Statement on the gravitational attraction of spherical bodies
古典力学 において 、 殻定理は 球対称 物体の内側または外側の物体に適用できる 重力の 単純化を与えます 。この定理は特に 天文学 に応用されています。
アイザック・ニュートンは 殻定理 [1] を証明し、次のように述べています。
球 対称物体は、その 質量 全体が中心の一 点 に集中しているかのように、外部の物体に重力の影響を与えます 。 物体が球対称の殻（つまり、中空の球）である場合、 殻内の物体の位置に関係なく、殻から内部のどの物体にも正味の 重力は作用しません 系として、一定密度の固体球内では、物体内部の重力は中心からの距離とともに直線的に変化し、対称性により 質量 中心でゼロになる、ということが挙げられます。これは次のように考えることができます。球体内に、球の中心から の距離にある点を取ります 。すると、殻定理 (2) に従って、それよりも半径が大きい殻はすべて無視できます。しかし、この点は半径 r の残りの球体の外部にあると見なすことができ、(1) に従って、この球体の質量はすべてその中心に集中していると考えることができます。残りの質量 は に比例します (体積に基づいているため)。半径 r にある物体にかかる重力は に比例します ( 反二乗則 )。そのため、全体的な重力の影響は に比例し 、 は に直線的になります 。 r {\displaystyle r} m {\displaystyle m} r 3 {\displaystyle r^{3}} m / r 2 {\displaystyle m/r^{2}} r 3 / r 2 = r {\displaystyle r^{3}/r^{2}=r} r {\displaystyle r}
これらの結果は、ニュートンの惑星運動の解析において重要でした。すぐには明らかではありませんが、 微積分 によって証明できます。（ ガウスの重力の法則は、 定理を述べる別の方法を提供しています。）
重力 に加えて 、殻定理は 静的な球対称 電荷密度によって生成される 電場を記述するためにも使用できます。また、同様に、 反二乗則 に従う他の現象にも使用できます。以下の導出は重力に焦点を当てていますが、結果は 静電力 に簡単に一般化できます 。
固体球の外側における重力場の導出 ニュートンの殻定理（1）を証明するには3つのステップがあります。まず、質量を持つリングによる重力場の方程式を導出します。無限に薄いリングを無限に並べて円盤を作り、リングに関するこの方程式を使って円盤による重力場を求めます。最後に、無限に薄い円盤を無限に並べて球を作り、円盤に関するこの方程式を使って球による重力場を求めます
原点にある 質点による、 x 軸上の と 呼ばれる位置での 重力場は E {\displaystyle E} P {\displaystyle P} ( x , y ) = ( − p , 0 ) {\displaystyle (x,y)=(-p,0)} M {\displaystyle M} E point = G M p 2 {\displaystyle E_{\text{point}}={\frac {GM}{p^{2}}}} この質点がy 軸に沿って上方に点 まで 移動したとします 。 質点と の間の距離は以前よりも長くなり、 は と の 直角三角形 の 斜辺になります 。 したがって、上昇した点の重力場は
次のようになり ます ( 0 , R ) {\displaystyle (0,R)} P {\displaystyle P} p {\displaystyle p} R {\displaystyle R} p 2 + R 2 {\textstyle {\sqrt {p^{2}+R^{2}}}} E elevated point = G M p 2 + R 2 {\displaystyle E_{\text{elevated point}}={\frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}}
点 にある粒子をx 方向に 引っ張る重力場の大きさは、 重力場 に を掛けた値です。 は x 軸に隣接する角度です 。 この場合、 です 。したがって、 x 方向 の重力場の大きさは、次のようになります。 を に代入すると、次のようになります。 この質量が、原点を中心とし、 同じ半径 で点 を向くリング内に均等に分散されているとします 。 質量のすべてが x 軸に対して同じ角度に配置されており、リング上の点間の距離は前と同じ距離であるため、リングによる 点 での x方向の重力場は、 y 軸から 単位上の 点にある質点と同じになります 。 P {\displaystyle P} cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} θ {\displaystyle \theta } cos ( θ ) = p p 2 + R 2 {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}} E x {\displaystyle E_{x}} E x = G M cos θ p 2 + R 2 {\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}} cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} E x = G M p ( p 2 + R 2 ) 3 / 2 {\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}} P {\displaystyle P} R {\displaystyle R} P {\displaystyle P} R {\displaystyle R} E ring = G M p ( p 2 + R 2 ) 3 / 2 {\displaystyle E_{\text{ring}}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}
円板による 点における重力場を求めるには、 半径が 、 幅が 、 質量がで 、 向かい合った無限に薄い円盤を無限に重ねて円板を形成します。いずれかの円盤の質量は、円盤の質量に、 円盤の総面積に対する円盤 の面積の比を掛けたものです 。 つまり、です 。 したがって、重力場の小さな変化は、 P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} y {\displaystyle y} d y {\displaystyle dy} d M {\displaystyle dM} d M {\displaystyle dM} 2 π y d y {\displaystyle 2\pi y\,dy} π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} d M = M ⋅ 2 y d y R 2 {\textstyle dM={\frac {M\cdot 2y\,dy}{R^{2}}}} E {\displaystyle E} d E = G p d M ( p 2 + y 2 ) 3 / 2 {\displaystyle dE={\frac {Gp\,dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}
を代入して 両辺を積分すると、円板の重力場が得られます
。これらの各円盤からの重力場への寄与を合計すると、円板による重力場の式が得られます。これは、上記の式を から まで積分することと同等であり 、 結果は次のようになります。
原点を中心とする球面による 点における重力場を求めるには、半径が 、 幅が 、 質量が で 、向かい合った無限に薄い円盤を無限に重ね て 配置します d M {\displaystyle dM} E = ∫ G M p ⋅ 2 y d y R 2 ( p 2 + y 2 ) 3 / 2 {\displaystyle E=\int {\frac {GMp\cdot {\frac {2y\,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}} y = 0 {\displaystyle y=0} y = R {\displaystyle y=R} E disc = 2 G M R 2 ( 1 − p p 2 + R 2 ) {\displaystyle E_{\text{disc}}={\frac {2GM}{R^{2}}}\left(1-{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}\right)} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} R {\displaystyle R} d x {\displaystyle dx} d M {\displaystyle dM}
これらの円盤の半径は 、球（半径は一定）の断面の高さに従います 。これは半円の方程式です 。 からまで 変化し ます R {\displaystyle R} a {\displaystyle a} R = a 2 − x 2 {\textstyle R={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} x {\displaystyle x} − a {\displaystyle -a} a {\displaystyle a}
円板の質量 は、球の質量に、 無限に薄い円板の体積を球（半径 一定 ）の体積で割った比を掛けたものです。 無限に薄い円板の体積は 、 または です 。 したがって、となります 。 簡略化すると となります 。 d M {\displaystyle dM} M {\displaystyle M} a {\displaystyle a} π R 2 d x {\displaystyle \pi R^{2}\,dx} π ( a 2 − x 2 ) d x {\textstyle \pi \left(a^{2}-x^{2}\right)dx} d M = π M ( a 2 − x 2 ) d x 4 3 π a 3 {\textstyle dM={\frac {\pi M(a^{2}-x^{2})\,dx}{{\frac {4}{3}}\pi a^{3}}}} d M = 3 M ( a 2 − x 2 ) d x 4 a 3 {\textstyle dM={\frac {3M(a^{2}-x^{2})\,dx}{4a^{3}}}}
各円盤の からの の位置は 、円盤で構成された「球」内の位置によって変化するため、 を に置き換える必要があります 。 P {\displaystyle P} p {\displaystyle p} p + x {\displaystyle p+x}
「円盤」方程式 で を 、 を 、 を に 置き換えると、次のようになります。 簡略化すると、 各薄い円盤の重力場を から まで について積分し 、 慎重 に 代数計算を行うと、ニュートンの殻定理が得られます。 ここで は球状質量の中心と任意の点 の間の距離です 。 球状質量の重力場は、すべての質量を球の中心にある点粒子として扱うことで計算できます。 M {\displaystyle M} d M {\displaystyle dM} R {\displaystyle R} a 2 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} p {\displaystyle p} p + x {\displaystyle p+x} d E = ( 2 G [ 3 M ( a 2 − x 2 ) ] 4 a 3 ) a 2 − x 2 2 ⋅ ( 1 − p + x ( p + x ) 2 + a 2 − x 2 2 ) d x {\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx} ∫ d E = ∫ − a a 3 G M 2 a 3 ( 1 − p + x p 2 + a 2 + 2 p x ) d x {\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}\left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {p^{2}+a^{2}+2px}}}\right)dx} x = − a {\displaystyle x=-a} x = + a {\displaystyle x=+a} x {\displaystyle x} E = G M p 2 {\displaystyle E={\frac {GM}{p^{2}}}} p {\displaystyle p} P {\displaystyle P}
殻の外側 球対称 の 固体は、無限個の 同心 の無限に薄い球殻としてモデル化できます 。これらの殻の1つを質点として扱うことができる場合、殻の系（つまり球）も質点として扱うことができます。そのような殻の1つを考えてみましょう（図は断面を示しています）。
（注： 図中のは 円弧の長さ ではなく、小さな角度を指しています。円弧の長さは です 。） d θ {\displaystyle d\theta } R d θ {\textstyle R\,d\theta }
ニュートンの万有引力の法則 を適用すると 、網掛けされた帯状の質量要素による力の合計は
d F = G m s 2 d M . {\displaystyle dF={\frac {Gm}{s^{2}}}dM.} しかし、円状の帯の 対称 性と相殺される力のベクトル性により部分的に打ち消されるため、残りの 成分 （ に向かう方向 ） は次のように表されます。 m {\displaystyle m}
d F r = G m s 2 cos ( φ ) d M {\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm}{s^{2}}}\cos(\varphi )\,dM} したがって、 にかかる力の合計は 、すべての帯によって及ぼされる力の合計になります。各帯の幅を狭め、帯の数を増やすと、合計は積分式になります。 m {\displaystyle m}
F r = ∫ d F r {\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}} とは定数な ので 、積分から除外することができます。 G {\displaystyle G} m {\displaystyle m}
F r = G m ∫ cos ( φ ) s 2 d M . {\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,dM.} この積分を評価するには、まずの関数として 表す必要があります。 d M {\displaystyle dM} d θ {\displaystyle d\theta }
球殻の全表面積は
4 π R 2 {\displaystyle 4\pi R^{2}} と の間の薄片の表面積は θ {\displaystyle \theta } θ + d θ {\displaystyle \theta +d\theta }
2 π R sin ( θ ) R d θ = 2 π R 2 sin ( θ ) d θ {\displaystyle 2\pi R\sin(\theta )R\,d\theta =2\pi R^{2}\sin(\theta )\,d\theta } 殻の質量が で ある 場合 、 M {\displaystyle M}
d M = 2 π R 2 sin ( θ ) 4 π R 2 M d θ = 1 2 M sin ( θ ) d θ {\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin(\theta )}{4\pi R^{2}}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}M\sin(\theta )\,d\theta } と
F r = G M m 2 ∫ sin ( θ ) cos ( φ ) s 2 d θ {\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta } 余弦定理 により 、
cos ( φ ) = r 2 + s 2 − R 2 2 r s {\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}} と
cos ( θ ) = r 2 + R 2 − s 2 2 r R . {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.} これら2つの関係は、積分に現れる 3つのパラメータ 、 を結び付けています。が ラジアンからに増加するにつれて、 初期 値 0から最大値まで変化し、最終的にで0に戻ります 。 同時に 、が 0からラジアンに増加する につれて、 は初期値から 最終値まで増加します 。これは次のアニメーションで示されています。 θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } s {\displaystyle s} θ {\displaystyle \theta } 0 {\displaystyle 0} π {\displaystyle \pi } φ {\displaystyle \varphi } θ = π {\displaystyle \theta =\pi } s {\displaystyle s} r − R {\displaystyle r-R} r + R {\displaystyle r+R} θ {\displaystyle \theta } π {\displaystyle \pi }
（注：から見ると 、 青い網掛けの帯は細い 環状 部として表示され、その内側と外側の半径はが消える につれて収束します 。） m {\displaystyle m} R sin ( θ ) {\displaystyle R\sin(\theta )} d θ {\displaystyle d\theta }
被積分関数の原始関数 を求めるには、 の代わりに独立した積分変数 を作成する必要があります 。 s {\displaystyle s} θ {\displaystyle \theta }
上記の「余弦定理」の式の2番目の 暗黙的な微分 を実行すると、
− sin ( θ ) d θ = − 2 s 2 r R d s {\displaystyle -\sin(\theta )\,d\theta ={\frac {-2s}{2rR}}\,ds} したがって
sin ( θ ) d θ = s r R d s . {\displaystyle \sin(\theta )\,d\theta ={\frac {s}{rR}}\,ds.} したがって、
F r = G M m 2 1 r R ∫ s cos ( φ ) s 2 d s = G M m 2 r R ∫ cos ( φ ) s d s {\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}{\frac {1}{rR}}\int {\frac {s\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,ds={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos(\varphi )}{s}}\,ds} ここで、新しい積分変数は から に増加します 。 s {\displaystyle s} r − R {\displaystyle r-R} r + R {\displaystyle r+R}
上記の「余弦定理」の式の最初の式を使用して の式を挿入すると、最終的に次のようになります。 cos ( φ ) {\displaystyle \cos(\varphi )}
F r = G M m 4 r 2 R ∫ ( 1 + r 2 − R 2 s 2 ) d s . {\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\ ds\ .} 被積分関数の原始関数は
s − r 2 − R 2 s , {\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\ ,} そして、この原始関数に積分変数の 境界とを挿入すると 、 次のようになります r − R {\displaystyle r-R} r + R {\displaystyle r+R} s {\displaystyle s}
F r = G M m r 2 , {\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}},} 重力は、殻の中心にある同じ質量の質点の重力と同じであると言っています。
球殻から固体球へ この球殻の結果を使って、先ほどの固体球の結果を再導出することができます。これは、質量が の極小の薄い球殻を積分することによって行われ 、 固体球の外側の物体への全重力寄与を得ることができます。 d M {\displaystyle dM}
F total = ∫ d F r = G m r 2 ∫ d M . {\displaystyle F_{\text{total}}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.} 均一密度とは、 半径から の間の密度が の関数として表せることを意味 し ます 。 つまり、 x {\displaystyle x} x + d x {\displaystyle x+dx} d M {\displaystyle dM} x {\displaystyle x}
d M = 4 π x 2 d x 4 3 π R 3 M = 3 M x 2 d x R 3 {\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}} したがって、全重力は
F total = 3 G M m r 2 R 3 ∫ 0 R x 2 d x = G M m r 2 {\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}\,dx={\frac {GMm}{r^{2}}}} 前述のように、これは固体球の外側の物体への重力は、同じ質量を持つ球の中心にある質点の重力として簡略化できることを示唆しています。
殻の内側 殻の内側の点の場合、違いは、 θ がゼロのとき、 ϕは π ラジアンの 値を取り、 sは R − r の値を取ることです 。θ が 0から π ラジアンに増加すると、 ϕは 初期値 π ラジアンからゼロに減少し、 sは 初期値 R − rから R + r に増加します 。
これはすべて次の図で確認できます。
これらの境界を 原始関数に代入すると、
s − r 2 − R 2 s {\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}} この場合、
F r = 0 , {\displaystyle F_{r}=0,} つまり、測定点の外側にある殻の質量要素から質点に作用する正味の重力は打ち消されるということです。
一般化： の場合 、 殻内の合力は次のようになります。 f = k r p {\displaystyle f={\frac {k}{r^{p}}}}
F ( r ) = G M m 4 r 2 R ∫ R − r R + r ( 1 s p − 2 + r 2 − R 2 s p ) d s {\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds} 上記は、次の 場合のみ、完全にゼロになります。 F ( r ) {\displaystyle F(r)} p = 2 {\displaystyle p=2}
殻の外側（つまり、 または ）の場合： r > R {\displaystyle r>R} r < − R {\displaystyle r<-R}
F ( r ) = G M m 4 r 2 R ∫ r − R r + R ( 1 s p − 2 + r 2 − R 2 s p ) d s {\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}
ガウスの法則を用いた導出 殻定理は、ガウスの重力の法則 から直接導かれるものであり、次のようになり ます
∫ S g ⋅ d S = − 4 π G M {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM} ここで、 Mは半径 r の球の内側にある球対称の質量分布の部分の質量であり 、
∫ S g ⋅ d S = ∫ S g ⋅ n ^ d S {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS} は、内部の全質量が Mである任意の 閉面 上の 重力場 の 面積分 であり 、 単位ベクトルは 表面の外向きの法線です。 g {\displaystyle \mathbf {g} } n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
質点、球殻、均質球などの球対称の質量分布の重力場も球対称でなければなりません。が 対称点から別の点への方向の単位ベクトルである場合、この別の点における重力場は n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
g = g ( r ) n ^ {\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}} ここで、 g ( r ) は対称点までの 距離 rのみに依存します。
閉面を、対称点を中心とする半径 r の球として選択すると、表面上の点の外向きの法線は 、 まさに質量分布の対称点から離れる方向を指します。 n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
したがって、
g = g ( r ) n ^ {\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}} と
∫ S g ⋅ d S = g ( r ) ∫ S d S = g ( r ) 4 π r 2 {\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,dS=g(r)4\pi r^{2}} 球の面積は 4πr2 なので 。
ガウスの法則から
g ( r ) 4 π r 2 = − 4 π G M , {\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,} または、
g ( r ) = − G M r 2 . {\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}
逆と一般化 殻定理の逆 が真であるかどうか、すなわち定理の結果が万有引力の法則を意味するのか、それとも定理が成り立つより一般的な力の法則が存在するのかを 問うのは当然である。球殻の外側の力が、その中心にある等しい質点に対する力と同じであることだけを要求すると、力の法則には自由度が1つ追加される。 [2] [3] グルザディアン定理 によって与えられる最も一般的な力は次の とおりである。 [2]
F ( r ) = − G M m r 2 + Λ m c 2 r 3 {\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {\Lambda mc^{2}r}{3}}} ここで 、と は任意の値を取る定数である。最初の項はよく知られた万有引力の法則であり、2番目の項は 一般相対性理論 における 宇宙定数 項に類似した追加の力である。しかし、反比例ポテンシャルは、殻内の正味の力もゼロとなる唯一のポテンシャルである。 [2] G {\displaystyle G} Λ {\displaystyle \Lambda }
湯川ポテンシャル によって記述される力
U ( r ) = − G M m r e − λ r {\displaystyle U(r)=-{\frac {GMm}{r}}e^{-\lambda r}} 球殻の外側の力も同じ範囲を持ち 、殻の中心を中心とする湯川ポテンシャルであるという性質がありますが、 等価質点は殻の質量と同じではありません。 [4] [5] [6] 半径と質量 の殻の場合 、等価質点は 1 / λ {\displaystyle 1/\lambda } λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} R {\displaystyle R} M {\displaystyle M}
M eff = M sinh λ r λ r {\displaystyle M_{\text{eff}}=M{\frac {\sinh \lambda r}{\lambda r}}} です。 楕円 殻の場合、殻定理の2つの半分は、異なるタイプの殻によって一般化されます。2つの 同心円状の 相似 で 一直線に並んだ楕円体（ ホモエオイド ）で囲まれた殻は、 内部の点に重力を及ぼしません。 [7]一方、2つの同心円状の共 焦点 楕円体（ フォーカロイド ）で囲まれた殻は、2つの同心円状の 共焦点フォーカロイドの外側の重力は同じであるという性質があります。 [8]
ニュートンの証明
はじめに 命題70と71は、表面が極めて薄く、質量密度が表面全体で一定である中空球から粒子に作用する力を考察しています。球面の小さな領域から粒子に作用する力は、その領域の質量に比例し、粒子からの距離の2乗に反比例します。最初の命題は、粒子が球の内側にある場合を、2番目の命題は外側にある場合を考察しています。幾何学的構成における微小量と極限過程の使用は単純かつ簡潔であり、積分の必要性を回避します。これらは、 ニュートンが『 プリンキピア』 の多くの命題を証明する方法をよく示しています 。
ニュートンによる命題70の証明は自明です。以下では、ニュートンが示すよりも少し詳細に検討します
命題71の証明は歴史的にさらに重要です。これは、球体内の任意の点における密度が球体中心からの距離のみの関数である場合、固体球の外側の粒子に作用する重力は、球体中心からの距離の2乗に反比例するという、ニュートンの証明の最初の部分を構成しています。
以下はニュートンの証明に完全に忠実ですが、より明確にするためにごくわずかな変更が加えられています。
中空球体内の一点にかかる力
図2は、中空球の中心Sと球内部の任意の点Pを通る断面です。Pを通る2本の直線ILとHKを描き、角KPLが非常に小さくなるように描きます。JMは、Pを通る直線でその角を二等分するものです。 円周角定理 から、三角形IPHとKPLは相似です。直線KHとILを軸JMを中心に回転させ、2つの円錐を形成します。これら の円錐は球と2つの閉曲線で交差します。図1では、球は直線PEに沿って遠くから見られ、両方の曲線が見えるように透明であると仮定されています。
円錐が交差する球面は平面と見なすことができ、 ∠ P J I = ∠ P M K {\displaystyle \angle PJI=\angle PMK}
円錐と平面の交点は楕円であるため、この場合、交点は長軸IHとKLを持つ2つの楕円を形成し ます I H K L = P J P M {\displaystyle {\frac {IH}{KL}}={\frac {PJ}{PM}}}
同様の議論により、短軸の比は同じです。これは球面を上から見た場合に明らかです。したがって、2つの楕円は相似であり、面積は長軸の2乗になります。表面の任意の断面の質量はその断面の面積に比例するため、2つの楕円の面積の質量の比は… です ∝ P J 2 P M 2 {\displaystyle \propto {\frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}}
どちらの楕円領域からもJM方向へのPへの引力は、領域の質量に比例し、Pからの距離の2乗に反比例するため、Pから球までの距離とは無関係です。したがって、2つの微小楕円領域からPに働く力は等しく反対方向であり、JM方向への正味の力は存在しません。
Pの位置とJMの方向はどちらも任意であるため、中空球内の粒子は球の質量から正味の力を受けません。
注：ニュートンは単に弧IHとKLを「最小限に小さい」と表現し、線ILとHKによって描かれる領域は任意の形状（必ずしも楕円形である必要はありませんが、常に相似形になります）をとることができます。
中空球の外側の点に働く力
図1は、中空球の中心Sと球外の任意の点Pを通る断面です。PTは、Tにおける円の接線で、Pを通過します。HIは、PHがPTより小さい表面上の小さな弧です。PIを延長して球とLで交差させ、SFをILを二等分する点Fまで引きます。PHを延長して球とKで交差させ、SEをHKを二等分する点Eまで引きます。SFを延長してHKとDで交差させます。Pと中心Sを結ぶ線PSに垂線IQを下します。球の半径をa、距離PSをDとします。
弧IHを図の平面から垂直に、小さな距離ζだけ延長します。生成される図形の面積はであり 、 その質量はこの積に比例します。 I H ⋅ ζ {\displaystyle IH\cdot \zeta }
この質量によってPと粒子に生じる力は 、線PIに沿っています。 ∝ I H ⋅ ζ P I 2 {\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot \zeta }{PI^{2}}}}
この力の中心方向の成分は です ∝ I H ⋅ P Q ⋅ ζ P I 3 {\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot PQ\cdot \zeta }{PI^{3}}}}
ここで、弧 HIを 線 PSの周りで完全に回転させて、幅 HI 、半径 IQ の環を形成すると 、環の長さは2π ・ IQ 、 面積は2π・IQ・IHです 。 この 環 による P の 粒子への力の PS方向の成分はになります 。 ∝ I H ⋅ I Q ⋅ P Q P I 3 {\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}}
環内の質量は PSを中心に対称に分布しているため、 PS に向かう力の垂直成分は打ち消されます。したがって、 PS 方向の成分は、弧 HIを PS を中心に 回転させることによって形成される環による P へ の力の合計です 。
相似 三角形から ： 、、 I Q P I = F S D {\displaystyle {\frac {IQ}{PI}}={\frac {FS}{D}}} P Q P I = P F D {\displaystyle {\frac {PQ}{PI}}={\frac {PF}{D}}} R I P I = D F P F {\displaystyle {\frac {RI}{PI}}={\frac {DF}{PF}}}
HI が十分に小さく、直線としてとらえられる場合、 は直角であり 、 となる 。 ∠ S I H {\displaystyle \angle SIH} ∠ R I H = ∠ F I S {\displaystyle \angle RIH=\angle FIS} H I R I = a I F {\displaystyle {\frac {HI}{RI}}={\frac {a}{IF}}}
したがって、リングによる P への力は…です 。 ∝ I H ⋅ I Q ⋅ P Q P I 3 = a ⋅ D F ⋅ F S ⋅ P F I F ⋅ P F ⋅ D ⋅ D = a ⋅ D F ⋅ F S I F ⋅ D 2 {\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS\cdot PF}{IF\cdot PF\cdot D\cdot D}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS}{IF\cdot D^{2}}}}
図2で、別の粒子が球の外側の点 p にあり、球の中心から異なる距離 d にあると仮定します。対応する点は小文字で表記されています。比較を容易にするために、図1の P の構築も図2に示されています。前と同様に、 phは pt より小さいです 。
角度とわずかに大きい角度 を作ることで、幅ih、半径iqのリングを生成します。 これ により、距離PSは、iにおけるpSと同じ角度でIに張られます。Hとhについてもそれぞれ同じことが当てはまります。 f i S = F I S {\displaystyle fiS=FIS} d h S = D H S {\displaystyle dhS=DHS}
このリングによるpへの力の合計は
∝ i h ⋅ i q ⋅ p q p i 3 = a ⋅ d f ⋅ f S i f ⋅ d 2 {\displaystyle \propto {\frac {ih\cdot iq\cdot pq}{pi^{3}}}={\frac {a\cdot df\cdot fS}{if\cdot d^{2}}}} 明らかに 、、、 そして f S = F S {\displaystyle fS=FS} i f = I F {\displaystyle if=IF} e S = E S {\displaystyle eS=ES}
ニュートンは、角DPFとdpfが「共に消滅する」ため、極限においてDFとdfは等しいとみなせると主張しています。角DPFとdpfは等しくないことに注意してください。DSとdSは極限において等しくなりますが、DFとdfの両方がゼロに近づくと、DFとdfの比が1になるという意味ではありません。有限の場合、DFはDに依存し、dfはdに依存するため、等しくありません。
極限におけるDFとdfの比は重要であるため、より詳細な分析が必要です。相似な直角三角形とから、 と なり ます 。DF について二次方程式を解くと、極限においてESがFSに近づくにつれて、より小さい根、となります 。 もっと簡単に言えば、DFがゼロに近づくにつれて、極限において項は 無視でき、 同じ結果になります。明らかにdfにも同じ極限があり、ニュートンの主張を正当化しています D F P F = E D E S {\textstyle {\frac {DF}{PF}}={\frac {ED}{ES}}} E D 2 = ( D F + F S ) 2 − E S 2 {\displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}} ( P F 2 − E S 2 ) D F 2 P F 2 + 2 ⋅ F S ⋅ D F + F S 2 − E S 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\left(PF^{2}-ES^{2}\right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} D F = E S − F S {\displaystyle DF=ES-FS} D F 2 {\displaystyle DF^{2}} 2 ⋅ F S ⋅ D F + F S 2 − E S 2 = 0 {\displaystyle 2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0}
PSを中心に回転する環HIからの力と、pSを中心に回転する環hiからの力を比較すると、これら2つの力の比はに等しくなります 。 d 2 D 2 {\textstyle {\frac {d^{2}}{D^{2}}}}
弧ATとBtを対応する微小環に分割すると、PSを中心に回転する弧ATによる力とpSを中心に回転する弧Btによる力の比は同じであり、同様に、両方を回転させる弧TBによる力とtAによる力の比も同じです。
したがって、中空球の中心から任意の距離Dにある粒子に働く力はに反比例し 、 これは命題を証明します。 D 2 {\displaystyle D^{2}}
一般相対性理論における殻定理 殻定理の類似物は 一般相対性理論 （GR）
に存在します
球対称性は、中心質量が重力崩壊を起こしている場合でも、計量が時間に依存しないシュワルツシルト幾何学に従うことを意味する（Misner et al. 1973; バーコフの定理を 参照）。したがって、 計量は 以下の形をとる
。
d s 2 = − ( 1 − 2 M / r ) d t 2 + ( 1 − 2 M / r ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r)\,dt^{2}+(1-2M/r)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega ^{2}} （幾何化された単位 、ここで を 使用 ）。 （ は何らかの質量殻の半径） の場合、質量は 原点で デルタ関数として作用する。 の場合 、 質量殻は外部に存在する可能性があるが、計量が 原点で 非特異 であるためには、計量において がゼロでなければならない。これにより、計量は平坦な ミンコフスキー空間 に縮小される。したがって、外部殻は重力の影響を受けない。 G = c = 1 {\displaystyle G=c=1} r > R > 0 {\displaystyle r>R>0} R {\displaystyle R} r < R {\displaystyle r<R} M {\displaystyle M}
この結果は、ブラックホールにつながる 重力崩壊 と、それが事象の地平線の内外における光線と粒子の運動に与える影響を明らかにする（Hartle 2003、第12章）。
参照 ウィキメディア・コモンズには、殻定理 に関連するメディアがあります 。
参考文献 ^ ニュートン、アイザック (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. ロンドン. pp. 193, Theorem XXXI ^ abc Gurzadyan, Vahe (1985). 「McCrea-Milne宇宙論スキームにおける宇宙定数」 The Observatory . 105 : 42–43 . 書誌コード :1985Obs...105...42G. https://adsabs.harvard.edu/full/1985Obs...105...42G&lang=en ^ Arens, Richard (1990年1月1日). 「均一な薄い球面殻の場に関するニュートンの観測」 Note di Matematica . X (Suppl. n. 1): 39– 45. ^ Kuhn, Paulo. 「異なる形状におけるデバイ-ヒュッケル相互作用、または湯川ポテンシャル」 (PDF) . 2025年 2月14日 閲覧 ^ マクドナルド、カーク (2021年12月20日) [1984年4月17日]. 「湯川理論における結合定数のナイーブ推定」 (PDF) . 2025年 2月14日 閲覧 . ^ 「一般ポテンシャルの殻定理」. Mathematics Stack Exchange . 2025年 2月14日 閲覧 . ^ ミシェル・シャスル , 外点におけるヘテロ楕円体の引力問題の新たな解, Jour. Liouville 5, 465–488 (1840) ^ Rodrigues, Hilário (2014年5月11日). 「楕円体構成の運動量決定について」. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 440 (2): 1519– 1526. arXiv : 1402.6541 . doi : 10.1093/mnras/stu353 . 
この質点がy軸に沿って上方に点 まで移動したとします。質点との間の距離は以前よりも長くなり、はと の直角三角形の斜辺になります。したがって、上昇した点の重力場は
次のようになります
![{\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8512814d0f6f639d75f2eaa22a54240d7e56763)
