの非線形スーパーセット
• ベレヴィッチの定理

参考文献

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参考文献

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• 「より高速でより正確なネットワーク設計のためのSパラメータ技術」、アプリケーションノートAN 95-1、Keysight Technologies、PDFスライドとQuickTimeビデオ、またはRichard W. Andersonの原著論文のスキャン
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