第一級制約

物理学において、第一種拘束条件とは、拘束ハミルトン系における力学量であり、そのポアソン括弧は他のすべての拘束条件と共に位相空間の拘束面（すべての拘束条件が同時に消滅することによって暗黙的に定義される面）上で消滅する。第一種拘束条件を計算するには、第二種拘束条件が存在しない、あるいは既に計算済みであり、それらのディラック括弧が生成されていると仮定する。^[1]

第一種および第二種の制約は、シンプレクティック形式が退化しているゲージ理論などの力学システムを量子化する方法としてディラック（1950, p. 136, 1964, p. 17）によって導入された。^[2]^[3]

第一種制約と第二種制約という用語の用法は、それらの生成方法を反映して、第一種制約と第二種制約という用語と紛らわしいほど類似しています。これらの区分は独立しており、第一種制約と第二種制約はどちらも第一種制約または第二種制約のいずれかであるため、合計4つの異なる制約クラスが存在します。

ポアソン括弧

滑らかなハミルトニアンを持つポアソン多様体 Mを考えます(場の理論では、M は無限次元になります)。

いくつかの制約があると仮定する

f_{i}(x)=0,

n個の滑らかな関数の場合

\{f_{i}\}_{i=1}^{n}

これらは一般にチャート単位で定義される。制約集合上のどこでも、n個の関数のn個の導関数はすべて線形独立であり、またポアソン括弧も

\{f_{i},f_{j}\}

そして

\{f_{i},H\}

制約された部分空間上ではすべて消えます。

つまり、次のように書くことができる。

\{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}

いくつかの滑らかな関数については、これを示す定理があります。 $c_{ij}^{k}$

\{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}

いくつかのスムーズな機能のために。 $v_{i}^{j}$

これは、単位分割を用いて大域的に行うことができます。この場合、既約な第一級制約があると言えます（ここでの「既約」は、表現理論における「既約」とは異なる意味です）。

幾何学理論

より簡潔な方法として、上のベクトル束と-次元ファイバーが与えられていると仮定します。このベクトル束に接続を付与します。また、この束の滑らかな切断 $f$ があると仮定します。 ${\mathcal {M}}$ $n$ $V$

すると、接続に関する $f$ の共変微分は、接束からへの滑らかな線型写像となり、基点を保存します。この線型写像は、 $f$ の零点におけるすべてのファイバーに対して右可逆（つまり、が恒等写像となるような線型写像が存在する）であると仮定します。すると、暗黙関数定理によれば、 $f$ の零点部分空間は部分多様体となります。 $\nabla f$ $T{\mathcal {M}}$ $V$ $g$ $(\Delta f)g$

通常のポアソン括弧は、 M上の滑らかな関数の空間上でのみ定義されます。しかし、接続を用いて、Vテンソルの次数代数をファイバーとする代数バンドルを扱うことで、 $f$ の滑らかな切断の空間に拡張することができます。 $C^{\infty }(M)$

また、このポアソン括弧の下で（この「拡張ポアソン括弧」では一般には成り立たないことに注意）、 $f$ の零点部分多様体上でが成り立つと仮定する（これらの括弧がどこでも零となる場合、制約条件はシェルを閉じるという）。正しい可逆条件とフローの可換性条件は、接続の選択とは無関係であることがわかる。したがって、制限された部分空間のみを扱うのであれば、接続を省略することができる。 $\{f,f\}=0$ $\{g,g\}=0$ $\{f,H\}=0$

直感的な意味

これらは直感的に何を意味するのでしょうか？それは、ハミルトニアンと制約フローがすべて制約部分空間上で互いに可換であることを意味します。あるいは、制約部分空間上の点から出発した場合、ハミルトニアンと制約フローはすべて、その点を制約部分空間上の別の点に導くことを意味します。

制約付き部分空間のみに限定したいので、ハミルトニアン、あるいは他の物理的観測量は、その部分空間上でのみ定義されるべきである。同様に、制約付き部分空間（言い換えれば、 $f$ によって生成されるイデアルによる商代数）上で一致する、シンプレクティック多様体上の滑らかな関数の同値類を見ることもできる。

問題は、制約付き部分空間上のハミルトニアンフローはそのハミルトニアンの値ではなく、その勾配に依存することです。しかし、この問題には簡単な方法があります。

$f$ によって生成されるシンプレクティックフローの作用下にある制約部分空間の軌道を見てみましょう。これは積分可能性条件（フロベニウスの定理）を満たすため、部分空間の局所葉理を与えます。制約部分空間上の同じ軌道上にある2つの異なる点から出発し、制約部分空間上で一致する2つの異なるハミルトニアンの下でそれぞれ発展させると、それぞれのハミルトニアンフローの下での両点の時間発展は、常に同じ時間に同じ軌道上に存在することがわかります。また、少なくとも制約付き部分空間（つまり、物理的観測量）上の軌道上で一定である2 つの滑らかな関数A ₁およびB _{1 （つまり、制約付き部分空間上で {A}₁、f}={B ₁、f}=0）があり、もう 2 つの滑らかな関数 A ₂および B ₂も軌道上で一定であり、制約付き部分空間上で A ₁および B _{1がそれぞれ A}₂および B ₂と一致する場合、それらのポアソン括弧 {A ₁、 B ₁ } および {A ₂、 B ₂ } も軌道上で一定であり、制約付き部分空間上で一致することもわかります。

一般に、「エルゴード的」フロー（基本的には、軌道が何らかの開集合に稠密であることを意味する）や「準エルゴード的」フロー（軌道が、その軌道の次元よりも大きな次元を持つ何らかの部分多様体に稠密であることを意味する）を除外することはできない。自己交差する軌道は存在しない。

第一級制約のほとんどの「実用的な」応用では、そのような複雑さは見られません。fフローによる制限部分空間の商空間（言い換えれば、軌道空間）は、微分可能多様体として十分に振る舞い、Mのシンプレクティック形式を投影することでシンプレクティック多様体に変換できます（これは明確に定義できることが示せます）。前述の物理的観測量に関する観察を踏まえると、このより「物理的」でより小さなシンプレクティック多様体を扱うことができますが、次元は2n少なくなります。

一般に、商空間は具体的な計算を行う際に扱いにくいため（微分同相拘束条件を扱う際に非局所的であることは言うまでもありません）、通常は似たような処理が行われます。制限部分多様体は商多様体上の束（ただし、一般にファイバー束ではない）であることに注意してください。したがって、商多様体を扱う代わりに、束の切断を扱うことができます。これはゲージ固定と呼ばれます。

大きな問題は、この束が一般に大域的セクションを持たない可能性があることです。例えば、ここで大域的異常という「問題」が出てきます。大域的異常は、ゲージ固定がゲージを一意に固定できない場合に生じるグリボフの曖昧性とは異なります。大域的異常では、ゲージ場の一貫した定義が存在しません。大域的異常は、1980年にウィッテンによって発見された量子ゲージ理論を定義する上での障壁となっています。

これまで述べてきたのは、既約な第一級制約条件である。もう一つの複雑な点は、Δf が余次元1以上の制限部分多様体の部分空間上では右逆ではない可能性があることである（これは、本稿で前述したより強い仮定に反する）。これは、例えば一般相対論のコテトラッド定式化において、コテトラッド体と接続形式が空間のある開集合上でたまたまゼロとなる配置の部分空間で発生する。ここでの制約条件は、微分同相制約条件である。

これを回避する一つの方法は、次の通りです。簡約制約の場合、Δ f の右可逆性に関する条件を次のように緩和します。fの零点で消失する任意の滑らかな関数は、制約ベクトル空間Vの双対ベクトル空間である-ベクトル束の（一意ではない）滑らかなセクションを持つf のファイバー方向の縮約です。これは正則性条件と呼ばれます。 ${\bar {V}}$ ${\bar {V}}$

ラグランジアンゲージ理論による制約付きハミルトン力学

まず、作用は場の一次微分までしか依存しない局所ラグランジアンの積分であると仮定します。より一般的なケースの解析は可能ですが、より複雑です。ハミルトン形式に移行すると、制約条件があることに気づきます。作用形式においては、オンシェル構成とオフシェル構成があることを思い出してください。オフシェル構成を維持する制約条件は一次制約条件と呼ばれ、オンシェル構成のみを維持する制約条件は二次制約条件と呼ばれます。

例

計量gを持つ擬リーマン時空多様体 $S$ 内を運動する、内部自由度を持たない質量 $m$ の単一点粒子のダイナミクスを考える。粒子の軌道を記述するパラメータ $τは任意であると仮定する（すなわち、再$ パラメータ化不変性を仮定する）。すると、そのシンプレクティック空間は、標準シンプレクティック形式 $ωを持つ$ 余接束T*Sとなる。

T * S を、その基本多様体 $S$ 内の位置 $x$ と、その余接空間p内の位置で座標化すると、制約条件が成立する。

f = m ² − g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0 です。

驚くべきことに、ハミルトニアン $Hは$ $H$ = 0です。ハミルトニアンは制約付き部分空間で一致する滑らかな関数の同値類までしか定義されないという観察を踏まえると、代わりに新しいハミルトニアン $H$ '= $f$ を使用することができます。すると、ハミルトニアンが制約と同じになるという興味深いケースが得られます。詳しくはハミルトニアン制約を参照してください。

実単純リー代数 $L$ （負定値キリング形式 $η$ ）が実スカラー場 $σと極小結合している場合の$ ヤン・ミルズ理論を考える。これは、ミンコフスキー時空( $d$ − 1) + 1において、 $L$ の下の基底ベクトル空間 $V$ と直交表現 $ρ$ として変換される。L内の $l$ に対して $、$

ρ(l)[σ]

として

l[σ]

簡単のため、A を理論の $L$ 値接続形式とする。ここでのAは物理学者が用いるAとは $i$ と $g$ の係数だけ異なることに注意されたい。これは数学者の慣例に合致する。

作用 $S$ は次のように与えられる。

S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))

ここでgはミンコフスキー計量、Fは曲率形式である。

d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}

（ $i$ や $g$ はなし！）ここで2番目の項はリー括弧が交換子であると仮定するための正式な略記であり、 $D$ は共変微分である。

Dσ = dσ − A [σ]

α $は$ $ρ$ の直交形式です。

このモデルのハミルトン版とはどのようなものでしょうか？まず、Aを非共変的に時間成分 $φ$ と空間成分 A →に分割する必要があります。すると、結果として得られるシンプレクティック空間には、共役変数 $σ$ 、 $π σ$ （の双対表現であるの基底ベクトル空間に値を取る $）$ 、 A →、 π → _A、 φ、π _φが含まれます。各空間点に対して、 π _φ =0 という制約とガウス制約が与えられます。 ${\bar {\rho }}$

{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0

ここで $ρ$ は絡み合うものなので

\rho :L\otimes V\rightarrow V

、

$ρ$ ' は双対化された絡み合い子である

\rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L

（ $Lは$ $η$ を介して自己双対である）。ハミルトニアンは、

H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).

$最後の2項はガウス制約の線形結合であり、 f$ によってパラメータ化された（ゲージ等価な）ハミルトニアン族全体が得られます。実際、最後の3項は制約状態に対しては消えるため、省略することができます。

第二級制約

制約付きハミルトン系において、力学量は、少なくとも1つの制約条件を伴うポアソン括弧が非零である場合、第二種制約と呼ばれます。したがって、少なくとも1つの他の制約条件を伴う非零のポアソン括弧を持つ制約条件は、第二種制約条件と呼ばれます。

さまざまな図については、ディラック括弧を参照してください。

例: 球の中に閉じ込められた粒子

一般的な理論に進む前に、一般的な分析の根拠となる具体的な例を段階的に検討します。

質量 $m$ のニュートン粒子が、一様重力場 $g内の半径$ $R$ の球面に拘束されているという作用から始めましょう。ラグランジュ力学では、拘束条件を実装する方法はいくつかあります。拘束条件を明示的に解く一般化座標系に切り替える方法と、ラグランジュ乗数を使用しながら、拘束条件が課された冗長な座標系を維持する方法です。

この場合、粒子は球形に拘束されているため、自然な解決策としては、粒子の位置を直交座標ではなく角座標で記述し、その方法で（自動的に制約を解消して）解く（第一の選択肢）ことになります。教育上の理由から、代わりに（冗長な）直交座標で問題を考え、ラグランジュ乗数項によって制約を強制します。

アクションは次のように与えられます

S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]

ここで最後の項は制約を強制するラグランジュ乗数項です。

もちろん、前述のように、異なる冗長性のない球面座標を使用して次のように記述することもできます。

S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]

代わりに、追加の制約はありません。ただし、制約を説明するために前者の調整を検討しています。

共役運動量は次のように与えられる。

p_{x}=m{\dot {x}}

、、、、。

p_{y}=m{\dot {y}}

p_{z}=m{\dot {z}}

p_{\lambda }=0

決定できないことに注意してください $• λ$ 勢いから。

ハミルトニアンは次のように与えられる。

H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})

。

排除することはできない •λ まだこの段階ではありません。私たちはここで治療を行っています •λシンプレクティック空間の関数の省略形として定義され、独立変数として定義されるわけではない。表記の一貫性を保つため、 $u$ $1$ $=と定義する。$ $• λ$ これからは、pλ項を含む上記のハミルトニアンが $「素朴$ ハミルトニアン」です。ただし、オンシェルでは制約が満たされる必要があるため、オンシェルでは素朴ハミルトニアンと上記の未定係数を含むハミルトニアンを区別することはできません。 $• λ = u 1$ 。

私たちには主要な制約がある

pλ = 0

。

整合性の根拠として、ハミルトニアンを含むすべての制約条件のポアソン括弧が制約付き部分空間でゼロになることを要求する。言い換えれば、制約条件が運動方程式に沿って常にゼロとなるためには、制約条件は時間とともに変化してはならない。

この一貫性条件から、二次制約が直ちに得られる。

${\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}$

$この制約は、未定の（必ずしも定数ではない）係数u$ 2を持つハミルトニアンに追加され_、ハミルトニアンは次のように拡大される。

H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.

同様に、この二次制約から三次制約が導かれる。

${\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}$

繰り返しますが、この制約をハミルトニアンに加える必要があります。なぜなら、シェル上では誰も違いを区別できないからです。したがって、これまでのところ、ハミルトニアンは次のようになります。

H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,

ここで $、 u$ ₁、 $u$ ₂、および $u$ ₃はまだ完全に未定です。

多くの場合、一貫性条件から見つかるすべての制約は二次制約と呼ばれ、二次制約、三次制約、四次制約などは区別されないことに注意してください。

我々はクランクを回し続けて、この新しい制約がポアソン括弧を消滅させることを要求します

0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.

私たちは絶望して、これには終わりがないと思うかもしれませんが、新しいラグランジュ乗数の 1 つが現れたため、これは新しい制約ではなく、ラグランジュ乗数を固定する条件です。

u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).

これをハミルトニアンに代入すると（少し代数計算した後）

$H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}$

ハミルトニアンに新しい項が加わったので、主制約と副制約の整合性条件を確認する必要があります。副制約の整合性条件は次のようになります。

{\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.

繰り返しますが、これは新しい制約ではありません。

u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.

この時点では、チェックする制約や一貫性の条件はもうありません。

すべてをまとめると、

H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }

。

運動方程式を求める際には、上記のハミルトニアンを用いるべきであり、ポアソン括弧内で微分を取る前に制約条件を決して用いないように注意すれば、正しい運動方程式が得られる。つまり、運動方程式は次のように与えられる。

{\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.

ハミルトニアンを分析する前に、3つの制約を考慮する。

\varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.

制約条件の非自明なポアソン括弧構造に注目してください。特に、

\{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.

上記のポアソン括弧は、オフシェルでは（予想通り）ゼロにならないだけでなく、オンシェルでも非ゼロです。したがって、 $φ$ $2$ と $φ$ $3$ は第二種制約であり、 $φ$ $1$ は第一種制約です。これらの制約は正則性条件を満たすことに注意してください。

ここでは、制約付き部分空間においてポアソン括弧が「良い性質」を持たないシンプレクティック空間が存在します。しかし、ディラックは、シンプレクティック空間の基礎となる微分多様体を、彼の名を冠した修正括弧（ディラック括弧）を用いてポアソン多様体に変換できることに気付きました。このディラック括弧は、任意の第二種制約を持つ任意の（滑らかな）関数に対して常にゼロになります。

実質的には、これらの括弧（ディラック括弧の記事でこの球面について図示されている）は、系を制約面上に投影し直す。この系を正準量子化したい場合、正準ポアソン括弧を交換関係に昇格させるのではなく、正準ディラック括弧^[4] を昇格させる必要がある。

上記のハミルトニアンを検証すると、いくつかの興味深い事象が起こっていることがわかります。注目すべき点の一つは、オンシェルにおいて制約条件が満たされている場合、拡張ハミルトニアンは要求どおりにナイーブハミルトニアンと同一であるということです。また、拡張ハミルトニアンからλが抜け落ちていることにも注意してください $。φ$ 1 は第一級の一次制約条件であるため $、$ $ゲージ$ 変換の生成元として解釈する必要があります。ゲージ自由度とは、粒子のダイナミクスに影響を与えなくなった $λ$ を選択する自由です。したがって、ハミルトニアンから $λが抜け落ちていること、$ $u$ ₁が未定であること、そして $φ$ $1$ = p _λが第一級であることは、すべて密接に関連しています。

ラグランジュ乗数を持つラグランジアンから始めるのではなく、 $r² - R² を$ 主要な制約として取り、形式論を進める方が自然であることに注意されたい。その結果、余分な力学的量 $λ$ が除去される。しかし、この例は現在の形の方がより分かりやすい。

例: Procaアクション

もう一つの例として、 Procaアクションを使用します。フィールドは、アクションは $A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )$

S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]

どこ

{\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}

そして

B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}

。

$({\vec {A}},-{\vec {E}})$ およびは標準変数である。第2クラスの制約は $(\phi ,\pi )$

\pi \approx 0

そして

\nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0

。

ハミルトニアンは次のように与えられる。

H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]

。

参照

参考文献

^ Ingemar Bengtsson. 「制約付きハミルトニアン系」(PDF) . ストックホルム大学. 2018年5月29日閲覧.ラグランジアンから出発して正準運動量を導出し、単純なポアソン括弧を仮定し、ハミルトニアンを計算する。簡単のため、第二種制約は発生しないものと仮定する。発生するとしても、既に対処済みであり、単純な括弧はディラック括弧に置き換えられていると仮定する。残る制約は [...] $L(q,{\dot {q}}),$
^ ディラック、ポール AM (1950)、「一般化ハミルトン力学」、カナダ数学ジャーナル、2 : 129–148、doi : 10.4153/CJM-1950-012-1、ISSN 0008-414X、MR 0043724、S2CID 119748805
^ ディラック、ポール・AM（1964年）、量子力学講義、ベルファー大学院理学研究科モノグラフシリーズ、第2巻、ベルファー大学院理学研究科、ニューヨーク、ISBN 9780486417134、MR 2220894 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help). 原著の完全版再版、Dover Publications、ニューヨーク、NY、2001年。
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さらに読む

Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). 「制約付き非線形システムのディラックブラケット量子化：剛体回転子」. European Journal of Physics . 4 (1): 5– 9. Bibcode :1983EJPh....4....5F. doi :10.1088/0143-0807/4/1/003. S2CID 250845310.
本間剛志; 稲本剛志; 宮崎剛志 (1990). 「曲面空間における超曲面上に拘束された非相対論的粒子に対するシュレーディンガー方程式」. Physical Review D. 42 ( 6): 2049– 2056. Bibcode :1990PhRvD..42.2049H. doi :10.1103/PhysRevD.42.2049. PMID 10013054.

[FysikSuSePDF-1] Ingemar Bengtsson. 「制約付きハミルトニアン系」(PDF) . ストックホルム大学. 2018年5月29日閲覧.ラグランジアンから出発して正準運動量を導出し、単純なポアソン括弧を仮定し、ハミルトニアンを計算する。簡単のため、第二種制約は発生しないものと仮定する。発生するとしても、既に対処済みであり、単純な括弧はディラック括弧に置き換えられていると仮定する。残る制約は [...] $L(q,{\dot {q}}),$

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[3] ディラック、ポール・AM（1964年）、量子力学講義、ベルファー大学院理学研究科モノグラフシリーズ、第2巻、ベルファー大学院理学研究科、ニューヨーク、ISBN 9780486417134、MR 2220894 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help). 原著の完全版再版、Dover Publications、ニューヨーク、NY、2001年。

[4] Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). 「超対称σ模型における非局所電荷」. Physics Letters B. 88 ( 3–4 ) : 273. Bibcode :1979PhLB...88..273C. doi :10.1016/0370-2693(79)90465-9.