Tool in linear algebra and matrix analysis
シュアー 補数は、 線形代数、 行列 理論 、 数値解析 、 統計学 の分野で重要なツールです 。
これは ブロック行列 に対して定義されます。p 、 q が p + q > 0 となる非負整数であり 、 A 、 B 、 C 、 D が それぞれ p × p 、 p × q 、 q × p 、 q × q の 複素数 行列 で ある と します。M が ( p + q ) × ( p + q ) 行列
となるようにします 。 M = [ A B C D ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}
D が逆行列の場合、 行列 Mのブロック D のシュアー補行列は、次 のように定義される p × p 行列です。A が 逆行列の
場合、 行列 Mのブロック A のシュアー補行列は、次 のように定義される q × q 行列です。A または Dが 特異な 場合 、 M/A と M/D の逆行列を一般化逆行列に置き換えると、 一般 化 シュアー 補 行列 が 得 られます 。 M / D := A − B D − 1 C . {\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C.} M / A := D − C A − 1 B . {\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}
シュアー補写像は、シュアーの補題 を証明するために使用した イサイ・シュアー [1] にちなんで名付けられました が、それ以前にも使用されていました [2] 。 エミリー・ヴァージニア・ヘインズワースが 最初にこれを シュアー補写像と呼んだ [3] 。シュアー補写像は、物理学者 ヘルマン・フェシュバッハにちなんで フェシュバッハ写像 と呼ばれることもあります [4] 。
背景 シュアー補行列は、 行列 Mに対してブロック ガウス消去法を 実行する際に生じる。ブロック対角線より下の要素を消去するために、行列 M に 右辺 のブロック下三角 行列を以下のように乗算する。
ここで、 I p はp × p 単位行列 を表す 。その結果、シュアー補行列 は左上の p × p ブロックに現れる。 M = [ A B C D ] → [ A B C D ] [ I p 0 − D − 1 C I q ] = [ A − B D − 1 C B 0 D ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}} M / D = A − B D − 1 C {\displaystyle M/D=A-BD^{-1}C}
この点を超えて消去法を続けると（つまり、ブロック ガウス・ジョルダン消去法 を実行すると）、 M の LDU 分解が 得られ 、これは次の式
で表されます。したがって、 M の逆は、 D −1 と、存在すると仮定したシュアー補数の逆を含めて、次のように 表すことができます。 上記の関係は、 D −1 と M/Dを含めた消去操作から生じます。 A と D の役割を入れ替えて、同等の導出を行うことができます。 これら 2 つの異なる方法で得られた M −1 の式を等しくすることで、 M の2 つのシュアー補数 M/D と M/A を関連付ける 行列反転の補題 を確立できます （ Woodbury 行列恒等式 § 代替証明 の 「LDU 分解からの導出」を 参照）。 [ A − B D − 1 C B 0 D ] → [ I p − B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C B 0 D ] = [ A − B D − 1 C 0 0 D ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}} M = [ A B C D ] = [ I p B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I p 0 D − 1 C I q ] . {\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} M − 1 = [ A B C D ] − 1 = ( [ I p B D − 1 0 I q ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I p 0 D − 1 C I q ] ) − 1 = [ I p 0 − D − 1 C I q ] [ ( A − B D − 1 C ) − 1 0 0 D − 1 ] [ I p − B D − 1 0 I q ] = [ ( A − B D − 1 C ) − 1 − ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 − D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 D − 1 + D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 ] = [ ( M / D ) − 1 − ( M / D ) − 1 B D − 1 − D − 1 C ( M / D ) − 1 D − 1 + D − 1 C ( M / D ) − 1 B D − 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
プロパティ p と q が 両方とも 1 の場合 （つまり、 A 、 B 、 C 、 D がすべてスカラーの場合）、2 行 2 列の行列の逆行列のよく知られた式が得られます。 M − 1 = 1 A D − B C [ D − B − C A ] {\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]} ただし、 AD − BC はゼロ以外である。 M = [ A B C D ] = [ I p 0 C A − 1 I q ] [ A 0 0 D − C A − 1 B ] [ I p A − 1 B 0 I q ] , M − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( M / A ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( M / A ) − 1 − ( M / A ) − 1 C A − 1 ( M / A ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} この逆が存在するときはいつでも。 （シュアーの公式） A 、 Dがそれぞれ逆行列であるとき、 M の行列式は 次のように表されることも明らかである。 det ( M ) = det ( A ) det ( D − C A − 1 B ) {\displaystyle \det(M)=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right)} 、 それぞれ det ( M ) = det ( D ) det ( A − B D − 1 C ) {\displaystyle \det(M)=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right)} 、 これは 2 × 2 行列の行列式の公式を一般化したものです。 （ガットマンのランク加法性公式） D が逆行列を持つ場合、 M の ランク は次のように与えられる。 rank ( M ) = rank ( D ) + rank ( A − B D − 1 C ) {\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} \left(A-BD^{-1}C\right)} （ ヘインズワース慣性加法性公式 ） Aが 逆行列である場合、 ブロック行列 Mの 慣性は A の慣性と M / A の慣性の合計に等しくなります 。 （商の恒等式） [ 5] A / B = ( ( A / C ) / ( B / C ) ) {\displaystyle A/B=((A/C)/(B/C))} ラプラシアン行列 のシュアー補行列 もラプラシアン行列である。 [6]
線形方程式の解への応用 シュール補数は、 [7] のような 線形方程式系を解くときに自然に生じる。
[ A B C D ] [ x y ] = [ u v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}} 。
部分行列が逆行列であると仮定すると、 次のように方程式から 消去できます。 A {\displaystyle A} x {\displaystyle x}
x = A − 1 ( u − B y ) . {\displaystyle x=A^{-1}(u-By).}
この式を2番目の式に代入すると、
( D − C A − 1 B ) y = v − C A − 1 u . {\displaystyle \left(D-CA^{-1}B\right)y=v-CA^{-1}u.} これを元の方程式からを消去して得られる 簡約方程式 と呼ぶ 。簡約方程式に現れる行列は、 の最初のブロックのシュアー補行列と呼ばれる 。 x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} M {\displaystyle M}
S = d e f D − C A − 1 B {\displaystyle S\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ D-CA^{-1}B} 。 この簡約された方程式を解くと、
y = S − 1 ( v − C A − 1 u ) . {\displaystyle y=S^{-1}\left(v-CA^{-1}u\right).} これを最初の式に代入すると、
x = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 ) u − A − 1 B S − 1 v . {\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u-A^{-1}BS^{-1}v.} 上記の 2 つの式は次のように表すことができます。
[ x y ] = [ A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ] [ u v ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.} したがって、ブロック行列の逆行列の定式化は次のようになります。
[ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ] = [ I p − A − 1 B I q ] [ A − 1 S − 1 ] [ I p − C A − 1 I q ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&-A^{-1}B\\&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&\\-CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}.} 特に、シュアー補数は の逆数のブロック要素の逆数であることが分かります 。 2 , 2 {\displaystyle 2,2} M {\displaystyle M}
実際には、 このアルゴリズムが数値的に正確であるためには、
条件 が適切に整えられて いる必要があります。 A {\displaystyle A}
この手法は、電気工学においてネットワーク方程式の次元を削減するために有用です。特に、出力ベクトルの要素がゼロの場合に有効です。例えば、 またはがゼロの場合、 出力ベクトルの残りの部分を変更することなく、 係数 行列の関連する行を削除できます。 が ゼロの場合、上記の の式は に簡約され 、係数行列の次元は変更されずに削減されます。これは電気工学においてノード削除または クロン縮約 と呼ばれ、有利に利用されています 。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} x {\displaystyle x} x = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 ) u {\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u} u {\displaystyle u}
確率論と統計への応用 ランダム列ベクトル X 、 Yがそれぞれ R n と R m に存在し、 R n + m のベクトル（ X 、 Y ）が、 共分散が対称正定値行列 である 多変量正規分布に従うと仮定する。
Σ = [ A B B T C ] , {\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],} ここで 、 は X の 共分散行列 、は Y の共分散行列 、は X と Y 間の共分散行列です 。 A ∈ R n × n {\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} C ∈ R m × m {\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}} B ∈ R n × m {\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}
このとき、 X の Y が与えられた 条件付き共分散は C のシュアー補集合となる ： [ 8] Σ {\textstyle \Sigma }
Cov ( X ∣ Y ) = A − B C − 1 B T E ( X ∣ Y ) = E ( X ) + B C − 1 ( Y − E ( Y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (X\mid Y)&=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\\\operatorname {E} (X\mid Y)&=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))\end{aligned}}} 上の行列を ランダムベクトル の共分散ではなく標本共分散と みなす と、 ウィシャート分布 に従う可能性があります 。その場合、 C のシュアー補集合も ウィシャート分布に従います。 [ 要出典 ] Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma }
正定値性と半定値性の条件 Xを 実数の 対称 行列と し 、ヘインズワースの慣性加法公式 により 、 X = [ A B B T C ] . {\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}
A が逆行列を持つ場合 、 Xが正定値となるのは、 A とその補集合 X/A が両方とも正定値である 場合に限ります。 [2] : 34 X ≻ 0 ⇔ A ≻ 0 , X / A = C − B T A − 1 B ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succ 0.} C が逆関数である場合 、 X が正定値となるのは、 C とその補集合 X/C が 両方とも正定値である場合に限ります。 X ≻ 0 ⇔ C ≻ 0 , X / C = A − B C − 1 B T ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succ 0.} A が正定値 ならば、 X は半正定値となるのは、補集合 X/A が半正定値となる場合のみである: [2] : 34 If A ≻ 0 , then X ⪰ 0 ⇔ X / A = C − B T A − 1 B ⪰ 0. {\displaystyle {\text{If }}A\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succeq 0.} C が正定値の 場合、補集合 X/C が半正定値であるときのみ、 X は半正定値となります。 If C ≻ 0 , then X ⪰ 0 ⇔ X / C = A − B C − 1 B T ⪰ 0. {\displaystyle {\text{If }}C\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succeq 0.} 最初と3番目のステートメントは、量の最小値をvの関数として考えることによっても導くことができ ます （ u は 固定 ） 。 u T A u + 2 v T B T u + v T C v , {\displaystyle u^{\mathrm {T} }Au+2v^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }u+v^{\mathrm {T} }Cv,\,}
さらに、 半正定値行列の場合も同様であるため、2 番目 (または 4 番目) のステートメントは、1 番目 (または 3 番目) のステートメントから直接導かれます。 [ A B B T C ] ≻ 0 ⟺ [ C B T B A ] ≻ 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}
一般化されたシュアー補集合の観点から、 X が半正定値であることの 必要十分条件 も存在する。 [2] 具体的には、
X ⪰ 0 ⇔ A ⪰ 0 , C − B T A g B ⪰ 0 , ( I − A A g ) B = 0 {\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{\mathrm {T} }A^{g}B\succeq 0,\left(I-AA^{g}\right)B=0\,} そして X ⪰ 0 ⇔ C ⪰ 0 , A − B C g B T ⪰ 0 , ( I − C C g ) B T = 0 , {\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\mathrm {T} }\succeq 0,\left(I-CC^{g}\right)B^{\mathrm {T} }=0,} ここで は の 一般逆を 表します 。 A g {\displaystyle A^{g}} A {\displaystyle A}
参照
参考文献 ^ シュール、J. (1917)。 「Über Potenzreihen die im Inneren des Einheitskreises beschränkt sind」。 J. Reine U. Angewandte Mathematik 。 147 : 205–232 . 土井 :10.1515/crll.1917.147.205。 ^ abcd Zhang, Fuzhen (2005). Zhang, Fuzhen (ed.). シュール補集合とその応用 . 数値解析法とアルゴリズム. 第4巻. Springer. doi :10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6 。 ^ Haynsworth, EV、「シューア補数について」、 Basel Mathematical Notes 、#BNB 20、17ページ、1968年6月。 ^ フェシュバッハ、ハーマン (1958). 「統一核反応理論」 Annals of Physics . 5 (4): 357– 390. doi :10.1016/0003-4916(58)90007-1. ^ Crabtree, Douglas E.; Haynsworth, Emilie V. (1969). 「行列のシュアー補集合の恒等式」 . Proceedings of the American Mathematical Society . 22 (2): 364– 366. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0255573-1 . ISSN 0002-9939. S2CID 122868483. ^ Devriendt, Karel (2022). 「有効抵抗は距離以上のもの：ラプラシアン、シンプリス、そしてシュール補集合」. 線形代数とその応用 . 639 : 24– 49. arXiv : 2010.04521 . doi :10.1016/j.laa.2022.01.002. S2CID 222272289. ^ ab Boyd, S. および Vandenberghe, L. (2004)、「凸最適化」、ケンブリッジ大学出版局 (付録 A.5.5) ^ フォン・ミーゼス、リチャード (1964). 「第8章 9.3」. 確率統計の数学的理論 . アカデミック・プレス. ISBN 978-1483255385 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\ \D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1} \\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^ {-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58350a41aee4f6b00967045730c9f2bffed58b30)
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_ {p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f93e1898d73ede18f6d651c00a287468ae41f8)
![{\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ec28ed555a4069371ad80fc55546835aeb39da)
![{\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5275c8c7114f4fcdd4843f48a6fc98ca04fb1cea)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986af61a82af75e19d546844cbd5a3039c61ca84)
