遮蔽されたポアソン方程式

物理学において、遮蔽ポアソン方程式はポアソン方程式の一種であり、例えばクライン・ゴルドン方程式、プラズマ中の電場遮蔽、および粉体流における非局所粉体流動性^{[ 1 ]}などに現れる。

方程式の記述

方程式は $${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$$

ここで、 はラプラス演算子、λは「遮蔽」を表す定数、fは位置の任意の関数（「ソース関数」と呼ばれる）、u は決定する関数です。 ${\displaystyle \Delta }$

同次ケース（f =0 ）では、遮蔽ポアソン方程式は時間に依存しないクライン・ゴルドン方程式と同じになります。非同次ケースでは、遮蔽ポアソン方程式は非同次ヘルムホルツ方程式と非常によく似ており、括弧内の符号のみ異なります。

静電気

電界遮蔽において、電位の遮蔽されたポアソン方程式は通常次のように表される（SI単位系）。 ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},}$$

ここで、 は遮蔽長、は遮蔽がない場合に外部電場によって生成される電荷​​密度、は真空の誘電率です。この式は、固体物理学におけるトーマス・フェルミ遮蔽やプラズマにおけるデバイ遮蔽など、いくつかの遮蔽モデルから導出できます。 ${\displaystyle k_{0}^{-1}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

ソリューション

三次元

一般性を失うことなく、λは非負であるとする。λがゼロのとき、方程式はポアソン方程式に簡約される。したがって、 λが非常に小さいとき、解は遮蔽されていないポアソン方程式 の解に近づく。これは次元 において、ソース関数fで重み付けされた1/ r個の関数の重ね合わせである。 ${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

一方、λが極めて大きい場合、uはf / λ ²の値に近づき、λが無限大に近づくにつれてf / λ 2 はゼロに近づきます。後述するように、λの中間値に対する解は、遮蔽された（または減衰された）1/ r関数の重ね合わせとして振る舞い、λは遮蔽の強さとして振る舞います。

遮蔽されたポアソン方程式は、グリーン関数法を用いて一般のfに対して解くことができる。グリーン関数Gは次のように定義される。

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$$ ここで、δ ^{3は単位質量が}R ³の原点に集中するデルタ関数です。

uとその導関数がrの大きな値でゼロになると仮定すると、空間座標で 連続フーリエ変換を実行できます。

$${\displaystyle {\tilde {G}}(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

ここで積分は全空間にわたって行われる。すると、

$${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]{\tilde {G}}(\mathbf {k} )=1.}$$

したがって、 rにおけるグリーン関数は逆フーリエ変換によって与えられる。

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

この積分は、 k空間の球座標を用いて評価できる。角座標上の積分は単純であり、積分は動径波数上で1となる。 ${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

これは等高線積分を用いて評価できる。結果は次のようになる。

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$$

問題全体の解は次のように与えられる。

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} 'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$$

上述のように、これは遮蔽された1/ r関数の重ね合わせであり、波源関数fによって重み付けされ、λは遮蔽の強度として作用します。遮蔽された1/ r関数は、物理学では遮蔽されたクーロンポテンシャル、あるいは「湯川ポテンシャル」としてよく用いられます。

2次元

2次元の場合：磁化プラズマの場合、遮蔽されたポアソン方程式は準2次元です。 つまり、およびで、磁場は（イオン）ラーモア半径です。関連するグリーン関数の2次元フーリエ変換は次のとおりです。2 次元遮蔽されたポアソン方程式は次のようになります。 したがって、 グリーン関数は逆フーリエ変換によって与えられます。 この積分は、k空間の極座標 を使用して計算できます。 角度座標での積分はベッセル関数を与え、積分は動径波数で1に簡約されます。 $${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$$ ${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle {\tilde {G}}(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}\mathbf {r} ~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$$ $${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right){\tilde {G}}(\mathbf {k} _{\perp })=1.}$$ $${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!\mathbf {k} \;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$$ ${\displaystyle k_{r}}$ $${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$$

ラプラス分布との関連

2D と 3D の両方のグリーン関数は、それぞれ 2 次元と 3 次元の 多変量ラプラス分布の確率密度関数と同一です。

微分幾何学への応用

同次ケースは、微分幾何学の文脈で研究され、アインシュタインの歪んだ積多様体を含み、歪んだ関数が遮蔽ポアソン方程式の同次バージョンを満たす場合を探求する。特定の条件下では、多様体の次元、リッチ曲率、遮蔽パラメータは二次関係によって相互に関連付けられる。^{[ 2 ]}

参照

• 湯川ふれあい

参考文献

1. Kamrin, Ken; Koval, Georg (2012年4月26日). 「定常粒状流の非局所構成関係」(PDF) . Physical Review Letters . 108 (17) 178301. Bibcode : 2012PhRvL.108q8301K . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.178301 . hdl : 1721.1/71598 . PMID  22680912 .
2. ピガッツィーニ, アレクサンダー; ルサルディ, ルカ;戸田, マグダレーナ; デベネディクティス, アンドリュー (2024年7月29日). 「アインシュタインのワープ積多様体と遮蔽ポアソン方程式」 .アメリカ数学会 (AMS) 現代数学シリーズ - 書籍名: 『微分幾何学と関連分野における最近の進歩』 (2025年) . 821 : 173-179.

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