推定値を設定する

統計学において、ランダムベクトル $xは典型的には$ 確率密度関数で表現されます。集合帰属関係法、すなわち集合推定では、 $x は$ $x$ が属すると仮定される集合 X で表現されます。これは、 x の確率分布関数の台が X 内に含まれることを意味します。一方 $で$ $、$ ランダムベクトルを集合 $で$ 表現することで、ランダム変数に関する仮定（独立性など）を少なくすることができ、非線形性の扱いが容易になります。一方、確率分布関数は、その台を囲む集合よりも正確な情報を提供します。

セットメンバーシップ推定

セットメンバーシップ推定（または略してセット推定）は、測定が測定空間の集合 $Y$ （多くの場合、 $mは測定数を表す$ ⁠ ⁠のボックス）で表されるとみなす推定手法です。p $を$ パラメータベクトル、 $f$ をモデル関数とすると、すべての実行可能なパラメータベクトルの集合は $\mathbb {R} ^{m},$

$P=P_{0}\cap f^{-1}(Y),$

ここで、 $P 0$ はパラメータの事前集合である。Pを特徴付けることは、 $集合$ 反転問題に対応する。^[1]

解決

$f$ が線形のとき、実行可能集合 $Pは$ 線形不等式で記述でき、線形計画法を用いて近似することができる。^[2]

$f$ が非線形の場合、区間解析を用いて解を求めることができる。実行可能集合 $P$ は、内側と外側の部分舗装によって近似される。この手法の主な限界は、パラメータ数に対する指数関数的な複雑さである。^[3]

例

次のモデルを考えてみましょう

$\phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),$

ここで、 $p 1$ と $p 2$ は推定される 2 つのパラメーターです。

$時刻t 1 = -1$ 、 $t 2 = 1$ 、 $t 3 = 2$ において、図1に示すように、以下の間隔測定が収集されたと仮定する。対応する測定セット（ここではボックス）は ${\begin{array}{rclr}[y_{1}]&=&[-4,&-2],\\{}[y_{2}]&=&[\quad \!4,&9],\\{}[y_{3}]&=&[\quad \!7,&11],\end{array}}$

$Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}].$

モデル関数は次のように定義される。

$f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}$

$f$ の成分は、各測定ごとにモデルを用いて得られる。集合反転問題を解くと、図2に示す近似値が得られる。赤いボックスは実行可能集合 $P の$ 内側、青いボックスは $P の$ 外側である。

再帰的なケース

集合推定は、再帰的な実装を用いて状態方程式で記述されるシステムの状態を推定するために用いられる。システムが線形の場合、状態ベクトルに対応する実行可能集合は、多面体または楕円体で記述することができる^[4] 。^[5] システムが非線形の場合、集合は部分舗装で囲むことができる^{[6] 。}

堅牢なケース

外れ値が発生した場合、集合推定法は通常、空集合を返します。これは、 $i番目のデータバーと一致するパラメータベクトル集合間の交差が空集合となるためです。外れ値に対して堅牢性を持たせるために、通常、$ $q$ 個を除くすべてのデータバーと一致するパラメータベクトル集合を特徴付けます。これは、 $q$ 緩和交差の概念を用いることで可能です。

参照

セット識別

参考文献

^ Jaulin, L.; Walter, E. (1993). 「区間計算による保証された非線形パラメータ推定」(PDF) .区間計算.
^ Walter, E.; Piet-Lahanier, H. (1989). 「有界誤差モデルのための実行可能パラメータセットの正確な再帰多面体記述」. IEEE Transactions on Automatic Control . 34 (8): 911– 915. doi :10.1109/9.29443.
^ Kreinovich, V.; Lakeyev, AV; Rohn, J.; Kahl, PT (1997). 「データ処理と区間計算の計算複雑性と実現可能性」. Reliable Computing . 4 (4).
^ Fogel, E.; Huang, YF (1982). 「システム同定における情報の価値について - 境界ノイズの場合」. Automatica . 18 (2): 229– 238. doi :10.1016/0005-1098(82)90110-8.
^ Schweppe, FC (1968). 「再帰的状態推定：未知だが有界な誤差とシステム入力」. IEEE Transactions on Automatic Control . 13 (1): 22– 28. doi :10.1109/tac.1968.1098790.
^ Kieffer, M.; Jaulin, L.; Walter, E. (1998). 「区間解析を用いた保証付き再帰非線形状態推定」(PDF) .第37回IEEE意思決定制御会議議事録. 4 .

[1] Jaulin, L.; Walter, E. (1993). 「区間計算による保証された非線形パラメータ推定」(PDF) .区間計算.

[2] Walter, E.; Piet-Lahanier, H. (1989). 「有界誤差モデルのための実行可能パラメータセットの正確な再帰多面体記述」. IEEE Transactions on Automatic Control . 34 (8): 911– 915. doi :10.1109/9.29443.

[3] Kreinovich, V.; Lakeyev, AV; Rohn, J.; Kahl, PT (1997). 「データ処理と区間計算の計算複雑性と実現可能性」. Reliable Computing . 4 (4).

[4] Fogel, E.; Huang, YF (1982). 「システム同定における情報の価値について - 境界ノイズの場合」. Automatica . 18 (2): 229– 238. doi :10.1016/0005-1098(82)90110-8.

[5] Schweppe, FC (1968). 「再帰的状態推定：未知だが有界な誤差とシステム入力」. IEEE Transactions on Automatic Control . 13 (1): 22– 28. doi :10.1109/tac.1968.1098790.

[6] Kieffer, M.; Jaulin, L.; Walter, E. (1998). 「区間解析を用いた保証付き再帰非線形状態推定」(PDF) .第37回IEEE意思決定制御会議議事録. 4 .