単純な連分数

Number represented as a0+1/(a1+1/...)

単純連分数または正則連分数とは、分子がすべて1で、分母が整数の列で構成される連分数です。この列は有限または無限であり、結果として有限（または終端）連分数 となります。 ${\displaystyle \{a_{i}\}}$

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}$

または、次のような無限連分数

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}.}$

通常、このような連分数は、ある数をその整数部と別の数の逆数の和として表し、次にこの別の数をその整数部と別の逆数の和として表す、という繰り返しのプロセスによって得られます。有限の場合、反復/再帰は有限回のステップで停止し、別の連分数の代わりに整数が使用されます。対照的に、無限連分数は無限式です。どちらの場合も、最初の整数を除くすべての整数は正でなければなりません。これらの整数は連分数の係数または項と呼ばれます。^[1] ${\displaystyle a_{i}}$

単純な連分数は、整数や実数に対するユークリッド互除法に関連するいくつかの注目すべき性質を持っています。すべての有理数は、 ${\displaystyle p}$/ ${\displaystyle q}$⁠ には有限連分数として密接に関連した2つの式があり、その係数a _{i は}ユークリッドの互除法を に適用することで決定できます。無限連分数の数値は無理数です。これは、その無限の整数列から、有限連分数の値の列の極限として定義されます。列の各有限連分数は、無限連分数の定義整数列の有限接頭辞を使用することで得られます。さらに、すべての無理数は、一意の無限正規連分数の値であり、その係数は、通約不可能な値および 1に適用されるユークリッドの互除法の非終了バージョンを使用して見つけることができます。実数（有理数と無理数）を表すこの方法は、連分数表現と呼ばれます。 ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

動機と表記

例えば、有理数を考えてみましょう ⁠415/93⁠、これは約4.4624です。最初の近似値として、整数部分である4から始めます。415/93⁠ = 4 + ⁠43/93⁠。小数部分は⁠の逆数です。93/43⁠は約2.1628です。整数部2を逆数の近似値として用いると、4 + ⁠の2番目の近似値が得られます。1/2⁠ = 4.5。さて、⁠93/43⁠ = 2 + ⁠7/43⁠ ; 残りの小数部分、 ⁠7/43⁠は⁠の逆数です43/7⁠、そして⁠43/7⁠は約6.1429です。近似値として6を使うと、2 + ⁠が得られます。1/6⁠の近似値として⁠93/43⁠と4 + ⁠1/2 + ⁠1/6⁠⁠、約4.4615を3番目の近似値として採用する。さらに、 ⁠43/7⁠ = 6 + ⁠1/7最後に小数部、⁠1/7⁠は 7 の逆数なので、このスキームでの近似値 7 は正確です ( ⁠7/1⁠ = 7 + ⁠0/1⁠ ）と、 ⁠の正確な式を生成します。 $${\displaystyle 4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}}$$415/93⁠。

この式は連分数表現と呼ばれます。415/93これは省略表記で表すことができます⁠415/93⁠ = [4; 2, 6, 7]。最初の数字の後にセミコロンを付けて、それが整数部分であることを示すのが慣例です。古い教科書の中には、( n + 1)組のすべてにコンマを使用するものもあります。例えば、[4, 2, 6, 7]です。^{[2] [3]}

開始数が有理数の場合、このプロセスは、その数の分子と分母に適用されるユークリッドの互除法と全く同じです。特に、このプロセスは必ず終了し、その数の有限連分数表現を生成します。この表現に現れる整数の列は、ユークリッドの互除法によって計算される連続する商の列です。開始数が無理数の場合、このプロセスは無限に続きます。これにより、すべて有理数である近似値の列が生成され、これらは極限として開始数に収束します。これが、その数の（無限）連分数表現です。無理数の連分数表現の例を以下に示します。

• √ 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] ( OEISの配列A010124 )。このパターンは周期6で無限に繰り返されます。
• e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...](OEISのシーケンスA003417 )。このパターンは、各サイクルの項の1つに2が加算されることを除いて、周期3で無限に繰り返されます。
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] ( OEISの配列A001203 )。この表現に一致するパターンはこれまで発見されていない。
• φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] ( OEISのシーケンスA000012 )。黄金比は、有理的に近似するのが「最も難しい」無理数です(下記の § 黄金比 φ の性質を参照)。
• γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] ( OEISの配列A002852 )。オイラー・マスケロニ定数 は、無理数であると予想されるものの、その数は知られておらず、その連分数には明らかなパターンがない。

連分数は、ある意味では、小数表現などの他の表現よりも「数学的に自然な」実数の表現であり、いくつかの望ましい特性を持っています。

• 実数の連分数表現が有限となるのは、それが有理数である場合に限ります。一方、有理数の小数表現は有限となる場合があります。例えば、⁠137/1600⁠ = 0.085625、または繰り返しサイクルで無限、例⁠4/27⁠ = 0.148148148148...
• すべての有理数は、本質的に唯一の単純な連分数表現を持つ。[ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} , a _n ] = [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} ,( a _n −1),1]であるため、各有理数は正確に2通りの方法で表現できる。通常、最初の短い方が標準的な表現として選択される。
• 無理数の単純な連分数表現は一意です。（ただし、一般化連分数を使用すると追加の表現が可能になります。以下を参照してください。）
• 連分数が最終的に循環する実数は、まさに二次無理数である。^[4]例えば、循環連分数[1;1,1,1,...]は黄金比であり、循環連分数[1;2,2,2,...]は2 の平方根である。対照的に、二次無理数の小数表現は一見ランダムである。完全な平方数ではないすべての（正の）整数の平方根は二次無理数であり、したがって唯一の周期連分数である。
• 数値の連分数表現を求める際に、つまり連分数表現を切り捨てることによって生成される逐次近似値は、ある意味では（以下に説明）「可能な限り最善」のものです。

処方

標準形の連分数は、

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

ここでa _iは整数であり、連分数の係数または項と呼ばれる。^[1]

式が有限個の項を含む場合、それは有限連分数と呼ばれます。式が無限個の項を含む場合、それは無限連分数と呼ばれます。^[5]項が最終的にある時点から繰り返される場合、その連分数は周期的と呼ばれます。^[4]

したがって、次のすべては有効な有限単純連分数を示しています。

有限単純連分数の例

式	数値	備考
${\displaystyle \ a_{0}}$	${\displaystyle \ 2}$	すべての整数は退化している
${\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}}$	${\displaystyle \ 2+{\cfrac {1}{3}}}$	最も単純な分数形式
${\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}}$	${\displaystyle \ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}}$	最初の整数は負の可能性がある
${\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}}$	${\displaystyle \ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}}$	最初の整数はゼロの可能性がある

形の単純な連分数の場合

${\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

この項は次の再帰シーケンスから計算できます。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f_{n+1}={\frac {1}{f_{n}-\lfloor f_{n}\rfloor }}}$

ここで、および。 ${\displaystyle f_{0}=r}$ ${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor f_{n}\right\rfloor }$

これから、 が整数の場合、シーケンスが停止することがわかります。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor }$

表記

次のように表される連分数を考えてみましょう。

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}}$

このような連分数表現は垂直方向のスペースをかなり占有する可能性があるため、それを縮小するためのさまざまな方法が試みられてきました。

ゴットフリート・ライプニッツは時々 ^[6]という表記法を使った。

${\displaystyle {\begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}}$

その後、同じアイデアがさらに発展し、例えばアルフレッド・プリングシャイムによって 、入れ子になった分数線が一列に描かれるようになりました。

${\displaystyle x=a_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{1}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{2}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{3}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {1}{\,a_{4}}}\!{{\!{\big |}} \atop {}},}$

あるいはより一般的な関連表記では^[7]

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}}$

または

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.}$

カール・フリードリヒ・ガウスは、和の記法を彷彿とさせる記法を使用した。

${\displaystyle x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},}$

または分子が常に1の場合は分数バーを完全に削除し、リスト形式で記述します。

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].}$

リスト形式の表記では、代わりに山括弧が使用されることもあります。

${\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .}$

角括弧や山括弧の表記法では、セミコロンがコンマに置き換えられることがあります。^{[2] [3]}

無限単純連分数を極限として定義することもできます。

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}$

この限界は、 と正の整数の任意の選択に対して存在します。^{[8] [9]} ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$

連分数表現の計算

実数⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$を考えます。 ⁠ ⁠ とし、 ⁠ ⁠とします。⁠ ⁠のとき、 の連分数表現は⁠ ⁠で あり、は⁠ ⁠の連分数表現です。⁠ ⁠のとき、はの整数部、 は⁠ ⁠の小数部です。 ${\displaystyle i=\lfloor r\rfloor }$ ${\displaystyle f=r-i}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [i;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle [a_{1};a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

数 の連分数表現を計算するには、の切り捨て値を書き留めます。この値を から引きます。差が0であれば処理を中止し、そうでない場合は差の逆数を求めて処理を繰り返します。この処理は、 が有理数である場合に限り停止します。この処理は、 が有理数である場合、ユークリッドの互除法を用いて効率的に実装できます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

以下の表は、数値⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245=649/200}$に対するこの手順の実装を示しています。

ステップ	実数 ​	整数 部分	小数 部分	簡略化	f の逆数
1	${\displaystyle r={\frac {649}{200}}}$	${\displaystyle i=3}$	${\displaystyle f={\frac {649}{200}}-3}$	${\displaystyle ={\frac {49}{200}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {200}{49}}}$
2	${\displaystyle r={\frac {200}{49}}}$	${\displaystyle i=4}$	${\displaystyle f={\frac {200}{49}}-4}$	${\displaystyle ={\frac {4}{49}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {49}{4}}}$
3	${\displaystyle r={\frac {49}{4}}}$	${\displaystyle i=12}$	${\displaystyle f={\frac {49}{4}}-12}$	${\displaystyle ={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {4}{1}}}$
4	${\displaystyle r=4}$	${\displaystyle i=4}$	${\displaystyle f=4-4}$	${\displaystyle =0}$	停止

⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245}$の連分数はこのように展開されます。 ${\displaystyle [3;4,12,4],}$

$${\displaystyle {\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.}$$

最大の正方形をその縦横比の長方形に繰り返し当てはめることによって、その数の連分数をグラフ的に求める

逆数

正の有理数とその逆数の連分数表現は、それぞれが1より小さいか大きいかに応じて1つ左または右にシフトする点を除いて、同じです。言い換えれば、とで表される数は逆数です。 ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle [0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]}$

例えば整数の場合、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<1}$

${\displaystyle x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$そして。 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}}$

もしそうなら ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle x=a+{\frac {1}{b}}}$そして。 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$

連分数の剰余を生成する最後の数は、その逆数とその両方で同じになります。 ${\displaystyle x}$

例えば、

${\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}$そして。 ${\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}$

有限連分数

全ての有限連分数は有理数を表し、全ての有理数は、最初の係数が整数で他の係数が正の整数であるという条件のもと、有限連分数として正確に2つの異なる方法で表すことができます。これらの2つの表現は、最終項を除いて一致します。長い表現では連分数の最終項は1です。短い表現では最後の1が省略されますが、新しい最終項は1だけ増加します。したがって、短い表現の最終要素は、存在する場合、常に1より大きくなります。記号で表すと：

[ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{n − 1}、a _n、 1] = [ a ₀ ; a ₁、a ₂、 ...、a _{n − 1}、a _n + 1]。

[ a ₀ ; 1] = [ a ₀ + 1]。

無限連分数と収束

黄金比に近づく収束

すべての無限連分数は無理数であり、すべての無理数は、無限連分数として正確に 1 つの方法で表すことができます。

無理数の無限連分数表現は、その最初の部分が無理数の有理近似値を与えるため有用である。これらの有理数は連分数の収束点と呼ばれる。 ^{[10] [11]}連分数中の項が大きいほど、対応する収束点は近似対象の無理数に近づく。πのような数は連分数中に時折大きな項を持つため、有理数で近似しやすい。一方、eのような数は連分数の最初の部分に小さな項しか持たないため、有理数で近似するのがより困難である。黄金比φは、あらゆる場所で項が1（つまり可能な限り最小の値）になるため、φは有理数で近似するのが最も難しい数となる。したがって、この意味で、φはすべての無理数の中で「最も無理」な数である。偶数収束点は元の数よりも小さく、奇数収束点は元の数よりも大きくなる。

連分数[ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...]の場合、最初の4つの収束点（0から3の番号）は

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}$

3番目の収束式の分子は、2番目の収束式の分子に3番目の係数を掛け、1番目の収束式の分子を加算することで形成されます。分母も同様に形成されます。したがって、各収束式は、連分数と呼ばれる特定の多変数多項式の比として、連分数を用いて明示的に表すことができます。

分子がh ₁、h ₂、...、分母がk ₁、k ₂ 、...である連続収束が見つかった場合、関連する再帰関係はガウス括弧の関係です。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}}$

逐次収束関数は次の式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

したがって、有理近似に新しい項を組み込むには、前の2つの収束点のみが必要です。最初の2つの項に必要な最初の「収束点」は⁰ ⁄ ₁と¹ ⁄ ₀です。例えば、[0;1,5,2,2] の収束点は次のとおりです。

n	−2	−1	0	1	2	3	4
1つの			0	1	5	2	2
h n	0	1	0	1	5	11	27
k n	1	0	1	1	6	13	32

バビロニア法を用いて整数の平方根の逐次近似値を生成する際、最小の整数を第一近似値として開始すると、生成される有理数はすべて連分数の収束値リストに表示されます。具体的には、近似値は収束値リストの0、1、3、7、15、…、  2 ^k −1、…の位置に表示されます。例えば、 の連分数展開は[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …]です。収束値とバビロニア法から導出された近似値を比較すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

n	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
1つの			1	1	2	1	2	1	2	1
h n	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
k n	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

x ₀ = 1 = ⁠1/1⁠

× ₁ = ⁠1/2⁠ (1 + ⁠3/1⁠ ) = ⁠2/1⁠ = 2

× ₂ = ⁠1/2⁠ (2 + ⁠3/2⁠ ) = ⁠7/4⁠

× ₃ = ⁠1/2⁠（⁠7/4⁠ + ⁠3/⁠7/4⁠⁠ ) = ⁠97/56⁠

プロパティ

ベール空間は、自然数の無限列上の位相空間です。無限連分数は、ベール空間から無理実数の空間への同相写像を提供します（部分空間位相は、実数上の通常の位相から継承されます）。無限連分数は、2次無理数と2項有理数との間の写像、および他の無理数から2進数の無限列（つまり、カントール集合）の集合への写像も提供します。この写像はミンコフスキー疑問符関数と呼ばれます。この写像には興味深い自己相似フラクタル特性があり、これらはモジュラー群によって与えられます。モジュラー群は、変換において整数値を持つメビウス変換の部分群です。大まかに言えば、連分数収束は（双曲的な）上半平面に作用するメビウス変換と見なすことができます。これがフラクタルの自己対称性につながります。

(0, 1)に一様分布する確率変数の連分数展開における係数の極限確率分布はガウス・クズミン分布である。

いくつかの有用な定理

が正の整数の無限列である場合、列とを再帰的に定義します。 ${\displaystyle \ a_{0}\ ,}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \ldots \ }$ ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$

${\displaystyle h_{n}=a_{n}\ h_{n-1}+h_{n-2}\ ,}$			${\displaystyle h_{-1}=1\ ,}$		${\displaystyle h_{-2}=0\ ;}$
${\displaystyle k_{n}=a_{n}\ k_{n-1}+k_{n-2}\ ,}$			${\displaystyle k_{-1}=0\ ,}$		${\displaystyle k_{-2}=1~.}$

定理1.任意の正の実数に対して ${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}}$

定理2.の収束は次のように与えられる。 ${\displaystyle \ [\ a_{0}\ ;}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ldots \ ]\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.}$

またはマトリックス形式では、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

定理3.連分数に収束する数が ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,}$

${\displaystyle k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,}$

または同等

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.}$

系 1:それぞれの収束は最小の項にあります (と に非自明な共通約数がある場合、それらは割り切れますが、これは不可能です)。 ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,}$

系2:連続する収束関数間の差は分子が1である分数である。

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.}$

系3:連分数は、次の交代項の列と同等である。

${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

系4:マトリックス

${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

は行列式 を持ち、したがってユニモジュラ行列の群に属する。 ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.}$

系5:行列には行列式、つまり、奇数項は単調に減少し、偶数項は単調に増加することを意味します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}}$$

系 6:分母数列は再帰関係 を満たし、フィボナッチ数列 と少なくとも同じ速さで増加します。フィボナッチ数列自体は のように増加します。ここでは黄金比です。 ${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\dots }$ ${\displaystyle k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}}$ ${\displaystyle O(\phi ^{n})}$ ${\displaystyle \phi =1.618\dots }$

定理4.各(番目)の収束関数は、先行するどの(番目)の収束関数よりも、後続の(番目)の収束関数に近い。記号で表すと、番目の収束関数を ${\displaystyle \ s}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ r}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,}$

${\displaystyle \left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|}$

すべての人のために ${\displaystyle \ r<s<n~.}$

系1:偶数収束関数（番目の前）は継続的に増加するが、常に 未満である。 ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

系2:奇収束関数（番目の前）は連続的に減少するが、常に ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

定理5.

${\displaystyle {\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

系 1:収束する分数は、その分母が収束する分数の分数よりも連分数の極限に近い。

系 2:連分数を大きな項の直前で終了させることによって得られる収束式は、連分数の極限に近い近似値になります。

定理6:端点 を持つすべての開区間の集合を考える。これを と表記する。 の任意の開部分集合は、 からの集合の互いに素な和集合である。 ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

系:無限連分数は、ベール空間から への同相写像を提供します。 ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

セミコンバージェント

もし

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}}$

が連続収束するならば、

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},}$

ここでは整数で、 は半収束、二次収束、または中間分数と呼ばれる。- 次半収束は、 - 次収束の中分数と収束の中分数に等しい。この用語は、収束が半収束の一種であるという意味ではなく、半収束であるが収束（すなわち ）の可能性を排除するという意味に解釈されることもある。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq a_{n+1}}$ ${\displaystyle (m+1)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}}$ ${\displaystyle 0<m<a_{n+1}}$

したがって、半収束は、収束（ に対応）と（ に対応）の間の単調な分数列を表す。連続する半収束と は、性質 を満たす。 ${\displaystyle {\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}}$ ${\displaystyle m=a_{n+1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

実数の有理近似値 が、より小さな分母を持つ任意の近似値よりも小さい場合、 はの連分数展開の半収束となる。しかし、逆は真ではない。 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$

最良有理近似

実数xの最良の有理近似を有理数として定義することもできます⁠n/d⁠ , d > 0であり、これは分母がそれより小さいか等しい近似値よりもxに近い。xの単純連分数を用いて、以下の3つの規則を適用することで、 xの最良の有理近似値をすべて生成することができる。

1. 連分数を切り捨て、その最後の項を選択した量（ゼロの可能性もある）だけ減らします。
2. 短縮された期間は、元の値の半分未満にすることはできません。
3. 最終項が偶数の場合、対応する半収束が前の収束よりも優れている場合にのみ、その値の半分が許容されます。（下記参照）

例えば、0.84375 は連分数 [0;1,5,2,2] を持ちます。以下に、その有理数近似値をすべて示します。

連分数	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
有理近似	1	⁠3/4⁠	⁠4/5⁠	⁠5/6⁠	⁠11/13⁠	⁠16/19⁠	⁠27/32⁠
10進数相当	1	0.75	0.8	約0.83333	約0.84615	約0.84211	0.84375
エラー	+18.519%	−11.111%	−5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

π（緑の円）、e（青いひし形）、φ （ピンクの長方形）、(√3)/2（灰色の六角形）、1/√2（赤い八角形）、1/√3（オレンジ色の三角形）の有理近似値を連分数展開から計算し、真の値（黒の破線）からの誤差を含む   傾きy / xとしてプロットした。

• v
• t
• e

追加の項が含まれるにつれて分母が厳密に単調に増加するため、アルゴリズムは分母のサイズまたは近似値の近さのいずれかに制限を課すことができます。

上で述べた「半分のルール」は、 a _{k が}偶数の場合、半分の項a _k /2 が許容されるのは、| x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} ]| > | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k /2]|のときのみであることを要求している。^[12]これは次式と等価である: ^[13]

[ a _k ; a _{k − 1} , ..., a ₁ ] > [ a _k ; a _{k + 1} , ...]。

xへの収束は、上で定義したものよりもはるかに強い意味で「最良近似」です。つまり、n / dがxの収束となるのは、c ≤ dを満たすすべての有理近似m / cの類似表現の中で| dx − n |が最小の値を持つ場合のみです。つまり、c < dである限り、 | dx − n | < | cx − m |が成り立ちます。（また、 k → ∞のとき| d _k x − n _k | → 0 となることにも注意してください。）

区間内の最良有理数

0 < x < yの区間( x ,  y )に含まれる有理数は、xとyの連分数で求めることができる。xとyが無理数で、

x = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , a _k , a _{k + 1} , ...]

y = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , b _k , b _{k + 1} , ...]

ここで、_{x と y は k −1}まで同じ連分数展開_を持ち、区間( x ,  y )に含まれる有理数は有限連分数で与えられる。

z ( x , y ) = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , min( a _k , b _k ) + 1]

この有理数は、 （x、  y）内の他の有理数がこれより小さい分子または分母を持たないという意味で最適である。 ^{[14] [15]}

xが有理数の場合、有限な連分数表現x ₁とx ₂が2つあります。同様に、有理数 y もy ₁とy ₂の2つの表現を持ちます。これらの表現の最後の係数を超える係数は+∞と解釈され、最適な有理数はz ( x ₁ ,  y ₁ )、z ( x ₁ ,  y ₂ )、z ( x ₂ ,  y ₁ )、またはz ( x ₂ ,  y ₂ )のいずれかになります。

例えば、小数表現3.1416は、区間[3.14155, 3.14165)内の任意の数値から丸めることができます。3.14155と3.14165の連分数表現は次のとおりです。

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

そして、この2つの中で最も合理的なのは

[3; 7, 16] = ⁠355/113⁠ = 3.1415929....

したがって、⁠355/113⁠ は、丸められた小数 3.1416 に対応する最良の有理数です。これは、3.1416 に丸められる他の有理数は、これより小さい分子または分母を持たないという意味です。

収束区間

有理数は、有限連分数として2通りの方法で表現できる。

z = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 1] = ⁠p _k/q _k⁠

は、数が厳密に の間にある場合のみ、連分数展開の収束の1つになります（この証明を参照）。

x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 2] = ⁠2 p _k - p _k-1/2 q _k - q _k-1⁠そして

y = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 2] = ⁠p _k + p _k-1/q _k + q _k-1⁠

xとyは、 zの2つの表現における最後の係数を増分することで形成されます。kが偶数の場合にはx < yとなり、kが奇数の場合にはx > yとなります。

たとえば、数字⁠355/113⁠ ( Zu 分数) は連分数表現を持つ

⁠355/113⁠ = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

そしてこうして⁠355/113⁠は、厳密に次の間の任意の数の収束である 。

[3; 7, 15, 2]	＝	⁠688/219⁠ ≈ 3.1415525
[3; 7, 17]	＝	⁠377/120⁠ ≈ 3.1416667

連分数に関するルジャンドルの定理

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは、著書『数理論論』（1798年）の中で、有理数が与えられた実数の連分数の収束となるための必要十分条件を導出した。^[16]この基準は、連分数の研究ではルジャンドルの定理と呼ばれることが多く、次のような帰結となる。 ^[17]

定理。α が実数で、p、q が となる正の整数である場合、 p / qはαの連分数の収束式となる。 ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

証拠

証明GHハーディとEMライトの『数論入門』に示されている証明に従う。[18] α、p、qが となるような値であり、 α > p / qであると仮定します。この場合、 と書くことができます（ただし、0 < θ < 1/2）。p / q は有限連分数 [ a 0 ; a 1 , ..., a n ] と書きます。ここで、各有理数は長さが1異なる有限連分数として2つの異なる表現（つまり、a n = 1 の場合とa n ≠ 1 の場合）を持つため、nを偶数として選ぶことができます。（ α < p / qの場合は、 nを奇数として選びます。） ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha -{\frac {p}{q}}={\frac {\theta }{q^{2}}}}$ p 0 / q 0 , ..., p n / q n = p / qをこの連分数展開の収束点とします。 と設定し、したがって となります。ここで、p n −1 q n - p n q n −1 = (-1) nであり、nが偶数であるという事実を用いました。 ${\displaystyle \omega :={\frac {1}{\theta }}-{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {q_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}}}$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {p}{q}}+{\frac {\theta }{q^{2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}+{\frac {1}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {(p_{n}q_{n-1}+1)+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}q_{n}+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}+\omega p_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}},}$$ この式は、α = [ a 0 ; a 1 , ..., a n , ω ] を意味します。0 < θ < 1/2であるという事実は、 ω > 1 を意味するため、 αの連分数展開は[ a 0 ; a 1 , ..., a n , b 0 , b 1 , ...]でなければならないと結論付けます。ここで [ b 0 ; b 1 , ...] はωの連分数展開であり、したがってp n / q n = p / qはαの連分数の収束式となります。

この定理は、公開鍵と秘密鍵の選択を誤った場合に発生するRSA暗号プロトコルの多項式時間攻撃であるウィーナー攻撃の基礎となっている（具体的には、公開鍵n = pqの素因数がp < q < 2 pを満たし、秘密鍵dが（1/3） n ^1/4未満の場合にこの攻撃が成功する） 。^[19]

比較

x = [ a ₀ ; a ₁ , ...]、y = [ b ₀ ; b ₁ , ...]とします。kがa _kとb _kが等しくない最小のインデックスである場合、 (−1) ^k ( a _k − b _k ) < 0の場合にはx < yとなり、それ以外の場合にはy < xとなります。

そのようなk は存在しないが、一方の展開が他方よりも短い場合、たとえばx = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _n ]かつy = [ b ₀ ; b ₁ , ..., b _n , b _{n + 1} , ...] （ 0 ≤ i ≤ nに対してa _i = bi _）とすると、nが偶数の場合はx < y 、 nが奇数の場合はy < xとなります。

連分数展開πおよびその収束

πの収束を計算するには、a ₀ = ⌊ π ⌋ = 3と設定し、u ₁ = ⁠と定義します。1/π − 3⁠ ≈ 7.0625であり、 a ₁ = ⌊ u ₁ ⌋ = 7、 u ₂ = ⁠1/u ₁ − 7⁠ ≈ 15.9966かつa ₂ = ⌊ u ₂ ⌋ = 15、 u ₃ = ⁠1/u ₂ − 15⁠ ≈ 1.0034 。このように続けると、 πの無限連分数は次のように決定できる。

[3;7,15,1,292,1,1,...]（OEISの配列A001203）。

πの4番目の収束は[3;7,15,1] = ⁠355/113⁠ = 3.14159292035...、ミルとも呼ばれ、 πの真の値にかなり近い値です。

求められた商が上記のように[3;7,15,1]であると仮定しましょう。以下の規則に従うと、連分数を展開することなく、これらの商から得られる収束する分数をすぐに書き出すことができます。

最初の商を1で割ると、最初の分数が得られるが、これは小さすぎる。つまり、⁠3/1⁠ . 次に、この分数の分子と分母に2番目の商を掛け、分子に1を加えると、2番目の分数が得られます。⁠22/7⁠ となり、これは大きすぎます。同様に、この分数の分子と分母に3番目の商を掛け、分子に前の分数の分子を、分母に前の分数の分母を加えると、3番目の分数が得られますが、これは小さすぎます。したがって、3番目の商が15であるため、分子は(22 × 15 = 330) + 3 = 333、分母は(7 × 15 = 105) + 1 = 106となります。したがって、3番目の収束式は⁠333/106⁠ . 4番目の収束についても同様の手順で進めます。4番目の商が1なので、333を1で掛けると333となり、これに前の分数の分子である22を足すと355となります。同様に、106を1で掛けると106となり、これに7を足すと113となります。このように、4つの商[3;7,15,1]を用いて、4つの分数を得ます。

⁠3/1⁠、⁠22/7⁠、⁠333/106⁠、⁠355/113⁠、....

次のMapleコードは円周率の連分数展開を生成する。

要約すると、このパターンは ${\displaystyle {\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}}$ ${\displaystyle {\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}}$

これらの収束点は、 πの真の値よりも小さくなったり大きくなったりしながら、 πに徐々に近づいていきます。ある収束点とπの差は、その収束点と次の収束点の分母の積の逆数よりも小さくなります。例えば、分数⁠22/7⁠はπより大きいが、⁠22/7⁠ − πは⁠より小さい1/7 × 106⁠  =  ⁠1/742⁠（実際、⁠22/7⁠ − πは⁠よりわずかに大きい1/791⁠ = ⁠1/7 × 113⁠）。

前述の性質の証明は、収束する分数の一つとそれに隣接する分数の差を求めると、分子が常に1で分母が二つの分母の積となる分数が得られるという事実から導き出される。したがって、⁠22/7⁠と⁠3/1⁠は⁠1/7⁠、過剰に; 間⁠333/106⁠と⁠22/7⁠、⁠1/742⁠、赤字; 間⁠355/113⁠と⁠333/106⁠、⁠1/11978⁠、過剰に、などなど。結果として、この差の級数を用いることで、ここで扱う分数を、分子がすべて1で、分母が隣接する2つの分母の積となる分数の2番目の級数によって、別の非常に単純な方法で表すことができます。上記の分数の代わりに、次の級数が得られます。

⁠3/1⁠ + ⁠1/1 × 7⁠ − ⁠1/7 × 106⁠ + ⁠1/106 × 113⁠ − ...

最初の項は、ご覧のとおり、最初の分数です。最初の項と2番目の項を合わせると、2番目の分数が得られます。22/7⁠ ; 1番目、2番目、3番目を足して3番目の分数を得る⁠333/106⁠、残りも同様に、結果としてシリーズ全体が元の値と等しくなります。

単純でない連分数

非単純連分数とは、次のような形式の表現である。

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

ここで、a _n ( n > 0) は部分分子、b _nは部分分母であり、最初の項b ₀は連分数の整数部と呼ばれます。

単純でない連分数の使い方を説明するために、次の例を考えてみましょう。πの単純連分数の部分分母の並びは、明確なパターンを示しません。

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]}$

または

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

ただし、 πのいくつかの単純でない連分数は、次のように完全に規則的な構造を持ちます。

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}$

最初の2つはπ = 4 arctan (1)の逆正接関数の特殊なケースであり、4つ目と5つ目はワリス積を使って導くことができる。^{[20] [21]}

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}}$

上記の立方体からなる連分数は、ニラカンタ級数とレオンハルト・オイラーの手法を用いている。^[22] ${\displaystyle \pi }$

その他の連分数展開

周期連分数

周期的な連分数展開を持つ数は、まさに有理係数を持つ二次方程式の無理数解です。有理数解は、前述のように有限の連分数展開を持ちます。最も単純な例は、黄金比φ = [1;1,1,1,1,1,...] と√ 2 = [1;2,2,2,2,...] です。また、√ 14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] と√ 42 = [6;2,12,2,12,2,12...] もこれに該当します。整数の無理数平方根はすべて、周期に関して特殊な形式を持ちます。つまり、 √ 2の場合は空文字列、√ 14の場合は 1,2,1のような対称文字列に、先頭の整数の2倍が続く形式です。

黄金比φの性質

φの連分数展開では1より大きい整数は用いられないため、φは有理数で近似するのが最も「難しい」実数の一つである。ハーヴィッツの定理^[23]によれば、任意の無理数kは無限個の有理数kで近似できる。メートル/n⁠と

${\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}$

事実上すべての実数k は、最終的には無限に収束するが、メートル/n⁠ kからの距離がこの限界よりも大幅に小さい場合、 φ の収束値（つまり、数⁠5/3⁠、⁠8/5⁠、⁠13/8⁠、⁠21/13⁠など）は一貫して「境界をつま先で」、φ からほぼ正確に だけ離れた距離を保つため、たとえば⁠ほど印象的な近似値を生成することはありません。 ${\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}$355/113⁠ πについても同様である。また、 ⁠の形で表される任意の実数は、a + b φ/c + d φ⁠、ここでa、b、c、およびdはa  d − b  c = ±1となる整数であり、この特性は黄金比 φ と共有され、他のすべての実数はより厳密に近似できます。

連分数の規則的なパターン

πの単純な連分数展開には識別可能なパターンはありませんが、自然対数の底であるeにはパターンがあります。

${\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],}$

これは正の整数nに対するこの一般的な表現の特別なケースです。

${\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}$

正の奇数nに対する連分数展開では、さらに複雑なパターンがもう1つ現れます。

${\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}$

n = 1の特別なケース:

${\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}$

この種の他の連分数は

${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]}$

ここでnは正の整数である。また、整数nの場合、

${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}$

n = 1の特別なケース:

${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}$

I _n ( x )が第一種修正ベッセル関数、または双曲型ベッセル関数である場合、有理数上の関数を定義することができる⁠p/q⁠による

${\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}}=I_{2+p/q}(2/q)+{\frac {p+q}{q^{2}}},}$^[24]

これはすべての有理数に対して定義され、pとqは最小の項である。^[25]そしてすべての非負有理数に対して、

${\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],}$

負の有理数についても同様の式が成り立ち、特に

${\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}$

多くの式はガウスの連分数を使って証明できます。

典型的な連分数

ほとんどの無理数は、連分数展開において周期的あるいは規則的な振る舞いを示しません。しかしながら、単位区間上のほぼすべての数においては、同じ極限挙動を示します。

算術平均は発散する：、したがって係数は任意に大きくなる：。特に、これはほとんどすべての数が十分に近似可能であることを意味する。つまり、キンチンはa _iの幾何平均が定数（キンチン定数として知られる）に近づくことを証明した。ポール・レヴィは、 n次収束の分母のn乗根がレヴィ定数に収束することを証明した。ロックスの定理によれば、収束は指数的に次の速度で収束する。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty }$ ${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$

アプリケーション

ペル方程式

連分数はペル方程式を解く上で重要な役割を果たします。例えば、正の整数pとq、および非平方数のnの場合、p ² − nq ² = ±1のとき、⁠p/q⁠は√ nの正則連分数の収束関数である。逆は√ nの正則連分数の周期が1のときに成り立ち、一般に周期はどの収束関数がペル方程式の解を与えるかを記述する。 ^[26]

動的システム

連分数は、マンデルブロ集合に見られるファレー分数とミンコフスキーの疑問符関数およびモジュラー群ガンマを結び付けるなど、力学系の研究でも重要な役割を果たします。

連分数の逆シフト演算子は、ガウス写像と呼ばれる写像h ( x ) = 1/ x − ⌊1/ x ⌋であり、連分数展開h ([0; a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...]) = [0; a ₂ , a ₃ , ...]の桁を切り捨てます。この写像の変換演算子は、ガウス・クズミン・ウィルシング演算子と呼ばれます。連分数の桁の分布は、この演算子の0次固有ベクトルで与えられ、ガウス・クズミン分布と呼ばれます。

歴史

• 紀元前 300 年ユークリッドの『原論』には最大公約数を求めるアルゴリズムが含まれており、その現代版では、連続するユークリッド除算の商の列として連分数が生成されます。
• 499アーリヤバーティヤには連分数を用いた不定方程式の解法が含まれている
• 1572ラファエル・ボンベッリ、「L'Algebra Opera」 - 連分数に関連する平方根の抽出方法
• 1613ピエトロ カタルディ、Trattato del modo brevissimo di trovar la radicequadra delli numeri – 連分数の最初の記法

カタルディは連分数を& & &として表し、点は次の分数が入る場所を示しました。 ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}}$

• 1695年ジョン・ウォリス『オペラ・マテマティカ』 - 「連分数」という用語の導入
• 1737年レオンハルト・オイラー、論文『連分数について』 – 連分数の性質について当時としては初めて包括的な説明を提供し、数eが無理数であることの最初の証明も含まれていた。^[27]
• 1748年 オイラー『無限解析入門』第1巻第18章 – ある種の連分数と一般化された無限級数の同値性、すべての有理数は有限連分数として表せること、無理数の連分数が無限であることを証明した。^[28]
• 1761ヨハン・ランベルト– tan(x)の連分数を用いてπの無理数を初めて証明した。
• 1768ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ– ボンベリの連分数法に似た連分数法を用いてペル方程式の一般解を与えた。
• 1770 ラグランジュ –二次無理数が周期連分数に展開されることを証明した。
• 1813カール・フリードリヒ・ガウス、Werke、第3巻、pp. 134-138 –超幾何関数を含む巧妙な恒等式を用いて、非常に一般的な複素数値連分数を導出した。
• 1892年アンリ・パデはパデ近似を定義した
• 1972ビル・ゴスパー– 連分数演算の最初の正確なアルゴリズム。

参照

• 完全商
• 平方根の連分数の計算 – 平方根を計算するアルゴリズムPages displaying short descriptions of redirect targets
• エジプト分数 – 異なる単位分数の有限和
• エンゲル展開 - 割り切れる単位分数の和 - エジプト分数の一種で、「上昇」連分数として考えることができる
• オイラーの連分数公式 – 数学的恒等式
• 反復二項演算 – シーケンスに対する演算の繰り返し適用
• クライン多面体 – 数の幾何学における形状
• 連分数表現による数学定数
• 制限付き部分商 – 解析級数
• シュテルン・ブロコット木 – 有理数の順序付き二分木

注記

1. Pettofrezzo & Byrkit 1970、p. 150より。
2. Long 1972、p. 173。
3. Pettofrezzo & Byrkit 1970、152ページより。
4. Weisstein 2022.
5. コリンズ 2001.
6. カヨリ、フロリアン（1925年）「ライプニッツ、数学記法の巨匠」『Isis』7（3）：412-429。doi：10.1086 /358328。
7. Swanson, Ellen (1999) [1971]. Mathematics into Type (PDF) . O'Sean, Arlene; Schleyer, Antoinette (Updated ed.) により更新. American Mathematical Society. 2.4.1c "Continued fractions", p. 18.
8. ロング1972年、183ページ。
9. Pettofrezzo & Byrkit 1970年、158ページ。
10. ロング1972年、177ページ。
11. Pettofrezzo & Byrkit 1970年、162～163頁。
12. ティル 2008.
13. シューメイク 1995.
14. Gosper, RW (1977). 「付録2：連分数演算」「最も単純な介入理数」29～31ページを参照。
15. 村上 博 (2015年2月). 「FP区間演算を用いた分母が最小となる区間内の有理数の計算」ACM Communications in Computer Algebra . 48 (3/4): 134– 136. doi :10.1145/2733693.2733711.
16. ルジャンドル、アドリアン＝マリー(1798)。Essai sur la théorie des nombres (フランス語)。パリ: ドゥプラット。27～ 29ページ 。
17. バルボロージ、ドミニク;ヘンドリック・イェーガー (1994)。 「連分数理論におけるルジャンドルの定理について」。ボルドーの貴族雑誌。6 (1): 81–94 .土井:10.5802/jtnb.106。JSTOR  26273940。
18. ハーディ, GH ;ライト, EM (1938). 『数論入門』 ロンドン:オックスフォード大学出版局. pp.  140–141 , 153.
19. Wiener, Michael J. (1990). 「短いRSA秘密指数の暗号解析」. IEEE Transactions on Information Theory . 36 (3): 553– 558. doi :10.1109/18.54902.
20. バンダー＆トニエン 2017.
21. シャイナーマン、ピケット、コールマン 2008年。
22. フォスター 2015.
23. ハーディ＆ライト 2008、定理193。
24. 「第一種修正ベッセル関数：恒等式（式03.02.17.0001）」. functions.wolfram.com . 2025年7月31日閲覧。
25. 「HAKMEM -- 連分数 -- ドラフト、まだ証明されていない」www.inwap.com . 2025年7月31日閲覧。
26. ニーヴン、ザッカーマン、モンゴメリー 1991.
27. サンディファー 2006.
28. オイラー 1748.

参考文献

• バンダー, マーティン W.; トニエン, ジョセフ (2017). 「2つの調和連分数の閉形式表現」.数学ガゼット. 101 (552): 439– 448. doi :10.1017/mag.2017.125. S2CID  125489697.
• Chen, Chen-Fan; Shieh, Leang-San (1969). 「Routhのアルゴリズムによる連分数逆行列計算」. IEEE Transactions on Circuit Theory . 16 (2): 197– 202. doi :10.1109/TCT.1969.1082925.
• コリンズ、ダレン・C. (2001). 「連分数」(PDF) . MIT Undergraduate Journal of Mathematics . 2001年11月20日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• Cuyt, A.; Brevik Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, WB (2008).特殊関数のための連分数ハンドブック. Springer Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2。
• ブリタニカ百科事典 (2013). 「連分数 – 数学」 . 2022年4月26日閲覧。
• オイラー、レオンハルト (1748). 「E101 – 無限解析入門 第1巻」. オイラー・アーカイブ. 2022年4月26日閲覧。
• トニー・フォスター (2015年6月22日). 「今日の定理：定理203」(PDF) . ロビン・ウィッティ. 2013年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年4月26日閲覧.
• グラッグ, ウィリアム B. (1974). 「連分数アルゴリズムの行列解釈と応用」.ロッキーマウンテン数学ジャーナル. 4 (2): 213. doi : 10.1216/RMJ-1974-4-2-213 . S2CID  121378061.
• ハーディ、ゴッドフリー・H.; ライト、エドワード・M. (2008年12月) [1979]. 『数論入門』（第6版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 9780199219865。
• ハイラーマン、JBH (1846)。 「ウーバーはケッテンブリュッヒのフェルヴァンドルング・フォン・ライヘンに死んだ」。数学に関するジャーナル。33 : 174–188 .
• ジョーンズ、ウィリアム・B.; スロン、WJ (1980).連分数：解析理論と応用. 数学とその応用百科事典. 第11巻. リーディング. マサチューセッツ州: アディソン・ウェスリー出版社. ISBN 0-201-13510-8。
• ヒンチン、A. Ya. (1964) [初版ロシア語、1935年] 『連分数』シカゴ大学出版局ISBN 0-486-69630-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ロング、カルビン・T.（1972年12月）『初等数論入門』（第2版）レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、ISBN 9780669627039。
• マグナス, アーネ (1962). 「パデ表に関連した連分数」. Math. Z. 78 : 361–374 . doi : 10.1007/BF01195180. S2CID  120535167.
• ニーヴン、イヴァン、ザッカーマン、ハーバート・S、モンゴメリー、ヒュー・L (1991). 『数論入門』（第5版）. ニューヨーク: Wiley . ISBN 0-471-62546-9。
• ペロン、オスカー(1950)。ディ・レーレ・フォン・デン・ケッテンブリュヘン。ニューヨーク州ニューヨーク: Chelsea Publishing Company。
• ペットフレッツォ, アンソニー・J.; バーキット, ドナルド・R. (1970年12月). 『数論の原論』 エングルウッド・クリフス:プレンティス・ホール. ISBN 9780132683005。
• リーガー、ゲオルク・ヨハン (1982)。 「実数への新しいアプローチ (連分数を動機とする)」(PDF)。Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft。33 : 205–217。2020年 12 月 10 日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。
• ロケット、アンドリュー・M.; シュズ、ピーター (1992).連分数. ワールド・サイエンティフィック・プレス. ISBN 981-02-1047-7。
• サンディファー、C. エドワード (2006). 「第32章eが無理数であることを証明したのは誰か？」オイラーの証明法(PDF) .アメリカ数学協会. pp.  185– 190. ISBN 978-0-88385-563-8LCCN  2007927658. 2014年3月19日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。
• エド・シャイナーマン、トーマス・J・ピケット、アン・コールマン (2008). 「πのもう一つの連分数」アメリカ数学月刊誌. 115 (10): 930– 933. doi :10.1080/00029890.2008.11920610. JSTOR  27642639. S2CID  11914017.
• シューメイク, ケン (1995). 「I.4: 有理近似」. アラン・W. パエス編. 『グラフィックス・ジェムズ V (IBM版)』 . サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック・プレス. pp.  25– 31. ISBN 0-12-543455-3。
• ジーベック、H. (1846)。 「Ueber periodische Kettenbrüche」。数学に関するジャーナル。33：68～ 70
• Thill, M. (2008). 「有理数のためのより正確な丸めアルゴリズム」. Computing . 82 ( 2–3 ): 189–198 . doi :10.1007/s00607-008-0006-7. S2CID  45166490.
• ベン・サーストン (2012). 「平方根の推定：あらゆる平方根に対する一般化連分数表現」ベン・ポール・サーストンのブログ. 2022年4月26日閲覧。
• ウォール、ヒューバート・スタンレー（1948年）『連分数の解析理論』D.ヴァン・ノストランド社ISBN 0-8284-0207-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Weisstein, Eric Wolfgang (2022). MathWorld (編). 「周期連分数」 . 2022年4月26日閲覧。

外部リンク

• 「連分数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ノット、ロン (2018). 「連分数（オンライン複合連分数計算機が利用可能です）」 . 2022年4月26日閲覧。
• Linas Vepstas の Continued Fractions and Gaps (2004) では、連分数の混沌とし​​た構造について解説しています。
• シュテルン・ブロコット木における節点切断時の連分数
• アンティキティラ島の機械 I: ギア比と連分数 2009年5月4日アーカイブ - Wayback Machine
• 連分数計算機、WIMS。
• 連分数演算 ゴスパーの最初の連分数に関する論文。未発表。インターネット・アーカイブのウェイバック・マシンにキャッシュされている。
• ワイスタイン、エリック・W.「連分数」。MathWorld。
• Continued Fractions by Stephen Wolframおよび Continued Fraction approximations of the Tangent Function by Michael Trott、Wolfram Demonstrations Project。
• OEISシーケンスA133593（円周率の「正確な」連分数）
• 連分数 {1; 1, 1, 1, ...} の「分数補間」の概要
• 連分数による最良の有理近似
• CDオルズ著「連分数」

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