シュワルツ空間

数学において、シュワルツ空間とは、 ${\mathcal {S}}$ 導関数が急速に減少する関数全体の成す関数空間である。この空間は、フーリエ変換がこの空間上の自己同型であるという重要な性質を持つ。この性質により、双対性によって、の双対空間内の元、すなわち緩和超関数に対するフーリエ変換を定義することができる。シュワルツ空間内の関数は、シュワルツ関数と呼ばれることもある。 ${\mathcal {S}}^{*}$ ${\mathcal {S}}$

シュワルツ空間はフランスの数学者ローラン・シュワルツにちなんで名付けられました。

意味

を非負整数の集合とし、任意のに対して、n重直積をとします。 $\mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$

上のシュワルツ空間、または急速に減少する関数の空間 は、関数空間です。ここで、は、からへの滑らかな関数の関数空間です。ここで、は上限を表し、多重指数表記、すなわちおよびを使用しました。 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.$ $\sup$ ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ $D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}$

この定義を一般的な言葉で表現すると、急速に減少する関数とは、本質的に、が上のどこにでも存在し、の逆数乗よりも速くゼロに近づくような関数であると考えることができる。特に、はの部分空間である。 $f$ $f(x),f'(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots$ $\mathbb {R}$ $x\rightarrow \pm \infty$ $x$ ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right)$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$

シュワルツ空間における関数の例

が多重添字でaが正の実数である場合、 ${\boldsymbol {\alpha }}$
${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|{\boldsymbol {x}}|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$
コンパクトな台を持つ任意の滑らかな関数はに存在します。の任意の導関数は連続でありのサポートでサポートされているので、これは明らかです。したがって、極値定理により、 (はで最大値を持ちます。 $f$ ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ $f$ $f$ ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f$ $\mathbb {R} ^{n}$
シュワルツ空間はベクトル空間であるため、任意の多項式に実定数の因数を乗じることでシュワルツ空間の元を得ることができる。特に、シュワルツ空間への多項式の埋め込みが存在する。 $\phi ({\boldsymbol {x}})$ $e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}$ $a>0$

プロパティ

分析特性

ライプニッツの法則から、は点ごとの乗算に対しても閉じていることがわかります。 ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$

$f,g\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\Rightarrow fg\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ 特に、これはが -代数であることを意味します。より一般的には、とがすべての階数の有界導関数を持つ有界滑らかな関数である場合、となります。 ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ $\mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} \right)$ $H$ $fH\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} \right)$

フーリエ変換は線形同型です。 ${\mathcal {F}}:{\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\longrightarrow {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$
であればはリプシッツ連続であり、したがって上で一様連続です。 $f\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$
${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ は、複素数上の優れた局所凸フレシェ・シュワルツ TVSです。
両者およびその強い双対空間はまた次のようになります。 ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$

シュワルツ空間と他の位相ベクトル空間の関係

の場合、はの稠密部分集合です。 $1\leqslant p<\infty$ ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$
すべてのバンプ関数の空間、、はに含まれます。 $C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$

参照

参考文献

出典

Hörmander, L. (1990). 『線形偏微分作用素の解析 I (分布理論とフーリエ解析)』（第2版）. ベルリン: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X。
リード, M.; サイモン, B. (1980). 『現代数理物理学の方法：関数解析I（改訂増補版）』サンディエゴ: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-585050-6。
スタイン、エリアス・M.; シャカルチ、ラミ (2003). 『フーリエ解析入門（プリンストン解析講義 I）』プリンストン：プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-11384-X。
トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカルベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322。

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