特異な測定

数学では、測定空間上で定義された2つの正の（または符号付き、または複素）測度とが、2つの互いに素な測定可能な集合の和が、のすべての測定可能な部分集合上で がゼロであり、のすべての測定可能な部分集合上で がゼロであるような場合、特異測度と呼ばれます。これは次のように表されます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ${\displaystyle A,B\in \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

ルベーグの分解定理の改良された形は、特異測度を特異連続測度と離散測度に分解します。

例Rⁿ

特別な例として、ユークリッド空間 上で定義された測度は、その空間上のルベーグ測度に関して特異であるとき、特異測度と呼ばれます。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例:離散測定。

実数直線上のヘヴィサイド階段関数は、その分布微分としてディラックのデルタ分布を持つ。これは実数直線上の測度であり、 における「質点」である。しかし、ディラック測度はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、 に関しても絶対連続ではない。ただし、 が0を含まない任意の空でない開集合である場合、 となるが、 $${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \delta _{0}:}$ ${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda (U)>0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

例:単一の連続した小節。

カントール分布の累積分布関数は連続ではあるが絶対連続ではなく、絶対連続部分はゼロです。つまり、特異連続です。

例:特異連続測定 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

フレシェ・ホフディングの上限と下限の境界は、2 次元における特異分布です。

参照

• 絶対連続性（測度論）  – 関数の連続性の形式リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• ルベーグの分解定理
• 特異分布 – 測度ゼロの集合に集中した分布

参考文献

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2。
• J・テイラー著『測度と確率入門』 Springer、1996年。ISBN 0-387-94830-9。

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