シェファー配列

数学において、シェファー列（シェファーれん）またはパワーイド（冪乗）とは、多項式列、すなわち、各多項式の指数がその次数に等しく、組合せ論における陰関数計算に関連する条件を満たす多項式の列 $（ p n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ）$ である。これらはイサドール・M・シェファーにちなんで名付けられている。

意味

多項式列 $(p n) を固定する。x$ の多項式上の線形作用素 $Qを$ $次$ のように定義する。 $Q[p_{n}(x)]=np_{n-1}(x)~.$

これにより、すべての多項式における $Q$ が決定されます。多項式列 $(p n)$ は、定義した線形演算子 $Q が$ シフト同変である場合にシェファー列となります。そのような $Qは$ デルタ演算子です。ここで、多項式上の線形演算子 $Q が$ シフト同変であるとは、 $f$ $($ $x$ $) =$ $g$ $($ $x$ $+$ $a$ $) =$ $T$ $a$ $g$ $($ $x$ $)が$ $g$ $($ $x$ )の「シフト」であるとき $、$ $($ $Qf$ $)($ $x$ $) = ($ $Qg$ $)($ $x$ $+$ $a$ $) が成り立つことを定義します。$ つまり、 $Q はすべての$ シフト演算子と可換です： $T$ $a$ $Q$ $=$ $QT$ $a$ 。

プロパティ

シェファー列全体の集合は、多項式列の暗黒合成の作用下における群であり、以下のように定義される。 $($ $p$ $n$ $(x) :$ $n$ $= 0, 1, 2, 3, ...$ $)$ と $($ $q$ $n$ $(x) :$ $n$ $= 0, 1, 2, 3, ...$ $)$ を多項式列とし、以下のように定義される。 $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}~.$

すると、アンブラル合成は、 $n$ 番目の項が(添え字 $n は$ p _nに現れます。これはそのシーケンスの $n番目の項であるためです。ただし、$ qには現れません。これは、項の 1 つではなく、シーケンス全体を参照するためです) である多項式シーケンスです。 $p\circ q$ $(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

この群の単位元は標準単項式基底である $e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.$

2つの重要なサブグループとして、アペル列のグループ（演算子 $Qが$ 単なる微分である列）と二項型列のグループ（恒等式を満たす列）があります。シェファー列 $（$ $p$ $n$ $($ $x$ $) :$ $n$ $= 0, 1, 2, ...$ $）$ が二項型であるための必要条件は、およびの両方が満たされることです。 $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ p_{nk}(y)~.$ $p_{0}(x)=1\$ $p_{n}(0)=0\quad {\mbox{ }}\quad n\geq 1~ の場合$

アペル数列の群はアーベル群であるが、二項型数列の群はアーベル群ではない。アペル数列の群は正規部分群であるが、二項型数列の群は正規部分群ではない。シェファー数列の群は、アペル数列の群と二項型数列の群の半直積である。したがって、アペル数列の群の各剰余類には、ちょうど1つの二項型数列が含まれる。2つのシェファー数列が同じ剰余類に属するのは、前述の演算子Q （その数列の「デルタ演算子」と呼ばれる）が、どちらの場合も同じ線型演算子である場合に限る。（一般に、デルタ演算子は、次数を1つ減らす多項式上のシフト同変線型演算子である。この用語はF.ヒルデブラントに由来する。）

$s n (x)$ がシェファー列であり、 $p n (x)$ が同じデルタ演算子を共有する二項型列である場合、 $s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ s_{nk}(y)~.$

シェファー列という用語は、二項式列とこの関係を持つ列を指すように定義されることがある。特に、 $(s n (x))$ がアペル列である場合、 $s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ x^{k}\ s_{nk}(y)~.$

エルミート多項式の列、ベルヌーイ多項式の列、単項式 $(x n : n = 0, 1, 2, ...)$ は、アペル列の例です。

シェファー列 $p n$ は指数関数的な生成関数によって特徴付けられる。ここでA $と$ B $は$ $t$ の（形式的な）べき級数である。したがって、シェファー列は一般化されたアペル多項式の例であり、関連する再帰関係を持つ。 $\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {p_{n}(x)}{n!}}\ t^{n}=A(t)\ \exp \!{\bigl (}\ x\ B(t)\ {\bigr )}\$

例

シェファー列である多項式列の例には次のものがあります。

アーベル多項式
ベルヌーイ多項式
オイラー多項式
中心階乗多項式
エルミート多項式
ラゲール多項式
単項式( $x$ $n$ $: n = 0, 1, 2, ...)$
モット多項式
第二種ベルヌーイ多項式
下降階乗と上昇階乗
タッチャード多項式
ミタグ・レフラー多項式

参考文献

Rota, G.-C. ; Kahaner, D. ; Odlyzko, A. (1973年6月). 「組合せ理論の基礎について VIII：有限作用素計算」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684– 750. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .次の参考文献に転載します。
Rota, G.-C. ; Doubilet, P. ; Greene, C. ; Kahaner, D. ; Odlyzko, A. ; Stanley, R. (1975).有限作用素計算. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-596650-4。
シェファー, IM (1939). 「零型多項式集合のいくつかの性質」デューク数学ジャーナル. 5 (3): 590– 622. doi :10.1215/S0012-7094-39-00549-1.
ローマン、スティーブン（1984年）『陰影微積分学　純粋数学と応用数学』第111巻、ロンドン：アカデミック・プレス社[ハーコート・ブレース・ジョバノビッチ出版社]、ISBN 978-0-12-594380-2. MR 0741185。2005年にドーバー社より再版。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「シェファー列」。MathWorld。