シュワルツシルト座標

Coordinate system in black hole physics

ロレンツ多様体理論では、球対称時空は入れ子状の球面の族を許容する。このような時空において特に重要な座標図は、シュワルツシルト図である。これは、静的かつ球対称な時空上の極球座標図の一種であり、これらの入れ子状の球面に適合している。シュワルツシルト図の特徴は、動径座標が各球面の表面積とガウス曲率に関して自然な幾何学的解釈を持つことである。しかし、動径距離と角度は正確に表現されない。

これらのチャートは、一般相対性理論などの重力の計量理論で多くの用途がある。これらは静的な球対称時空で最もよく使われる。一般相対性理論の場合、バーコフの定理によれば、アインシュタイン場の方程式のすべての孤立した球対称真空解または電気真空解は静的であるが、これは完全流体の場合はもちろん当てはまらない。球対称ブラックホールの事象の地平線の内側のシュワルツシルト真空解の外部領域の拡張は地平線内では静的ではなく、（空間的な）入れ子になった球の族は地平線内に拡張できないため、この解のシュワルツシルトチャートは必然的に地平線で破綻する。

意味

計量テンソルの 指定は、あらゆるローレンツ多様体の定義の一部です。このテンソルを定義する最も簡単な方法は、互換性のある局所座標チャートで定義し、それらのチャートの領域の重なり合う部分に同じテンソルが定義されていることを確認することです。この記事では、単一のチャートの領域における計量テンソルの定義のみを試みます。 ${\displaystyle g}$

シュワルツシルト図（静的球対称時空上）では、線要素は次の形をとる。

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

ここで、 は標準球面座標、は単位2次元球面上の標準計量です。この式のより詳細な導出については、シュワルツシルト解の導出を参照してください。 ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$

文脈によっては、aとb をラジアル座標の未定関数とみなすことが適切な場合もあります（例えば、アインシュタイン場の方程式の正確な静的球対称解を導出する場合など）。あるいは、特定の関数（場合によってはいくつかのパラメータに依存する）を代入することで、特定のローレンツ時空上のシュワルツシルト座標チャートを得ることもできます。

これが、結果として得られるモデルがアインシュタイン場方程式を満たすような応力エネルギー テンソルを許容することが判明した場合(適切なエネルギー条件と合理的な完全流体に期待されるその他の特性に従う静的球対称完全流体の場合など)、物質や運動量密度などの物理量を表す適切なテンソル場によって、おそらくより大きな時空の一部が得られます。これは、アインシュタイン場方程式の局所解と見なすことができます。

ベクトル場を殺す

シュワルツシルトチャートに関して、キリングベクトル場のリー代数は、時間的非回転キリングベクトル場によって生成される。

${\displaystyle \partial _{t}}$^[注1]

3つの空間的なキリングベクトル場

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

ここで、 が非回転的であるということは、対応する時間的合同性の渦度テンソルがゼロになることを意味します。したがって、このキリングベクトル場は超曲面直交です。時空が非回転的な時間的キリングベクトル場を許容するという事実は、実際には静的時空の定義特性です。直接的な帰結の1つは、定数時間座標面が（等長）空間超スライスの族を形成することです。（これは、例えば、カー真空の外部領域のボイヤー・リンクイストチャートでは当てはまりません。この領域では、時間的座標ベクトルは超曲面直交ではありません。） ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

最後の2つの場は、座標変換の下で互いに回転していることに留意してください。キリングベクトル場に関する記事では、3つの空間的場の詳細な導出と議論が提供されています。 ${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$

静的なネストされた球のファミリー

シュワルツシルト図では、曲面は丸い球として現れ（軌跡を極球面法でプロットした場合）、その形から、これらの曲面のいずれかに制限されたシュワルツシルト計量は正定値であり、次のように与えられることがわかる。 ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

単位半径2次元球面上の標準リーマン計量はどこにありますか？つまり、これらの入れ子になった座標球面は、実際には次のような幾何学的球面を表しています。 ${\displaystyle g_{\Omega }}$

1. 表面積 ${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. ガウス曲率 ${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

特に、これらは幾何学的な球面です。さらに、角座標は通常の極球面角座標と全く同じです。は余緯度と呼ばれることもあり、は通常経度と呼ばれます。これが本質的にシュワルツシルト図の幾何学的特徴を決定づけるものです。 ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

ここで付け加えておくと、上記の4つのキリング場は、ロレンツ多様体上の抽象ベクトル場として捉えると、静的な球対称時空の対称性を最も忠実に表現していると言えるでしょう。また、この図でキリング場がとる特定の三角関数形式は、シュワルツシルト図という用語の意味を最も忠実に表現しています。特に、3つの空間キリングベクトル場は、E ³上の球対称図における3つの非並進キリングベクトル場と全く同じ形式を持ちます。つまり、原点を中心とした任意のユークリッド回転、つまり球対称性の概念を示しています。

しかし、注意すべき点があります。一般に、シュワルツシルト放射座標は、放射距離、つまり の積分曲線として生じる空間的測地線合同に沿った距離を正確に表すものではありません。むしろ、入れ子になった2つの球面間の「空間距離」という適切な概念を見つけるには、原点からの何らかの座標線に沿って積分する必要があります。 ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle b(r)dr}$

${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr}$

同様に、各球面は理想的な観測者からなる球面雲の軌跡と見なすことができます。これらの観測者は（一般的には）位置を維持するためにロケットエンジンを使って放射状に外側へ加速しなければなりません。これらの観測者は静止した観測者であり、シュワルツシルト図における垂直座標線の形をとる世界線を持っています。 ${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$

これらの観測者の1人の世界線上の2つのイベント間の適切な時間間隔を計算するには、適切な座標線に沿って積分する必要があります。 ${\displaystyle a(r)dt}$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt}$

座標特異点

上記の座標範囲を振り返ると、 における座標特異点は、静的な入れ子状の球面の1つにおける北極の位置を示し、 は南極の位置を示していることに注目してください。E ³上の通常の極球面図と同様に、位相的な理由から、球面全体にわたって連続した座標を得ることはできません。そのため、ある経度（大円）を本初子午線として選択し、図からこれを切り取る必要があります。その結果、各空間超スライスから、軸とその軸から延びる半平面を含む閉じた半平面を切り取ることになります。 ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$ ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle r=0}$

上でキリング ベクトル フィールドであると述べたとき、巡回座標として考えており、実際に 3 つの空間的キリング ベクトルが丸い球上で作用するものとして考えているという、衒学的だが重要な修飾語を省略しました。 ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

もちろん、あるいは の可能性もあります。その場合、ある球体の外側、あるいはある球体の内側の領域もチャートの定義域から除外する必要があります。これは、シュワルツシルトラジアル座標 r のある値で f または g が爆発するたびに発生します。 ${\displaystyle r_{1}>0}$ ${\displaystyle r_{2}<\infty }$

静的ハイパースライスの可視化

シュワルツシルト放射座標の重要性をより深く理解するには、空間超スライスの1つ（もちろんそれらは互いに等長である）を平坦ユークリッド空間に埋め込むと役立つかもしれない。4次元ユークリッド空間を視覚的に捉えるのが難しい人にとっては、球対称性を利用して1つの座標 を省略できることが分かるだろう。これは と設定することで簡単に実現できる。これで、局所放射座標チャートを持つ2次元リーマン多様体が得られる。 ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$

${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

この面（または環状リング）をE ^{3に埋め込むために、E 3}にフレームフィールドを採用し、

1. パラメータ化された表面上で定義され、埋め込み空間から望ましいメトリックを継承する。
2. 放射状チャートに適応しており、
3. 未定の機能を備えています。 ${\displaystyle f(r)}$

つまり、パラメータ化された表面を考えてみましょう

${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$

この面上の座標ベクトル場は

${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

^{E 3}上のユークリッド計量をパラメータ化された曲面に 制限したときに継承される誘導計量は

${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

これを我々のハイパースライスの計量と同一視するには、明らかに次のように 選択する必要がある。 ${\displaystyle f(r)}$

${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$

少しばかげた例を挙げると、次のようなものになります。 ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$

これは、放射状に離れた2点間の真の距離が、それらの放射状座標の差よりも大きい曲面に対して有効です。真の距離がより小さい場合、リーマン多様体を E ^1,2に空間的曲面として埋め込む必要があります。例えば、 となります。場合によっては、環状リングの局所的な埋め込みを2つ以上必要とする場合があります（正または負のガウス曲率の領域の場合）。一般に、リーマンテンソルがゼロの平坦空間では、大域的な埋め込みは期待できません。 ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$

重要なのは、ラジアル座標の幾何学的解釈の観点から見たシュワルツシルト チャートの定義特性が、まさにこの種の空間ハイパースライスの球対称埋め込みを (原理的には) 実行するために必要なものであるということです。

メトリックの仮説

上記の線要素は、f、gがシュワルツシルト放射座標rの未定関数とみなされ、一般相対性理論（またはその他の重力の計量理論）における静的球対称解を導く際の計量仮説としてよく使用されます。

例として、カルタンの外積分法を用いて接続と曲率を計算する方法を示す。まず、線分要素からコフレーム体を読み取る。

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=rd\theta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi }$

ここで、 はまだ決定されていない の滑らかな関数であるとみなします。(我々の時空がこの特定の三角関数形式を持つフレームを許容するという事実は、静的な球対称のローレンツ多様体におけるシュワルツシルト チャートの概念のもう 1 つの同等の表現です)。 ${\displaystyle a\,b}$ ${\displaystyle r}$

次に、これらの共基数 1 形式の外微分を計算します。

${\displaystyle d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}}$

${\displaystyle d\sigma ^{1}=0\,}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta }$

${\displaystyle d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

カルタンの最初の構造方程式（あるいはその積分可能性条件）と比較すると、

${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$

接続 1 形式の表現式を推測します。(ハットは、添え字が共基 1 形式 を参照するものであり、座標 1 形式 を参照するものではないことを思い出させるための表記法です。) ${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$

においてどのインデックスのペアが対称（時空）で、どのインデックスのペアが反対称（空間間）であるかを思い出すと、6つの接続1形式が次の式であることが確認できます。 ${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{2}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{3}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }$

（この例では、6つの1形式のうち4つだけが非零です。）これらの1形式を1形式の行列、あるいはさらに良い方法としてSO(1,3)値1形式にまとめることができます。ただし、結果として得られる1形式の行列はSO(4)値1形式の場合のように完全に反対称ではないことに注意してください。代わりに、ローレンツ随伴行列から生じる転置の概念を使用する必要があります。

第三に、接続1形式の外微分を計算し、カルタンの第2構造方程式を使用する。

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$

曲率を計算するには2つの形式があります。4番目に、次の式を使って

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$

ここで、バッハバーは6つの増加する添字の組（i、j ）についてのみ合計する必要があることを示し、コフレームとその双対フレーム体に関してリーマンテンソルの線形独立成分を読み取ることができます。次の式が得られます。

${\displaystyle {R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}$

${\displaystyle {R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\displaystyle {R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}}$

${\displaystyle {R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

第五に、インデックスを下げてコンポーネントをマトリックスに 整理することができます ${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]}$

ここで、E,Lは対称（一般に6つの線形独立成分）であり、Bはトレースレス（一般に8つの線形独立成分）であり、これは6次元ベクトル空間上の2つの形式（各イベントにおいて）の線形作用素を表すものと考えられる。このことから、時間的単位ベクトル場に関するベル分解を読み取ることができる。電気重力テンソルは ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$

磁気重力テンソルは同様にゼロとなり、位相重力テンソルは（回転しないという事実を用いて）空間超スライスの3次元リーマンテンソルを決定することができ、 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

これは、どのロレンツ多様体にも当てはまりますが、一般相対性理論では、電気重力テンソルは、私たちのフレームに対応する観測者によって測定されるように、小さな物体に対する潮汐応力を制御し、磁気重力テンソルは、私たちのフレームに対応する観測者によって測定されるように、回転する物体に対するスピン間力を制御することに注意してください。

私たちのコフレームフィールドのデュアルフレームフィールドは

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

ここで、この係数が3つの直交空間的ベクトル場のうち最初のものにのみ乗算されるという事実は、シュワルツシルト図が空間的に等方的ではないことを意味します（局所的に平坦な時空という自明な場合を除く）。むしろ、光円錐は（放射状に平坦化）または（放射状に伸長）して現れます。これはもちろん、シュワルツシルト図が各入れ子状の球面内の距離を正しく表しているものの、放射状座標が放射状の真距離を忠実に表していないことを言い換えただけです。 ${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$

シュワルツシルト図を許容するいくつかの厳密解

この方法で得られる正確な解の例としては、次のものがあります。

• シュワルツシルト真空の外部領域、
• ライスナー・ノルドストロームの電気真空についても同様に、これは前述の例を特別なケースとして含んでいる。
• ライスナー・ノルドストローム・デ・ジッターの電気ラムダ真空についても同様に、これは前述の例を特別なケースとして含んでいる。
• ジャニス・ニューマン・ウィナクール解（質量のない最小結合スカラー場を備えた静的球対称物体の外部をモデル化する）
• 圧力が消滅する球状の軌跡を横切る静的な球対称完全流体解である内部領域を、シュワルツシルト真空領域の一部に局所的に等長である外部領域に一致させることによって得られる恒星モデル。

一般化

非静的だが球対称な時空を考えるのは自然であり、その計量は次の形をとる一般化されたシュワルツシルト図で表すことができる。

${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

別の方向に一般化すると、丸い2球面上の他の座標系を使用して、たとえば、時々役立つ立体シュワルツシルト図を取得できます。

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}}$

参照

• 静的時空、
• 球対称時空、
• 静的球対称完全流体、
• 等方座標、静的球対称時空を表すもう一つの一般的な図表。
• ガウス極座標、静的球対称時空に対するあまり一般的ではない代替チャート、
• グルストランド・パンルヴェ座標、静的ブラックホールの事象の地平線内で有効な単純なチャート。
• 一般相対論におけるフレーム場、フレーム場とコフレーム場の詳細については、
• リーマンテンソルのベル分解、
• 合同性（一般相対性理論）、上記のような合同性の詳細については、 ${\displaystyle {\vec {X}}}$
• クラスカル・シェケレス座標は、最大限に拡張されたシュワルツシルト解の時空多様体全体を覆うチャートであり、物理的特異点の外側のどこでも良好な振る舞いを示す。
• エディントン・フィンケルシュタイン座標、静的球対称時空の代替チャート、
• ルメートル座標、事象の地平線で規則的な最も古いチャート。

注記

1. は時間的方向を指すベクトル場を表す記法である。t に関する微分作用素に似た形で書かれる。なぜなら、この方向に微分をとることができるからである。=という記法は、接束におけるベクトル場を表すために、頻繁に、そして一般的に用いられる。 ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$

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