季節性

時系列データにおける季節性とは、週ごと、月ごと、四半期ごとなど、1年未満の特定の定期的な間隔で発生する傾向を指します。季節性は、天候、休暇、祝日など、様々な要因によって引き起こされる可能性があり^{[1] 、時系列の各レベル}^[2]において、周期的、反復的、かつ一般的に規則的で予測可能なパターンで構成されます。

時系列における季節変動は、周期的なパターンと対比されることがあります。後者は、データが一定期間に満たない上昇と下降を示す場合に発生します。このような非季節変動は通常、経済状況に起因し、「景気循環」と関連していることが多く、その周期は通常1年を超え、変動は通常少なくとも2年間続きます。^[3]

アイスクリーム販売業者のように季節変動に直面する組織は、通常の季節変動と比較した自社の業績を把握することに関心を持つことが多い。労働市場における季節変動は、学校を卒業したばかりの若者が就業機会を求めて労働市場に参入することに起因すると考えられる。雇用データを研究する人々は、こうした定期的な変化よりも、経済の基盤となる状況によって生じる変動に関心を寄せている。彼らの関心は、通常の季節変動の影響にもかかわらず、労働力における失業率がどのように変化したかにある。^[3]

組織は、将来の計画を立てるために、市場における季節変動を特定し、測定する必要があります。これにより、製品やサービスの需要が一定期間にわたって変動する際に、労働力や在庫の一時的な増減に備えることができます。これには、事前に計画できるトレーニングや定期的なメンテナンスなどが必要になる場合があります。これらの考慮事項に加えて、組織は、経験した変動が通常の季節変動の範囲を超えて、予想よりも多かったか少なかったかを把握する必要があります。^[4]

モチベーション

季節変動を研究する主な理由はいくつかあります。

季節的影響の説明により、この要素が特定の系列に与える影響をよりよく理解できるようになります。
季節パターンを確立した後、時系列から季節性パターンを除去する手法を適用することで、周期的変動や不規則変動といった他の要素の影響を分析することができます。この季節性の影響の除去は、データの季節調整または季節調整と呼ばれます。
季節変動の過去のパターンを利用して、気候の標準値などの将来の傾向の予測に貢献します。

検出

季節性を検出するには、次のグラフィック手法を使用できます。

実行シーケンスプロットは季節性を示すことが多い
季節グラフは各季節のデータを重ね合わせて表示します^[6]
季節性サブシリーズプロットは季節性を示すための特殊な手法である。
季節性を検出するために、季節サブシリーズプロットの代わりに複数のボックスプロットを使用することができます。
自己相関プロット(ACF) とスペクトルプロットは季節性の識別に役立ちます。

季節性を含む周期性を規則的なデータ系列から見つける非常に良い方法は、まず全体的な傾向を取り除いてから、時間周期性を調べることです。^[7]

ランシーケンスプロットは、あらゆる時系列を分析する上で推奨される最初のステップです。このプロットによって季節性が示される場合もありますが、季節性は季節サブシリーズプロットまたはボックスプロットによってより明確に示されます。季節サブシリーズプロットは、季節差（グループパターン間）とグループ内パターンの両方を非常によく示します。ボックスプロットは季節差（グループパターン間）を非常によく示しますが、グループ内パターンは示しません。ただし、大規模なデータセットの場合、通常、ボックスプロットの方が季節サブシリーズプロットよりも読みやすくなります。

季節プロット、季節サブシリーズプロット、ボックスプロットはすべて、季節周期が既知であることを前提としています。多くの場合、アナリストは実際にこれを知っています。例えば、月次データの場合、1年は12か月あるため、周期は12です。しかし、周期が不明な場合は、自己相関プロットが役立ちます。顕著な季節性がある場合、自己相関プロットは周期に等しいラグでスパイクを示すはずです。例えば、月次データで季節性の影響がある場合、ラグ12、24、36などで顕著なピークが見られることが予想されます（ただし、期間が長くなるにつれて強度は低下する可能性があります）。

自己相関プロット（ACF）は、Y値とYの遅延値との差（残差量）を計算するため、季節性を識別するために使用できます。結果には、2つの値が近い点（季節性なし）と、大きな乖離がある点が含まれます。これらの点は、データにおける季節性の程度を示します。

半規則的な周期的変動はスペクトル密度推定によって処理できる可能性がある。

計算

季節変動は、季節指数と呼ばれる指数で測定されます。これは、実際の観測値を季節変動がない場合の観測値と比較するために使用できる平均値です。指数値は、1年間の時系列の各期間に割り当てられます。つまり、月次データを考慮すると、各月ごとに1つずつ、合計12の個別の季節指数が存在することになります。以下の方法では、季節指数を用いて時系列データの季節変動を測定します。

単純平均法
比率対傾向法
移動平均比率法
リンク親戚法

単純平均法

移動平均比率法を用いた季節変動の測定は、時系列における季節変動の度合いを測る指標となります。この指標は平均を100として、季節性の度合いは基準値からの変動幅で測定されます。例えば、ある冬のリゾート地のホテルの賃貸料を観察すると、冬季四半期の指標は124となります。この値124は、四半期平均賃貸料の124%が冬季に発生していることを示しています。ホテル経営者が昨年通年で1436件の賃貸料を記録した場合、四半期平均賃貸料は359=(1436/4)となります。冬季四半期の指標が124であるため、冬季の賃貸料は以下のように推定されます。

359*(124/100)=445;

ここで、359 は四半期平均賃料、124 は冬季四半期指数、445 は季節別冬季四半期賃料です。

この手法はパーセンテージ移動平均法とも呼ばれます。この手法では、時系列の元のデータ値が移動平均のパーセンテージとして表されます。手順と表形式は以下のとおりです。

比率対傾向法

時系列内の元のデータ値の中心化された 12 か月 (または 4 四半期) の移動平均を見つけます。
時系列の各元データ値を、ステップ(1)で得られた対応する中心移動平均値に対する割合として表します。言い換えれば、乗法型時系列モデルでは、(元データ値) / (トレンド値) × 100 = ( $T$ × $C$ × $S$ × $I$ ) / ( $T$ × $C$ ) × 100 = ( $S$ × $I$ ) × 100と
なります。これは、移動平均に対する比率が季節性および不規則性の要素を表していることを意味します。
これらのパーセンテージを、指定された年における月または四半期ごとに並べます。指定された年におけるすべての月または四半期の平均値を求めます。
これらの指数の合計が1200（四半期指数の場合は400）でない場合は、補正係数（1200÷（月次指数の合計））を乗じます。それ以外の場合は、12ヶ月平均を季節指数とみなします。

移動平均比率法

次のデータから移動平均比率法で季節指数を計算してみましょう。

サンプルデータ
年/四半期	1	2	3	4
1996	75	60	54	59
1997	86	65	63	80
1998	90	72	66	85
1999	100	78	72	93

現在、4 つの四半期移動平均と移動平均比率の計算が以下の表に示されています。

移動平均線
年	四半期	元の値(Y)	4桁の移動合計	4桁移動平均	2桁の移動合計	2桁移動平均(T)	移動平均比率(%)(Y)/(T)*100
1996	1	75			—	—	—
	1	75	—	—	—	—	—
	2	60	—	—	—	—	—
	2	60	248	62.00	—	—	—
	3	54	248	62.00	126.75	63.375	85.21
	3	54	259	64.75	126.75	63.375	85.21
	4	59	259	64.75	130.75	65.375	90.25
	4	59	264	66.00	130.75	65.375	90.25
1997	1	86	264	66.00	134.25	67.125	128.12
	1	86	273	68.25	134.25	67.125	128.12
	2	65	273	68.25	141.75	70.875	91.71
	2	65	294	73.50	141.75	70.875	91.71
	3	63	294	73.50	148.00	74.00	85.13
	3	63	298	74.50	148.00	74.00	85.13
	4	80	298	74.50	150.75	75.375	106.14
	4	80	305	76.25	150.75	75.375	106.14
1998	1	90	305	76.25	153.25	76.625	117.45
	1	90	308	77.00	153.25	76.625	117.45
	2	72	308	77.00	155.25	77.625	92.75
	2	72	313	78.25	155.25	77.625	92.75
	3	66	313	78.25	159.00	79.50	83.02
	3	66	323	80.75	159.00	79.50	83.02
	4	85	323	80.75	163.00	81.50	104.29
	4	85	329	82.25	163.00	81.50	104.29
1999	1	100	329	82.25	166.00	83.00	120.48
	1	100	335	83.75	166.00	83.00	120.48
	2	78	335	83.75	169.50	84.75	92.03
	2	78	343	85.75	169.50	84.75	92.03
	3	72	343	85.75	—	—	—
	3	72	—	—	—	—	—
	4	93	—	—	—	—	—
	4	93			—	—	—

季節指数の計算
年/四半期	1	2	3	4	合計
1996	—	—	85.21	90.25
1997	128.12	91.71	85.13	106.14
1998	117.45	92.75	83.02	104.29
1999	120.48	92.04	—	—
合計	366.05	276.49	253.36	300.68
季節平均	122.01	92.16	84.45	100.23	398.85
調整済み季節平均	122.36	92.43	84.69	100.52	400

季節平均値の合計は398.85です。したがって、対応する補正係数は400/398.85 = 1.00288となります。各季節平均値に補正係数1.00288を乗じることで、上記の表に示す調整済み季節指数が得られます。

リンク親戚法

1. 加法時系列モデルでは、季節成分は次のように推定されます。

S

=

Y

– (

T

+

C

+

I

)

どこ

S

: 季節値

Y

: 時系列の実際のデータ値

T

: トレンド値

C

: 循環値

I

: 不規則な値。

2. 乗法時系列モデルでは、季節成分は比率とパーセンテージで次のように表される。

季節の影響 ;

={\frac {T\cdot S\cdot C\cdot I}{T\cdot C\cdot I}}\times 100\ ={\frac {Y}{T\cdot C\cdot I}}\times 100

ただし、実際には、時系列のトレンド除去はに到達するために行われます。 $S\cdot C\cdot I$

これは、の両辺をトレンド値 $T$ で割ることによって行われます。 $Y=T\cdot S\cdot C\cdot I$ ${\frac {Y}{T}}=S\cdot C\cdot I$

3. 季節性を除去した時系列データには、トレンド（ $T$ ）、周期的（ $C$ ）、不規則（ $I$ ）の要素のみが含まれており、次のように表現されます。

乗法モデル: ${\frac {Y}{S}}\times 100={\frac {T\cdot S\cdot C\cdot I}{S}}\times 100=(T\cdot C\cdot I)\times 100$

加法モデル: $Y$ – $S$ = ( $T$ + $S$ + $C$ + $I$ ) – $S$ = $T$ + $C$ + $I$

モデリング

時系列における完全に規則的な周期的変動は、時系列解析において、1つまたは複数の正弦波（周期長は状況に応じて既知または未知となる）を用いた正弦波モデルを用いることで処理できる可能性がある。それほど規則的ではない周期的変動は、周期的変動を半明示的に扱うように構造化できる特殊なARIMAモデルを用いることで処理できる可能性がある。このようなモデルは、周期定常過程を表す。

周期的な季節性をモデル化するもう一つの方法は、フーリエ項のペアを用いることです。正弦波モデルと同様に、回帰モデルにフーリエ項を追加する場合も、季節性をシミュレートするために正弦項と余弦項を利用します。ただし、このような回帰モデルの季節性は、正弦波モデルにおける単一の正弦項または余弦項ではなく、正弦項または余弦項の和として表されます。あらゆる周期関数は、フーリエ項を含めることで近似できます。

正弦波モデルとフーリエ項を使用した回帰の違いは、以下のように簡略化できます。

正弦波モデル:

Y_{i}=a+bt+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}

フーリエ項を使った回帰:

Y_{i}=a+bt+(\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}\cdot \sin({\tfrac {2\pi kt}{m}})+\beta _{k}\cdot \cos({\tfrac {2\pi kt}{m}}))+E_{i}

季節調整

季節調整または季節除去とは、時系列から季節性成分を除去する手法です。得られた季節調整データは、例えば、季節周期よりも長い期間にわたる非季節性傾向を分析または報告する場合に使用されます。適切な季節調整手法は、時系列を「傾向」、「周期的」、「季節性」、「不規則性」といった名称で示される要素に分解し、それらの相互作用も考慮するという特定の観点から選択されます。例えば、これらの要素は加法的または乗法的に作用する可能性があります。したがって、季節性成分が加法的に作用する場合、調整手法には次の2つの段階があります。

時系列内の変動の季節的要素を推定します。通常は、系列全体で平均がゼロになる形式で推定します。
元の時系列から推定された季節成分を差し引くと、季節調整された時系列が残ります。^[3] $Y_{t}-S_{t}=T_{t}+E_{t}$

乗法モデルの場合、季節変動の大きさは水準によって変化しますが、これは経済系列で発生する可能性が高くなります。^[3]季節性を考慮すると、季節調整済みの乗法分解は次のように表すことができます。元の時系列を推定された季節成分で除算します。 $Y_{t}/S_{t}=T_{t}*E_{t}$

乗法モデルは、時系列の対数を取ることで加法モデルに変換できます。

SA 乗法分解: $Y_{t}=S_{t}*T_{t}*E_{t}$

乗法モデルの時系列の対数をとる：^[3] $logY_{t}=logS_{t}+logT_{t}+logE_{t}$

季節調整の特定の実装の 1 つは、X-12-ARIMAによって提供されます。

回帰分析では

季節によって変化する従属変数が1 つ以上の独立変数の影響を受ける通常の最小二乗法などの回帰分析では、任意に選択した基準季節を除く各季節に 1 つずつ、n -1個のダミー変数を含めることで季節性を考慮および測定できます。ここで、 nは季節の数です (たとえば、気象季節の場合は 4、月の場合は 12 など)。各ダミー変数は、データポイントがダミーの指定季節から抽出された場合は 1 に設定され、それ以外の場合は 0 に設定されます。次に、基準季節の従属変数の予測値は回帰の残りの部分から計算され、その他の季節については、回帰の残りの部分を使用し、その季節のダミー変数に値 1 を挿入することで計算されます。

参照

参考文献

^ 「季節性」.|title=影響要因|
^ 「季節性とは？定義と意味」。2015年5月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月13日閲覧。
^ abcde 6.1 時系列コンポーネント - OTexts。
^ 「ビジネスで利益を最大化する2つのヒント」。netsuite。
^ 「S&P 500 INDEX (^SPX)」。「Max（期間）」、「Historical prices（過去価格）」、「monthly（月次）」を選択：Yahoo Finance。
^ 2.1 グラフィックス - OTexts。
^ 「時系列 - データの季節性を検出するにはどのような方法を使用できますか？」Cross Validated。

さらに読む

フランセス、フィリップ・ハンス（1996年）『経済時系列における周期性と確率的トレンド』ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-877454-0。
ギセルズ、エリック、オズボーン、デニス・R. (2001). 『季節時系列の計量分析』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56588-X。
ヒレバーグ、スヴェンド (1986).回帰分析における季節性. オーランド: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-363455-5。
Hyndman, Rob J.; Athansopoulos, George (2021). 『予測：実践と原則』（第3版）. OTexts. ISBN 978-0-9875071-3-6。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズの季節性に関するメディア
NIST/SEMATECH 統計手法の電子ハンドブックにおける季節性

この記事には、米国国立標準技術研究所（ NIST ）のNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods（統計手法の電子ハンドブック）のパブリックドメイン資料が組み込まれています。

[1] 「季節性」.|title=影響要因|

[2] 「季節性とは？定義と意味」。2015年5月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月13日閲覧。

[otexts.org-3] 6.1 時系列コンポーネント - OTexts。

[4] 「ビジネスで利益を最大化する2つのヒント」。netsuite。

[YahooFinance_SPX-5] 「S&P 500 INDEX (^SPX)」。「Max（期間）」、「Historical prices（過去価格）」、「monthly（月次）」を選択：Yahoo Finance。

[auto-6] 2.1 グラフィックス - OTexts。

[7] 「時系列 - データの季節性を検出するにはどのような方法を使用できますか？」Cross Validated。

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