断面曲率

Description in Riemannian geometry

リーマン幾何学において、断面曲率はリーマン多様体の曲率を記述する方法の1つである。断面曲率K ( σ _p )は、多様体の点pにおける接空間の2次元線型部分空間 σ _pに依存する。これは、 pを σ _pの方向に始点とする測地線（つまり、 p における指数写像による σ p の像）から得られる、 p における接平面として平面 σ pを_持つ曲面のガウス曲率_として幾何学的に定義できる。断面曲率は、多様体上の2-グラスマン束上の実数値関数である。

断面曲率はリーマン曲率テンソルを完全に決定します。

意味

リーマン多様体と、同じ点における2つの線型独立な 接ベクトルuとvが与えられれば、次のように定義できる。

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

ここでR はリーマン曲率テンソルであり、ここでは⁠ ⁠ という ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w}$慣例に従って定義されます。一部の文献では逆の慣例が用いられており、その場合はK ( u , v ) は^[1]ではなく分子内で⁠ ⁠ ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w}$で定義されます。 ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

uとvの線形独立性により、上記の式の分母は非ゼロとなり、K ( u , v )は明確に定義される。特に、uとvが直交する場合には、定義は次のような単純な形をとる。

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

が線型独立で、接空間の⁠ ⁠と同じ2次元線型部分空間を張る場合、 ⁠ ⁠ となることは簡単に確認できます。したがって、断面曲率は、接空間の2次元線型部分空間を入力とする実数値関数と考えることができます。 ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y)}$

代替定義

あるいは、断面曲率は小さな円の円周によって特徴付けられる。 を⁠ ⁠内の2次元平面とする。が十分に小さい場合、⁠ ⁠内の単位円の指数写像の下の像を表し、を⁠ ⁠の長さとする。すると、次の式が証明される。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l_{P}(r)}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$

${\displaystyle l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle r\to 0}$として、ある数⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P)}$に対して成り立つ。この数⁠ ⁠ は⁠ ⁠における⁠ ⁠の断面曲率である。^[2] ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

断面曲率が一定な多様体

リーマン多様体は、すべての 2 次元線形部分空間およびすべての に対して「定曲率⁠ ⁠ ${\displaystyle \kappa }$」を持つと言われています。 ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$

シュアーの補題は、( M、g )が少なくとも 3 次元の連結リーマン多様体であり、すべての 2 次元線形部分空間とすべての⁠ ⁠に対してとなるような関数がある場合、 f は定数でなければならず、したがって( M 、 g )は一定の曲率を持つと述べています。 ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$

断面曲率が一定であるリーマン多様体は空間形式と呼ばれる。断面曲率の定数を とすると、曲率テンソルは次のように書ける。 ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

任意の⁠ ⁠ ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M}$について。

証拠

簡単に言うと、1つの分極引数は の式を与え、2番目の（等価な）分極引数は の式を与え、最初のビアンキ恒等式と組み合わせると の式が得られる。 ${\displaystyle R(u,v)v,}$ ${\displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v,}$ ${\displaystyle R(u,v)w.}$ 断面曲率の定義から、が線型独立な場合、両辺がゼロとなるため、線型従属関係にある場合にも容易に拡張できることがわかります。さて、任意のu、v、wが与えられた場合、 2つの方法で計算します。まず、上記の式に従うと、 ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle =\kappa \left(|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}\right)}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \langle R(u+w,v)v,u+w\rangle }$ ${\displaystyle \kappa \left(|v|^{2}\left(|u|^{2}+|w|^{2}+2\langle u,w\rangle \right)-\langle u,v\rangle ^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}-2\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle \right).}$ 第二に、多重線形性により、 ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle +\langle R(w,v)v,w\rangle +\langle R(u,v)v,w\rangle +\langle R(w,v)v,u\rangle ,}$ これはリーマン対称性を思い出すと次のように簡略化できる。 ${\displaystyle \langle R(u,v)v,w\rangle =\langle R(w,v)v,u\rangle ,}$ ${\displaystyle \kappa {\Big (}|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}{\Big )}+\kappa {\Big (}|w|^{2}|v|^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}{\Big )}+2\langle R(u,v)v,w\rangle .}$ これら2つの計算を等しくし、項を消去すると、 ${\displaystyle \langle R(u,v)v,w\rangle =\kappa {\Big (}|v|^{2}\langle u,w\rangle -\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle {\Big )}.}$ wは任意なので、 ${\displaystyle R(u,v)v=\kappa {\Big (}|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v{\Big )}}$ 任意のu,vに対して。ここでu,v,wを任意の値とし、2通りの計算方法を用いる。まず、この新しい式を用いると、 ${\displaystyle R(u,v+w)(v+w)}$ ${\displaystyle \kappa \left(\left(|v|^{2}+|w|^{2}+2\langle v,w\rangle \right)u-\langle u,v\rangle v-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w-\langle u,w\rangle w\right).}$ 第二に、多重線形性により、これは新しい公式により等しい ${\displaystyle R(u,v)v+R(u,w)w+R(u,v)w+R(u,w)v}$ ${\displaystyle \kappa \left(|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v\right)+\kappa \left(|w|^{2}u-\langle u,w\rangle w\right)+R(u,v)w+R(u,w)v.}$ これら2つの計算を等しくすると、 ${\displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w\right).}$ とを入れ替え、これをビアンキ恒等式に加えると ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle R(v,u)w+R(u,w)v+R(w,v)u=0}$ ${\displaystyle 2R(v,u)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle u,w\rangle v-\langle v,w\rangle u-\langle u,v\rangle w\right).}$ これらの2つの式を対称性を利用して引き算すると、 ${\displaystyle R(u,v)w=-R(v,u)w,}$ ${\displaystyle 3R(u,v)w=3\kappa \left(\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v\right).}$

任意のリーマン計量はレヴィ・チヴィタ接続に関して平行であるため、任意の定曲率空間のリーマンテンソルも平行であることが示される。リッチテンソルはで与え​​られ、スカラー曲率はで与えられる。特に、任意の定曲率空間はアインシュタインであり、定スカラー曲率を持つ。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$

モデル例

正の数を定義 ${\displaystyle a,}$

• ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$標準的なリーマン構造となる
• ${\displaystyle \left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)}$標準的なリーマン構造の包含写像によって与えられた球面である ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle \left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)}$ボールになる ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.}$

通常の用語では、これらのリーマン多様体はユークリッド空間、n球面、双曲空間と呼ばれます。ここで重要なのは、それぞれが定曲率を持つ完備連結な滑らかなリーマン多様体であるということです。正確には、リーマン計量は定曲率0、リーマン計量は定曲率⁠ ⁠、リーマン計量は定曲率⁠ ⁠です。 ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle 1/a^{2}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ ${\displaystyle -1/a^{2}}$

さらに、が滑らかで連結かつ単連結な定曲率の完全リーマン多様体である場合、それは上記の例の 1 つと等長であり、特定の例は上記の例の定曲率に従って の定曲率の値によって決定されるという意味で、これらは「普遍的な」例です。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g,}$

が定曲率を持つ滑らかで連結な完全リーマン多様体であるが、単連結であるとは仮定されていない場合、引き戻しリーマン計量⁠ ⁠を持つ普遍被覆空間を考えます。は位相原理により被覆写像であるため、リーマン多様体は⁠ ⁠に局所的に等長であり、したがって⁠ ⁠と同じ定曲率を持つ滑らかで連結な単連結な完全リーマン多様体です。したがって、上記のモデル例の等長の1つである必要があります。普遍被覆のデッキ変換は計量⁠ ⁠に対して等長変換であることに注意してください。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g}$

一定の負の曲率を持つリーマン多様体の研究は双曲幾何学と呼ばれます。

スケーリング

を滑らかな多様体とし、を正の数とする。リーマン多様体⁠ ⁠を考える。曲率テンソルは多重線型写像として、この修正によって変化しない。⁠ ⁠において線型独立なベクトルとする。すると ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (M,\lambda g)}$ ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

したがって、メトリックに を掛けると、すべての断面曲率が⁠ ⁠で掛けられます。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$

トポノゴフの定理

トポノゴフの定理は、ユークリッド三角形と比較して測地三角形がいかに「太い」ように見えるかという観点から、断面曲率を特徴づけるものである。基本的な直感は、空間が正に曲がっている場合、ある頂点に対向する三角形の辺はその頂点から離れる方向に曲がる傾向があるのに対し、空間が負に曲がっている場合、三角形の反対側の辺はその頂点に近づく方向に曲がる傾向がある、というものである。

より正確には、Mを完備リーマン多様体とし、xyzをM内の測地線三角形（各辺が長さ最小の測地線である三角形）とする。最後に、mを測地線xyの中点とする。Mが非負の曲率を持つ場合、十分に小さい三角形すべてに対して

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

ここで、dはM上の距離関数である。等式はMの曲率がゼロのときに成立し、右辺はユークリッド空間における測地三角形（三角形xyzと同じ辺の長さを持つ）の頂点から反対側の辺までの距離を表す。これは、正の曲率を持つ空間において三角形が「太い」という意味を明確に示している。正の曲率を持たない空間では、不等式は逆になる。

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

断面曲率のより厳密な境界が既知であれば、この性質は一般化され、M内の測地三角形と適切な単連結空間形式内の測地三角形との比較定理を与える。トポノゴフの定理を参照のこと。ここで述べたバージョンから得られる単純な帰結は以下の通りである。

• 完全リーマン多様体は、関数がすべての点pに対して1-凹である場合にのみ、非負の断面曲率を持ちます。 ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$
• 完全単連結リーマン多様体は、関数が 1-凸である場合に限り、非正の断面曲率を持ちます。 ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$

非正の断面曲率を持つ多様体

1928 年、エリー・カルタンはカルタン・アダマールの定理を証明しました。すなわち、M が非正の断面曲率を持つ完備多様体である場合、その普遍被覆はユークリッド空間に微分同相であるということです。特に、それは非球面であり、i ≥ 2のホモトピー群は自明です。したがって、完備な非正曲率多様体の位相構造はその基本群によって決まります。プライスマンの定理は、負に曲がったコンパクト多様体の基本群を制限します。カルタン・アダマール予想は、古典的な等周不等式がカルタン・アダマール多様体と呼ばれる非正曲率の単連結空間すべてで成り立つことを述べています。 ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$

正の断面曲率を持つ多様体

正曲面多様体の構造についてはほとんど知られていない。魂定理（Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969）は、完備な非コンパクト非負曲面多様体は、コンパクト非負曲面多様体上の正規束と微分同相であることを意味する。コンパクト正曲面多様体に関しては、2つの古典的な結果がある。

• マイヤーズの定理から、そのような多様体の基本群は有限であることが分かります。
• シングの定理から、偶数次元におけるそのような多様体の基本群は、向き付け可能であれば0であり、そうでない場合は0であることが分かる。奇数次元においては、正に曲がった多様体は常に向き付け可能である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

さらに、コンパクトな正曲面多様体の例は比較的少なく、多くの推測が残されています（例えば、⁠ ⁠に正の断面曲率の計量があるかどうかに関するホップ予想）。新しい例を構築する最も一般的な方法は、オニール曲率公式からの次の系です。 がリー群 G の自由等長作用を許容するリーマン多様体であり、M が G の軌道に直交するすべての 2 次元平面で正の断面曲率を持つ場合、商計量を持つ多様体は正の断面曲率を持ちます。この事実により、球面と射影空間である古典的な正曲面空間、およびこれらの例を構築できます（Ziller 2007）。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M/G}$

• ベルガー空間と⁠ ⁠。 ${\displaystyle B^{7}=\operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (3)}$ ${\displaystyle B^{13}=\operatorname {SU} (5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$
• ウォラック空間（または同次旗多様体）：、および。 ${\displaystyle W^{6}=\operatorname {SU} (3)/T^{2}}$ ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$
• Aloff-Wallach空間。 ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$
• エッシェンブルクの空間 ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash \operatorname {SU} (3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• バザイキン空間、ここで。 ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash \operatorname {U} (5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {SU} (4)}$

非負の断面曲率を持つ多様体

CheegerとGromollは、任意の非負曲面完備非コンパクト多様体には、 ⁠ ⁠の正規バンドルに微分同相となるような全凸コンパクト部分多様体が存在するという、彼らの魂定理を証明しました。このような ⁠ ⁠ は⁠ ⁠の魂と呼ばれます。特に、この定理は、 がその魂に同相であり、その魂の次元が ⁠ ⁠ より小さいことを意味します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

参照

• リーマン曲率テンソル
• リーマン多様体の曲率
• 曲率
• 正則断面曲率

参考文献

1. Gallot、Hulin、Lafontaine 2004、セクション 3.A.2。
2. Gallot、Hulin、Lafontaine 2004、セクション 3.D.4。

• チーガー, ジェフ;エビン, デイビッド G. (2008).リーマン幾何学における比較定理（1975年初版の改訂復刻版）. プロビデンス, ロードアイランド州: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. MR  2394158. Zbl  1142.53003.
• チーガー、ジェフ; グロモル、デトレフ (1972)、「非負曲率の完全多様体の構造について」、Annals of Mathematics、第2集、96 (3)、Annals of Mathematics: 413– 443、doi :10.2307/1970819、JSTOR  1970819、MR  0309010。
• シルベストル・ガロット; Hulin, ドミニク;ラフォンテーヌ、ジャック (2004)。リーマン幾何学。ユニバーシテキスト (第 3 版)。スプリンガー・フェルラーグ。土井：10.1007/978-3-642-18855-8。ISBN 3-540-20493-8. MR  2088027. Zbl  1068.53001.
• グロモル、デトレフ; マイヤー、ヴォルフガング (1969)、「正曲率の完全開多様体について」、Annals of Mathematics、第2集、90 (1)、Annals of Mathematics: 75– 90、doi :10.2307/1970682、JSTOR  1970682、MR  0247590、S2CID  122543838。
• ミルナー, J. (1963).モース理論. Annals of Mathematics Studies. 第51巻. プリンストン, ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. MR  0163331. Zbl  0108.10401.
• オニール、バレット(1983).半リーマン幾何学と相対論への応用. 純粋・応用数学. 第103巻. ニューヨーク:アカデミック・プレス. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. MR  0719023. Zbl  0531.53051.
• ピーターセン、ピーター (2016).リーマン幾何学.大学院数学テキスト. 第171巻（1998年初版第3版）. Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Ziller, Wolfgang (2007). 「非負の断面曲率を持つ多様体の例」Cheeger, Jeffrey ; Grove, Karsten (編).計量幾何学と比較幾何学. 微分幾何学概論 第11巻. マサチューセッツ州サマービル: インターナショナル・プレス. pp.  63– 102. arXiv : math/0701389 . doi : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN 978-1-57146-117-9. MR  2408264. Zbl  1153.53033.

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