シャプレー値

Concept in game theory

協力ゲーム理論において、シャプレー値とは、協力したプレイヤーのグループ間で総利益または総費用を公平に分配するための方法（解決概念）である。例えば、各メンバーの貢献度が異なるチームプロジェクトにおいて、シャプレー値は各メンバーがどの程度の功績または責任を負わされるべきかを判断する方法を提供する。この値は、1951年にこの概念を提唱し、2012年にノーベル経済学賞を受賞したロイド・シャプレーにちなんで名付けられた。 ^{[1] [2]}

シャプレー値は、各プレイヤーが他のプレイヤーのあらゆる可能な組み合わせに参加した場合に全体の結果がどれだけ変化するかを考慮し、それらの変化を平均化することで、各プレイヤーの貢献度を決定します。本質的には、すべての可能な連合における各プレイヤーの平均限界貢献度を計算します。^{[3] [4]}これは、効率性、対称性、加法性、そしてダミープレイヤー（またはヌルプレイヤー）特性^[5]という4つの基本的な特性を満たす唯一の解であり、これらは公平な分配を定義するものとして広く受け入れられています。

この手法は、ビジネスパートナーシップにおける利益の分配から機械学習における特徴の重要性の理解まで、多くの分野で使用されています。

2012年のロイド・シャプレー

意味

プレイヤーが協力（連合を形成）してタスクを達成することで、特定の報酬を獲得できる状況があるとします。このような状況はしばしば連合ゲームと呼ばれます。連合（プレイヤーの集合）の場合、利得関数または価値関数は、そのメンバーが協力することで得られる利得の総和として定義されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle v(S)}$ ${\displaystyle S}$

シャプレー値は、連合によって創出された価値をその構成員間で分配する方法の一つである。これは、特定の望ましい特性（以下に列挙する）を備えた唯一の分配であるという意味で「公平な」分配である。シャプレー値^[6]によれば、連合ゲームにおいてプレイヤーに与えられる金額は ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (v,N)}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

${\displaystyle \quad \quad \quad ={\frac {1}{n}}\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{n-1 \choose |S|}^{-1}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

ここではプレイヤーの総数であり、その和はプレイヤー を含まないのすべての部分集合（空集合を含む）に及びます。また、 は二項係数 であることにも注意してください。この式は次のように解釈できます。連合が一度に1人のアクターによって形成され、各アクターが公正な補償として貢献を要求すると仮定します。そして、各アクターについて、連合が形成される 可能性のある様々な順列における貢献の平均をとります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {n \choose k}}$ ${\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)}$

シャプレー値の代替となる同等の式は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi _{i}(v)={\frac {1}{n!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right]}$

ここで、合計はプレイヤーのすべての順序にわたっており、 は順序 が先行するプレイヤーの集合です。 ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P_{i}^{R}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

相乗効果の観点から

シャプレー値の相乗効果を示すベン図

シャプレー値に合計されるシナジーの分割のベン図

特性関数から、各プレーヤーグループが提供するシナジー（ハルサニ配当）を計算することができる。シナジーは、以下の式で表される 唯一の関数である。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w\colon 2^{N}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle v(S)=\sum _{R\subseteq S}w(R)}$

プレイヤーの任意のサブセットについて。言い換えれば、連合の「総価値」は、プレイヤーの可能なサブセットそれぞれのシナジー効果を合計することで得られる。 ${\displaystyle S\subseteq N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

特性関数が与えられた場合、相乗効果関数は次のように計算される。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w(S)=\sum _{R\subseteq S}(-1)^{|S|-|R|}v(R)}$

包含排他原理を用いる。言い換えれば、連合の相乗効果は、その部分集合によってはまだ説明されていない値である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle v(S)}$

シャプレー値は相乗効果関数によって次のように与えられる^{[7] [8]}

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{i\in S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|}}}$

ここで、合計はプレイヤーを含むのすべてのサブセットにわたります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$

これは次のように解釈できる。

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{\text{coalitions including i}}{\frac {\text{synergy of the coalition}}{\text{number of members in the coalition}}}}$

言い換えれば、各連合の相乗効果はすべてのメンバー間で均等に分配されます。

これはベン図で視覚的に解釈できます。上記の最初の例の図では、各地域に該当する連合のシナジーボーナスがラベル付けされています。連合によって生み出される総価値は、それを構成するサブ連合のシナジーボーナスの合計です。この例では、「あなた」と「エマ」というラベルの付いたプレイヤーの連合は、それぞれ と ドルの利益と比較して、 ドルの利益を生み出します。シナジーは、2番目の図に示されているように、そのシナジーに貢献するサブ連合の各メンバー間で均等に分配されます。 ${\displaystyle 30+20+40=90}$ ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle 20}$

例

ビジネス例

ある事業を簡略化して考えてみましょう。事業主oは、彼なしでは利益は得られないという意味で、重要な資本を提供します。m人の労働者w ₁ ,..., w _mがおり、それぞれが総利益にpの貢献をしています。

${\displaystyle N=\{o,w_{1},\ldots ,w_{m}\}.}$

この連合ゲームの価値関数は

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}(|S|-1)p&{\text{if }}o\in S\;,\\0&{\text{otherwise}}\;.\\\end{cases}}}$

この連合ゲームのシャプレー値を計算すると、⁠mp/2⁠オーナーと⁠p/2m人の労働者それぞれに対して。

これはシナジーの観点から理解できます。シナジー機能とは ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w(S)={\begin{cases}p,&{\text{if }}S=\{o,w_{i}\}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

したがって、相乗効果を生み出す唯一の連合は、所有者と個々の労働者の間の 1 対 1 の連合です。

上の式をシャプレー値に適用して計算する と、 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{w_{i}}={\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {p}{2}}}$

そして

${\displaystyle \varphi _{o}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {mp}{2}}}$

この結果は、全注文を平均化する観点からも理解できます。ある労働者は、注文の半数においてオーナーより後に連合に参加し（したがってpを寄付します）、参加時の平均寄付額は となります。オーナーが参加する時点では、平均して労働者の半数が既に参加しているため、参加時のオーナーの平均寄付額は となります。 ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {mp}{2}}}$

グローブゲーム

グローブゲームは、プレイヤーが左手と右手のグローブを持ち、ペアを組むことを目的とした連合ゲームです。

${\displaystyle N=\{1,2,3\},}$

プレーヤー 1 と 2 は右手用グローブを持ち、プレーヤー 3 は左手用グローブを持っています。

この連合ゲームの価値関数は

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}1&{\text{if }}S\in \left\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

シャプレー値の計算式は

${\displaystyle \varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right],}$

ここで、Rはプレイヤーの順序であり、は順序Rにおいてiに先行するN内のプレイヤーの集合です。 ${\displaystyle P_{i}^{R}}$

次の表は、プレーヤー 1 の限界貢献を示しています。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|r|}{\text{Order }}R\,\!&MC_{1}\\\hline {1,2,3}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{1,3,2}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{2,1,3}&v(\{1,2\})-v(\{2\})=0-0=0\\{2,3,1}&v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\\{3,1,2}&v(\{1,3\})-v(\{3\})=1-0=1\\{3,2,1}&v(\{1,3,2\})-v(\{3,2\})=1-1=0\end{array}}}$

観察する

${\displaystyle \varphi _{1}(v)=\!\left({\frac {1}{6}}\right)(1)={\frac {1}{6}}.}$

対称性の議論により、

${\displaystyle \varphi _{2}(v)=\varphi _{1}(v)={\frac {1}{6}}.}$

効率公理により、すべてのシャプレー値の合計は1に等しくなり、これは

${\displaystyle \varphi _{3}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}.}$

プロパティ

シャプレー値には多くの望ましい特性がある。特に、効率性、対称性、直線性、そしてヌルプレイヤー（またはダミープレイヤー）という4つの特性を満たす唯一の支払いルールであることは注目に値する。^[5]シャプレー値の詳細な特徴については、 ^{[9] : 147–156を}参照。

効率

すべてのエージェントのシャプレー値の合計は大連合の値に等しくなり、すべての利益がエージェント間で分配されます。

${\displaystyle \sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)=v(N)}$

証拠： ${\displaystyle \sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}v(N)={\frac {1}{|N|!}}|N|!\cdot v(N)=v(N)}$

は伸縮和であり、異なる順序付けが存在するためである。 ${\displaystyle \sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})}$ ${\displaystyle |N|!}$ ${\displaystyle R}$

対称

とが、次の意味で同等である2人のアクターであるとする。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\})}$

もも含まない の任意の部分集合に対して、 となります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(v)}$

このプロパティは、同等の扱いとも呼ばれます。

直線性

利得関数とによって記述される 2 つの連合ゲームを組み合わせると、分配される利得は、から導出される利得と、から導出される利得に対応します。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v+w)=\varphi _{i}(v)+\varphi _{i}(w)}$

の任意の数 について。また、任意の実数について、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \varphi _{i}(av)=a\varphi _{i}(v)}$

のあらゆる について。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$

ヌルプレイヤー

ゲームにおけるヌルプレイヤーのシャプレー値はゼロです。を含まないすべての連合において、プレイヤーはヌルです。 ${\displaystyle \varphi _{i}(v)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$

スタンドアロンテスト

が部分加法集合関数、すなわちである場合、各エージェントに対して次のようになります。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v(S\sqcup T)\leq v(S)+v(T)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(v)\leq v(\{i\})}$

同様に、が超加法集合関数、すなわちである場合、各エージェントに対して次のようになります。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v(S\sqcup T)\geq v(S)+v(T)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(v)\geq v(\{i\})}$

したがって、協力がプラスの相乗効果を持つ場合、すべてのエージェントは（弱く）利益を得、マイナスの相乗効果を持つ場合、すべてのエージェントは（弱く）損失を被る。^{[9] ：147–156}

匿名

とが2人のエージェントであり、がとの役割が入れ替わっていることを除いて と同一の利得関数である場合、 となります。これは、エージェントのラベル付けが利得の割り当てに影響を与えないことを意味します。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(w)}$

限界主義

シャプレー値は、プレーヤーの限界貢献のみを引数として使用する関数として定義できます。 ${\displaystyle i}$

オーマン・シャプレー値

1974年の著書で、ロイド・シャプレーとロバート・オーマンはシャプレー値の概念を（非原子 測度に関して定義された）無限ゲームに拡張し、対角線の公式を作成した。^{[10]これは後に}ジャン＝フランソワ・メルテンスとアブラハム・ネイマンによって拡張された。

上で見たように、n人ゲームの価値は、各プレイヤーに、全プレイヤーをランダムに並べた上で、そのプレイヤーより前にいるプレイヤーの連合の価値への貢献度の期待値と関連付けられます。プレイヤーの数が多く、各プレイヤーが小さな役割しか果たしていない場合、特定のプレイヤーより前にいる全プレイヤーの集合は、経験的に全プレイヤーの良いサンプルと考えられます。そして、ある微小プレイヤーdsの価値は、全プレイヤーの「完全な」サンプルの価値に対する「そのプレイヤーの」貢献度として定義されます。

象徴的に言えば、vが各連合cとその価値を関連付ける連合価値関数であり、各連合cが一般性を失うことなくすべてのプレイヤーの測定可能な集合Iの測定可能な部分集合であると仮定すると、ゲームにおける無限小プレイヤーdsの価値は ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle (Sv)(ds)}$

${\displaystyle (Sv)(ds)=\int _{0}^{1}(\,v(tI+ds)-v(tI)\,)\,dt.}$

ここで、tIは全プレイヤー集合Iの完全サンプルであり、全プレイヤーのtの割合を含む。そして、 dsがtIに加わった後に得られる連合である。これは対角線の公式のヒューリスティックな形である。^[10] ${\displaystyle tI+ds}$

価値関数に何らかの正則性があると仮定すると、例えば、v がI、μ、密度関数、cの特性関数の 非原子測度の微分可能関数として表せると 仮定する。このような条件下では、 ${\displaystyle v(c)=f(\mu (c))}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu (c)=\int 1_{c}(u)\varphi (u)\,du,}$ ${\displaystyle 1_{c}(\bullet )}$

${\displaystyle \mu (tI)=t\mu (I)}$、

密度を階段関数で近似し、密度関数の各レベルの 割合tを維持することで、

${\displaystyle v(tI+ds)=f(t\mu (I))+f'(t\mu (I))\mu (ds).}$

対角線公式は、オーマンとシャプレー（1974）によって開発された形をとる。

${\displaystyle (Sv)(ds)=\int _{0}^{1}f'_{t\mu (I)}(\mu (ds))\,dt}$

上記のμ はベクトル値にすることができます（関数が定義され、 μの範囲で微分可能である限り、上記の式は意味をなします）。

上記の議論では、測定値に原子が含まれている場合は当てはまらなくなります。これが、対角線の公式が主に非原子ゲームに適用される理由です。 ${\displaystyle \mu (tI)=t\mu (I)}$

関数fが微分不可能になった場合、この対角線公式を拡張するために2つのアプローチが採用されました。メルテンスは元の公式に戻り、積分の後に微分をとることで平滑化効果を利用しました。ネイマンは異なるアプローチを採用しました。メルテンス（1980）のメルテンスアプローチの基本的な応用に戻ると、次のようになります。^[11]

${\displaystyle (Sv)(ds)=\lim _{\varepsilon \to 0,\varepsilon >0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{0}^{1-\varepsilon }(f(t+\varepsilon \mu (ds))-f(t))\,dt}$

これは例えば多数決ゲームに有効ですが、元の対角公式は直接使用できません。Mertensは、シャプレー値が不変となるべき対称性を特定し、それらの対称性を平均化することで、上記の微分演算と平均を交換できる平滑化効果をさらに生み出すことで、これをさらに拡張しました。^[12]非原子値に関する概説は、Neyman (2002) ^{[13]に記載されています。}

連合への一般化

シャプレー値は個々のエージェントにのみ価値を割り当てる。これは、エージェントのグループCに適用できるように一般化されている^{[14] 。}

${\displaystyle \varphi _{C}(v)=\sum _{T\subseteq N\setminus C}{\frac {(n-|T|-|C|)!\;|T|!}{(n-|C|+1)!}}\sum _{S\subseteq C}(-1)^{|C|-|S|}v(S\cup T)\;.}$

上記の相乗効果機能の観点から見ると、これは^{[7] [8]と読める。} ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{C}(v)=\sum _{C\subseteq T\subseteq N}{\frac {w(T)}{|T|-|C|+1}}}$

ここで、合計はを含むのすべての部分集合にわたります。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$

この式は、連合が単一のプレーヤーとして扱われる場合、連合のシャプレー値は単一のプレーヤーの標準シャプレー値として考えるべきであるという解釈を示唆しています。 ${\displaystyle C}$

ある選手が他の選手にとって持つ価値

シャプレー値はハウスケンとマティアス^[15]によって値の行列に 分解された。 ${\displaystyle \varphi _{i}(v)}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(v)=\sum _{S\subseteq N}{\frac {(|S|-1)!\;(n-|S|)!}{n!}}(v(S)-v(S\setminus \{i\})-v(S\setminus \{j\})+v(S\setminus \{i,j\}))\sum _{t=|S|}^{n}{\frac {1}{t}}}$

それぞれの値はプレイヤーからプレイヤーへの価値を表す。この行列は ${\displaystyle \varphi _{ij}(v)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{j\in N}\varphi _{ij}(v)}$

つまり、ゲーム全体に対するプレイヤーの価値は、すべての個々のプレイヤーに対するそのプレイヤーの価値の合計です。 ${\displaystyle i}$

上記で定義した相乗効果の観点から言えば、 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(v)=\sum _{\{i,j\}\subseteq S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|^{2}}}}$

ここで、合計は、およびを含む のすべての部分集合にわたります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

これは、プレイヤーとを含むすべてのサブセットの合計として解釈できます。 各サブセットについて、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$

• そのサブセットの相乗効果を得る ${\displaystyle w(S)}$
• それを部分集合内のプレイヤー数で割る。これを、プレイヤーがこの連合から得る剰余価値と解釈する。 ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle i}$
• これをさらに割って、プレイヤーの値のうちプレイヤーに帰属する部分を取得します。 ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

言い換えれば、各連合の相乗効果の価値はその連合内のすべてのプレイヤーのペアの間で均等に分割され、 に余剰が生成されます。 ${\displaystyle |S|^{2}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

シャプレー値回帰

シャプレー値回帰は、回帰モデルにおける個々の予測変数の寄与度を測定するために用いられる統計手法です。この文脈において、「プレイヤー」とはモデル内の個々の予測変数または変数を指し、「ゲイン」とはモデルの全説明分散または予測力を指します。この手法は、各予測変数にモデルの性能への寄与度を表す値を付与することで、予測変数間で総ゲインを公平に分配することを保証します。Lipovetsky (2006) は、回帰分析におけるシャプレー値の利用について論じ、その理論的根拠と実践的応用について包括的な概要を示しました。^[16]

シャプレー値の寄与は、安定性と識別力のバランスが取れていることで知られており、市場調査においてサービス属性の重要性を正確に測定するのに適しています。^[17]いくつかの研究では、マーケティング調査におけるキードライバー分析にシャプレー値回帰を適用しています。PokryshevskayaとAntipov（2012）は、この手法を使用してオンライン顧客の再購入意向を分析し、消費者行動の理解における有効性を実証しました。^[18]同様に、AntipovとPokryshevskaya（2014）は、シャプレー値回帰を適用して南キプロスのホテルの推奨率の違いを説明し、ホスピタリティ業界におけるその有用性を強調しました。^[19]キードライバー分析におけるシャプレー値の利点のさらなる検証は、Vriens、Vidden、およびBosch（2021）によって提供されており、彼らは応用マーケティング分析におけるその利点を強調しています。^[20]

機械学習では

シャプレー値は、機械学習分野で一般的に用いられる非線形モデルの予測を説明する原理的な方法を提供する。一連の特徴量を用いて学習されたモデルをプレイヤーの連合における価値関数として解釈することにより、シャプレー値は、どの特徴量が予測に寄与するか^[21]、または予測の不確実性に寄与するかを計算する自然な方法を提供する。^[22]これは、局所的に解釈可能なモデル非依存型説明（LIME）^[23] 、 DeepLIFT ^{[24] 、層ごとの関連性伝播[} 25]など、他のいくつかの手法を統合する。^[26]

分布値はシャプレー値と関連値演算子の拡張であり、ニューラルネットワーク分類器や大規模言語モデルなどの機械学習における予測モデルの確率的出力を保存するために設計されています。^[27]

^{シャプレー値の統計的理解は、依然として研究課題として残っています。シャプレー曲線[28]}と呼ばれる滑らかなバージョンは、ミニマックス率を達成し、ノンパラメトリックな設定において漸近的にガウス分布に従うことが示されている。有限サンプルの信頼区間は、ワイルドブートストラップ法によって得ることができる。

参照

• 空港の問題
• バンザフパワー指数
• シャプレー・シュビック指数

参考文献

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28. ミフタチョフ, ラトミール; カイルバー, ゲオルク; ハードル, ヴォルフガング (2025). 「シャプレー曲線：平滑化の観点」.ビジネス＆経済統計ジャーナル. 43 (2): 312– 323. doi :10.1080/07350015.2024.2365781.

さらに読む

• フリードマン、ジェームズ・W. (1986). 『ゲーム理論とその経済学への応用』ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. pp. 209–215. ISBN 0-19-503660-3。

外部リンク

• 「シャプレー値」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• シャプレー値計算機
• シャプレー値を使ったタクシー料金の計算

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