Concept in algebraic geometry mathematics
数学 の一分野である代数幾何 学 において 、 セール双対性 は 代数多様体の 連接層コホモロジー の 双対性であり、 ジャン＝ピエール・セール によって証明された。基本版は 滑らかな射影多様体上の ベクトル束に適用されるが、 アレクサンダー・グロタンディークは 、例えば特異多様体など、幅広い一般化を見出した。 n 次元多様体上では、この定理によれば、コホモロジー群は 別のコホモロジー群の 双対空間 となる。セール双対性は、 位相幾何学における ポアンカレ双対性 の連接層コホモロジーに対する類似物であり、 方向層が 標準直線束 に置き換えられている 。 H i {\displaystyle H^{i}} H n − i {\displaystyle H^{n-i}}
セール双対定理は、より一般的には 複素幾何学 においても、必ずしも 射影 複素代数 多様体ではないコンパクト 複素多様体に対しても成立する。この設定において、セール双対定理は ドルボー・コホモロジー に対する ホッジ理論 の応用であり、 楕円作用素 の理論の結果として見ることができる 。
セール双対性のこれら 2 つの異なる解釈は、層コホモロジーおよびドルボコホモロジーに関する ドルボの定理 を適用することにより、非特異射影複素代数多様体に対して一致する。
ベクトル束のセール双対性
代数定理 X を 体 k上の n 次元の 滑らかな多様体 とする 。X 上 の n 形式 の束、 すなわち余 接束 の上の外部冪を 標準直線束 と定義する。 K X {\displaystyle K_{X}}
K X = Ω X n = ⋀ n ( T ∗ X ) . {\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).} さらに、 X が k 上真 （例えば 射影的 ）であるとする 。このとき、セール双対性は次のように述べる： X 上の 代数的ベクトル束 E と整数 i に対して、自然同型が存在する：
H i ( X , E ) ≅ H n − i ( X , K X ⊗ E ∗ ) ∗ {\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }} 有限次元 k ベクトル空間の。ここでベクトル束の テンソル積 を表す 。したがって、2つのコホモロジー群の次元は等しい。 ⊗ {\displaystyle \otimes }
h i ( X , E ) = h n − i ( X , K X ⊗ E ∗ ) . {\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).} ポアンカレ双対性と同様に、セール双対性における同型性は、層コホモロジーにおける カップ積 から生じます。つまり、カップ積と の自然な トレース写像 との合成は、 完全な対に なります 。 H n ( X , K X ) {\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}
H i ( X , E ) × H n − i ( X , K X ⊗ E ∗ ) → H n ( X , K X ) → k . {\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.} トレースマップは、 ド・ラームコホモロジー における積分のコヒーレント層コホモロジーの類似物である。 [1]
微分幾何学定理 セールは、コンパクト 複素多様体 X と 正則 ベクトル束 E に対しても、同じ双対性を証明した 。 [2]ここで、セールの双対性定理は ホッジ理論 の帰結である。すなわち、 リーマン計量 を備えた コンパクト複素多様体上には、 ホッジスター作用素 が存在する 。 X {\displaystyle X}
⋆ : Ω p ( X ) → Ω 2 n − p ( X ) , {\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),} ここで である 。さらに、 は複素数であるため、 複素微分形式 は型の形式に 分割される 。ホッジスター作用素（複素線形から複素数値微分形式に拡張されたもの）は、この次数付けと次のように相互作用する。 dim C X = n {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n} X {\displaystyle X} ( p , q ) {\displaystyle (p,q)}
⋆ : Ω p , q ( X ) → Ω n − q , n − p ( X ) . {\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).} 正則指数と反正則指数が入れ替わっていることに注意してください。複素微分形式には、型 とを入れ替える共役関係があり、 共役線型ホッジスター作用素 を で定義すると、次 のように なります。 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} ( q , p ) {\displaystyle (q,p)} ⋆ ¯ ω = ⋆ ω ¯ {\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}
⋆ ¯ : Ω p , q ( X ) → Ω n − p , n − q ( X ) . {\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).} 共役線形ホッジスターを使用して、 複素微分形式上の エルミート内積を次のように定義できます。 L 2 {\displaystyle L^{2}}
⟨ α , β ⟩ L 2 = ∫ X α ∧ ⋆ ¯ β , {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,} ここで、 は -形式、特に複素数値 -形式であり、したがってその標準的な 向き に関して 上で積分できる 。さらに、 は エルミート正則ベクトル束であるとする。すると、エルミート計量は とその 双対ベクトル束 （例えば） の間に 共役線形同型を与える 。 を定義すると 、同型が得られる。 α ∧ ⋆ ¯ β {\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta } ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 2 n {\displaystyle 2n} X {\displaystyle X} ( E , h ) {\displaystyle (E,h)} h {\displaystyle h} E ≅ E ∗ {\displaystyle E\cong E^{*}} E {\displaystyle E} τ : E → E ∗ {\displaystyle \tau :E\to E^{*}} ⋆ ¯ E ( ω ⊗ s ) = ⋆ ¯ ω ⊗ τ ( s ) {\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}
⋆ ¯ E : Ω p , q ( X , E ) → Ω n − p , n − q ( X , E ∗ ) {\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})} ここで、は滑らかな - 値複素微分形式 から成ります。 と によって与えられる とのペアリングを用いて 、このような - 値形式上のエルミート - 内積を 次のように定義できます。 Ω p , q ( X , E ) = Ω p , q ( X ) ⊗ Γ ( E ) {\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)} E {\displaystyle E} E {\displaystyle E} E ∗ {\displaystyle E^{*}} τ {\displaystyle \tau } h {\displaystyle h} L 2 {\displaystyle L^{2}} E {\displaystyle E}
⟨ α , β ⟩ L 2 = ∫ X α ∧ h ⋆ ¯ E β , {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,} ここで は微分形式のウェッジ積を意味し、 と の間のペアリングを使用して によって与えられます 。 ∧ h {\displaystyle \wedge _{h}} E {\displaystyle E} E ∗ {\displaystyle E^{*}} h {\displaystyle h}
ドルボーコホモロジーのホッジ定理は 、 次のように定義される。
Δ ∂ ¯ E = ∂ ¯ E ∗ ∂ ¯ E + ∂ ¯ E ∂ ¯ E ∗ {\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}} ここで は の ドルボー演算子 であり 、 は内積に関するその正式な随伴演算子である場合、次のようになります。 ∂ ¯ E {\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}} E {\displaystyle E} ∂ ¯ E ∗ {\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}
H p , q ( X , E ) ≅ H Δ ∂ ¯ E p , q ( X ) . {\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).} 左側はドルボホモロジーであり、右側は次のように定義される 調和 値微分形式 E {\displaystyle E} のベクトル空間です。
H Δ ∂ ¯ E p , q ( X ) = { α ∈ Ω p , q ( X , E ) ∣ Δ ∂ ¯ E ( α ) = 0 } . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.} この記述を用いると、セールの双対定理は次のように述べることができる: 同型性は 複素線型同型性を誘導する: ⋆ ¯ E {\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}
H p , q ( X , E ) ≅ H n − p , n − q ( X , E ∗ ) ∗ . {\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.} これは上記のホッジ理論を用いて簡単に証明できます。つまり、 が のコホモロジー類で、 が唯一の調和代表であるとき 、次の式が成り立ちます。 [ α ] {\displaystyle [\alpha ]} H p , q ( X , E ) {\displaystyle H^{p,q}(X,E)} α ∈ H Δ ∂ ¯ E p , q ( X ) {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}
( α , ⋆ ¯ E α ) = ⟨ α , α ⟩ L 2 ≥ 0 {\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0} となるのは の場合のみである 。特に、複素線形対は次のようになる。 α = 0 {\displaystyle \alpha =0}
( α , β ) = ∫ X α ∧ h β {\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta } と の間は 非 退化 であり 、セールの双対定理における同型性を誘導します。 H Δ ∂ ¯ E p , q ( X ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)} H Δ ∂ ¯ E ∗ n − p , n − q ( X ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}
代数的設定におけるセール双対性の記述は、 を取り 、 次のように述べる ドルボーの定理を適用することによって復元できます。 p = 0 {\displaystyle p=0}
H p , q ( X , E ) ≅ H q ( X , Ω p ⊗ E ) {\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)} ここで、左側はドルボホモロジー、右側は層コホモロジーであり、ここで は 正則 -形式の層を表す 。特に、次式を得る。 Ω p {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}} ( p , 0 ) {\displaystyle (p,0)}
H q ( X , E ) ≅ H 0 , q ( X , E ) ≅ H n , n − q ( X , E ∗ ) ∗ ≅ H n − q ( X , K X ⊗ E ∗ ) ∗ {\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}} ここで、正則形式 の層は の 標準バンドル そのものであることを利用しました 。 ( n , 0 ) {\displaystyle (n,0)} X {\displaystyle X}
代数曲線 セール双対性の基本的な応用は 代数曲線 である。（ 複素数 上では、 コンパクト・リーマン面 を 考えるのと同値である。）体 k 上の滑らかな射影曲線 X 上の直線束 L に対して、唯一の非零コホモロジー群はと である。セール双対性は 、（異なる直線束に対する）群 を用いて群を 記述する。 [3] これはより具体的である。 直線束 は単にその切断空間であるからである。 H 0 ( X , L ) {\displaystyle H^{0}(X,L)} H 1 ( X , L ) {\displaystyle H^{1}(X,L)} H 1 {\displaystyle H^{1}} H 0 {\displaystyle H^{0}} H 0 {\displaystyle H^{0}}
セール双対性は、曲線のリーマン・ロッホの定理 に特に関連しています 。 種数 g の 曲線 X上の次数 d の直線束 L に対して、リーマン・ロッホの定理は次のことを述べています。
h 0 ( X , L ) − h 1 ( X , L ) = d − g + 1. {\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.} セール双対性を使用すると、これをより基本的な言葉で言い換えることができます。
h 0 ( X , L ) − h 0 ( X , K X ⊗ L ∗ ) = d − g + 1. {\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.} 後者の定理（ 因子 を用いて表現）は、実際には19世紀の定理の原型です。これは、与えられた曲線が 射影空間 にどのように埋め込まれるかを分析し、ひいては代数曲線を分類するために用いられる主要なツールです。
例: 負の次数を持つ直線束のすべての大域切断はゼロです。さらに、標準束の次数は です。したがって、リーマン・ロッホの法則によれば、 次数 の 直線束 L に対して、 は に等しいことがわかります 。種数 g が少なくとも 2 のとき、セール双対性により が成り立ちます 。ここでは X の 一次 変形空間 です。これは、種数 gの 曲線のモジュライ空間が 次元を持つ ことを示すために必要な基本計算です 。 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2} d > 2 g − 2 {\displaystyle d>2g-2} h 0 ( X , L ) {\displaystyle h^{0}(X,L)} d − g + 1 {\displaystyle d-g+1} h 1 ( X , T X ) = h 0 ( X , K X ⊗ 2 ) = 3 g − 3 {\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3} H 1 ( X , T X ) {\displaystyle H^{1}(X,TX)} 3 g − 3 {\displaystyle 3g-3}
連接層に対するセール双対性 セール双対性の別の定式化は、ベクトル束だけでなく、すべての 連接層 に対して成立する。セール双対性の一般化の第一歩として、グロタンディークはこのバージョンが滑らかなスキームだけでなく、緩やかな 特異点を持つ スキーム、 すなわちコーエン・マコーレースキーム にも適用できることを示した。
すなわち、体 k 上の純粋次元 n のコーエン・マコーレースキーム X に対して、グロタンディークは X 上の 連接層 と呼ばれる双対層 を定義した 。（一部の著者はこの層を と呼ぶ 。）さらに、 X が k 上真 であるとする。X 上の 連接層 E と整数 i に対して、セール双対性によれば、自然同型が存在する。 ω X {\displaystyle \omega _{X}} K X {\displaystyle K_{X}}
Ext X i ( E , ω X ) ≅ H n − i ( X , E ) ∗ {\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}} 有限次元 k ベクトル空間の [4] 。ここで、 Ext群は -加群 の アーベル圏 にとられる。これは、 E がベクトル束の とき 、が と同型である ため、前の記述を含む。 O X {\displaystyle O_{X}} Ext X i ( E , ω X ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})} H i ( X , E ∗ ⊗ ω X ) {\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}
この結果を用いるには、少なくとも特殊なケースにおいては、双対化層を明示的に決定する必要がある。X が k 上滑らかな場合 、 は 上 で定義した 標準直線束である 。より一般的には、 Xが k 上 滑らかなスキーム Yにおける 余次元 r のコーエン・マコーレー部分スキームである場合、双対化層は Ext 層 として記述できる 。 [5] ω X {\displaystyle \omega _{X}} K X {\displaystyle K_{X}}
ω X ≅ E x t O Y r ( O X , K Y ) . {\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).} X が 滑らかなスキーム Yにおける余次元 r の 局所完全交差 である 場合 、より基本的な記述が存在する。Y における X の正規バンドルは ランク r の ベクトル バンドルであり 、 X の双対層は次のように与えられる: [6]
ω X ≅ K Y | X ⊗ ⋀ r ( N X / Y ) . {\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).} この場合、 X は線束を持つ Cohen–Macaulay スキームであり、 X は Gorenstein で あることがわかります。 ω X {\displaystyle \omega _{X}}
例: X を 体 k 上の射影空間における 完全交差 とし、 次数 の 斉次多項式によって定義されるものと する。(これが完全交差であるということは、 X が 次元 を持つことを意味する。) 整数 dに対して、 O ( d ) 上の 直線束が存在し、次数 dの斉次多項式は O ( d )の切断と見なせる という性質を持つ。このとき、 X の双対層 は直線束である。 P n {\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}} f 1 , … , f r {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}} d 1 , … , d r {\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}} n − r {\displaystyle n-r} P n {\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}
ω X = O ( d 1 + ⋯ + d r − n − 1 ) | X , {\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},} 随伴公式 によって 表される。例えば、次数 d の平面曲線 X の双対層は である 。 O ( d − 3 ) | X {\displaystyle O(d-3)|_{X}}
カラビ・ヤウの 3 倍の複素係数 特に、カラビ・ヤウ多様体 における五次三次多様体に対して 、複素変形の数は に等しいことを、セール双対性を用いて計算できます。カラビ・ヤウの性質は を保証するので、セール双対性は、ホッジダイヤモンドにおいて 複素モジュライの数を示すこと が に等しいことを示しています 。もちろん、最後の記述は、カラビ・ヤウ上のすべての変形は遮られないというボゴモレフ・ティアン・トドロフの定理に依存しています。 dim ( H 1 ( X , T X ) ) {\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} K X ≅ O X {\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}} H 1 ( X , T X ) ≅ H 2 ( X , O X ⊗ Ω X ) ≅ H 2 ( X , Ω X ) {\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})} h 2 , 1 {\displaystyle h^{2,1}}
グロタンディーク双対性 グロタンディークの 連接双対性理論は、 導来範疇 の言語を用いたセール双対性の広範な一般化である。 体 k 上の有限型の任意のスキーム Xに対して、 X 上の連接層の有界導来範疇の 対象 、つまり k 上の X の 双対化複体 と呼ばれるものが存在する 。正式には、は 例外的な逆像 であり 、ここで f は与えられた射 である 。 Xが純粋次元 n のコーエン・マコーレーのとき 、 である 。つまり、これは上で議論した双対化層であり、（コホモロジー的）次数 − n の複体として見ている。特に、 X が k 上で滑らかなとき 、は次数 − n に配置された標準直線束である 。 ω X ∙ {\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }} D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)} ω X ∙ {\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }} f ! O Y {\displaystyle f^{!}O_{Y}} X → Y = Spec ( k ) {\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)} ω X ∙ {\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }} ω X [ n ] {\displaystyle \omega _{X}[n]} ω X ∙ {\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}
双対化複体を用いることで、セール双対性は k 上の任意の適切なスキーム X に一般化される。すなわち、有限次元 k ベクトル空間には自然な同型性が存在する。
Hom X ( E , ω X ∙ ) ≅ Hom X ( O X , E ) ∗ {\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}} 任意のオブジェクト E について 。 [7] D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}
より一般的には、 k 上の 適切なスキーム X 、内の オブジェクト E 、 内の 完全 複体 F に対して、次のエレガントなステートメントが成り立ちます。 D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)} D perf ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}
Hom X ( E , F ⊗ ω X ∙ ) ≅ Hom X ( F , E ) ∗ . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.} ここでテンソル積は導来カテゴリで自然であるように、 導来テンソル積 を 意味する。（以前の定式化と比較するために、 は と見ることができることに注意されたい 。） Xも k 上で滑らかな場合 、 内のすべてのオブジェクト は完全複体であり、したがってこの双対性は 内のすべての E と F に適用される。上記のステートメントは、 k 上で滑らかで適切な X に対して が 上の セール関数 であると要約される 。 [8] Ext X i ( E , ω X ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})} Hom X ( E , ω X [ i ] ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])} D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)} D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)} F ↦ F ⊗ ω X ∙ {\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }} D coh b ( X ) {\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}
セール双対性はより一般的には 体上の固有 代数空間に対して成立する。 [9]
注記 ^ Huybrechts (2005)、演習 3.2.3。 ^ セール (1955); Huybrechts (2005)、命題 4.1.15。 ^ 曲線の場合、セール双対性はより単純だが、それでも自明ではない。証明の一つはTate (1968)に示されている。 ^ Hartshorne（1977）、定理III.7.6。 ^ Hartshorne (1977)、命題III.7.5の証明; Stacks Project、タグ0A9X 。 ^ Hartshorne (1977)、定理 III.7.11; Stacks Project、タグ 0BQZ 。 ^ Hartshorne (1966)、補論VII.3.4(c); Stacks Project、タグ0B6I ; スタックス プロジェクト、タグ 0B6S 。 ^ Huybrechts (2006)、定義 1.28、定理 3.12。 ^ スタックスプロジェクト、タグ 0E58 。
参考文献
外部リンク スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト 
![{\displaystyle [\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53a93c296d4695d3466a11d6aa93650ebd86c3e)
![{\displaystyle \omega _{X}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841d550dea9f94fda2a4dc26bdea9411543f5a86)
![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250bdcffe1d4ff435e04401aae85e014b1aada2d)
