メトリック署名

数学において、計量テンソル $g$ (またはそれと同等の、有限次元ベクトル空間上の実対称双線型形式と考えられる実二次形式)のシグネチャは、基底に関する計量テンソルの実対称行列 $g$ $ab$ の正、負、およびゼロの固有値の数 (重複度付き) です。あるいは、最大の正およびヌル部分空間の次元として定義することもできます。シルベスターの慣性法則により、これらの数は基底の選択に依存せず、したがって計量を分類するために使用できます。これは 3 つの整数 $($ $v$ $、$ $p$ $、$ $r$ $)$ で表されます。ここで、 v は正の固有値の数、 p は負の固有値の数、 r は計量テンソルのゼロの固有値の数です。これはまた、 $r$ $= 0$ を意味する $($ $v$ $,$ $p$ $)$ と表記されることもあり、あるいは、 $(1, 3, 0)$ と $(3, 1, 0)のそれぞれに対して$ $(+, -, -, -)$ または $(-, +, +, +)$ のような固有値の符号の明示的なリストとして表記されることもある。^[¹^] $変数名v$ と $p$ の選択は、 $v が$ 時間または仮想次元の数を表し、 $p$ が空間または物理次元の数を表すという相対論的物理学の慣例を反映している。

$v$ と $p が$ 両方とも非ゼロの場合、符号は不定または混合であると言われ、 $r$ が非ゼロの場合、符号は退化していると言われます。リーマン計量とは、正定符号 $($ $v$ $, 0)$ を持つ計量です。ローレンツ計量とは、符号 $($ $p$ $, 1)$ または $(1,$ $p$ $)$ を持つ計量です。

非退化計量テンソルの符号という別の概念があり、これは単一の数 $s$ によって定義され、 $(v - p)$ と定義されます。ここで $v$ と $p は$ 上記の通りです。これは、次元 $n = v + p$ が与えられているか暗黙的である場合の上記の定義と等価です。例えば、 $(+, -, -, -)$ の場合、 $s = 1 - 3 = -2 となり、$ $(-, +, +, +)$ の場合、その鏡像である $s'$ $= -$ $s$ $= +2 となります$ 。

意味

計量テンソルの符号は、対応する二次形式の符号として定義される。^{[ 2 ]}これは、その形式を表す任意の行列（すなわち、基礎となるベクトル空間の任意の基底）の正、負、および零の固有値の数 $（ v 、 p 、 r ）であり、それらの$ 代数的重複度で数えられる。通常、 $r$ $= 0$ が要求される。これは、計量テンソルが非退化でなければならない、すなわち、すべてのベクトルに直交する非零ベクトルは存在しない、ということと同じである。

シルベスターの慣性の法則により、数値 $(v 、 p 、 r)$ は基底に依存しません。

プロパティ

署名と次元

スペクトル定理によれば、実数上の対称 $n \times n$ 行列は常に対角化可能であり、したがって、ちょうど $n個の$ 実固有値（代数的重複度で数える）を持つ。したがって、 $v + p = n = dim(V)$ となる。

シルベスターの慣性法則：基底選択の独立性と直交基底の存在

シルベスターの慣性法則によれば、スカラー積（実対称双線形形式とも呼ばれる）のシグネチャ $g は$ 基底の選択に依存しません。さらに、シグネチャ $($ $v$ $,$ $p$ $,$ $r$ $)のすべてのメトリック$ $gに対して、$ $a$ $=$ $b$ $= 1, ...,$ $v$ のときに $g$ $ab$ $= +1 、$ $a$ $=$ $b$ $=$ $v$ $+ 1, ...,$ v $+$ $p$ $の$ ときに $g$ $ab$ $= -1$ 、それ以外のときに $g$ $ab$ $= 0 と$ なるような基底が存在します。したがって、 $g$ $1$ と $g$ $2$ のシグネチャが等しい場合にのみ、等長変換 $($ $V$ $1$ $,$ $g$ $1$ $) \to ($ $V$ $2$ $,$ $g$ $2$ $)$ が存在することになります。同様に、シグネチャは 2 つの合同な行列に対して等しく、合同性を除いて行列を分類します。同様に、署名は対称ランク2反変テンソル空間 $S$ $2$ $V$ $*$ 上の一般線型群 $GL($ $V$ $)$ の軌道上で定数であり、各軌道を分類します。

指標の幾何学的解釈

数 $v$ （または $p ）は、スカラー積$ $g$ が正定値（または負定値）となるベクトル部分空間の最大次元であり、 $r$ はスカラー積 $g$ の根号、またはスカラー積の対称行列 $g$ $ab$ の零部分空間の次元である。したがって、非退化スカラー積はシグネチャ ( v , p , 0) を持ち、 $v$ $+$ $p$ $=$ $n$ と $なる$ $。$ $特殊$ $な$ $ケース$ ( v , p , 0) の双対性は、 $相互$ $に$ $鏡映$ $変換$ $できる$ 2つのスカラー固有値に対応する。

例

行列

$n \times n$ 単位行列の符号は $(n, 0, 0)$ です。対角行列の符号は、その主対角線上にある正の数、負の数、およびゼロの数です。

次の行列は両方とも同じシグネチャ $(1, 1, 0)を持つため、$ シルベスターの慣性法則により合同です。

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

スカラー積

で定義される標準スカラー積は $n$ 次元シグネチャ $($ $v$ $、$ $p$ $、$ $r$ $)$ を持ちます。ここで $、 v$ $+$ $p$ $=$ $n$ 、ランク $r$ $=$ $0 です$ 。 $\mathbb {R} ^{n}$

物理学において、ミンコフスキー空間は $v$ $= 1$ および $p$ $= 3$ の基底を持つ時空多様体であり、次のいずれかの行列によって定義されるスカラー積を持ちます。 $\mathbb {R} ^{4}$ ${\check {g}}$

{\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

これは、署名があり、空間至上性または空間のようなものとして知られています。または、マトリックスとミラーリング署名があり、仮想至上性または時間のようなものとして知られています。 $(1,3,0)^{-}$ $(1,3,0)^{+}$ ${\hat {g}}$

{\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}

署名の計算方法

行列のシグネチャを計算する方法はいくつかあります。

任意の非退化対称 $n \times n$ 行列を対角化して（またはすべての固有値を見つけて）、正と負の符号の数を数えます。
対称行列の場合、特性多項式にはすべての実根があり、その符号は場合によってはデカルトの符号規則によって完全に決定されることがあります。
ラグランジュのアルゴリズムは、直交基底を計算し、それによって他の行列と合同な（つまり、同じ署名を持つ）対角行列を計算する方法を提供します。対角行列の署名は、その対角線上の正、負、およびゼロの要素の数です。
ヤコビの基準によれば、対称行列が正定値行列となるのは、その主な小行列式の行列式がすべて正である場合のみです。

物理学における署名

数学では、任意のリーマン多様体に対する通常の慣例により、正定値計量テンソルが使用されます(つまり、対角化後、対角線上の要素はすべて正になります)。

理論物理学では、時空は擬リーマン多様体によってモデル化される。このシグネチャは、特殊相対論で定義される意味で、時空に時間的または空間的な特性がいくつあるかを数える。素粒子物理学で用いられるように、計量は時間的部分空間に固有値を持ち、その鏡像となる固有値は空間的部分空間に持つ。ミンコフスキー計量の具体的なケースでは、

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

メトリックシグネチャは、固有値が時間方向に定義されている場合はまたは (+, −, −, −) 、固有値が3つの空間方向 $x$ 、 $y$ 、 $z$ に定義されている場合はまたは (−, +, +, +) です。(反対の符号規則が使用される場合もありますが、ここで示されている規則では $s は$ 直接固有時を測定します。) $(1,3,0)^{+}$ $(1,3,0)^{-}$

署名の変更

計量があらゆる点で正則である場合、計量の符号は一定である。しかし、ある超曲面上で計量が退化または不連続となる場合、計量の符号はこれらの曲面上で変化する可能性がある。^{[ 3 ]}このような符号が変化する計量は、宇宙論や量子重力への応用が期待される。

参照

注記

^ローランド、トッド。「行列署名」。Eric W. Weisstein作成のMathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
^ Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939].場の古典理論. 理論物理学講座. 第2巻（第4版）. Butterworth–Heinemann . pp. 245– 246. ISBN 0-7506-2768-9。
^ Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). 「重力とシグネチャ変化」.一般相対性理論と重力. 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

[1] ローランド、トッド。「行列署名」。Eric W. Weisstein作成のMathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html

[2] Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939].場の古典理論. 理論物理学講座. 第2巻（第4版）. Butterworth–Heinemann . pp. 245– 246. ISBN 0-7506-2768-9。

[3] Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). 「重力とシグネチャ変化」.一般相対性理論と重力. 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

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v t e リーマン幾何学（用語集）
基本概念	曲率テンソルスカラーリッチセクショナル指数マップ測地線内積計量テンソルレヴィ＝チヴィタ接続共変微分サインインデックスの上げ下げ/音楽同型性平行輸送リーマン多様体擬リーマン多様体リーマン体積形式
多様体の種類	エルミート双曲線ケーラー監物
主な結果	リーマン幾何学の基本定理ガウスの補題ガウス・ボネ定理ホップ・リノウ定理ナッシュ埋め込み定理リッチフローシュアーの補題
一般化	フィンスラーヒルベルト亜リーマン
アプリケーション	一般相対性理論幾何化予想ポアンカレ予想均一化定理