Discrete probability distribution
スケラム 確率質量関数
スケラム分布の確率質量関数の例。横軸は指数 k である。（この関数は k が整数値の場合のみ定義される。接続線は連続性を示すものではない。） パラメータ μ 1 ≥ 0 , μ 2 ≥ 0 {\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0} サポート k ∈ { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}} PMF e − ( μ 1 + μ 2 ) ( μ 1 μ 2 ) k / 2 I k ( 2 μ 1 μ 2 ) {\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})} 平均 μ 1 − μ 2 {\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,} 中央値 該当なし 分散 μ 1 + μ 2 {\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,} 歪度 μ 1 − μ 2 ( μ 1 + μ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}} 過剰尖度 1 μ 1 + μ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\mu _{1}+\mu _{2}}}} MGF e − ( μ 1 + μ 2 ) + μ 1 e t + μ 2 e − t {\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}} CF e − ( μ 1 + μ 2 ) + μ 1 e i t + μ 2 e − i t {\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}
スケラム 分布は、 統計的に独立した 2つの 確率変数 の差の 離散確率分布 であり 、 それぞれが 期待値 とを持つ ポアソン 分布に従います。スケラム分布は、単純な 光子ノイズ を含む2つの画像の差の統計を記述するのに有用であるだけでなく、 野球 、 ホッケー 、 サッカー など、すべての得点が等しいスポーツにおける 点の広がり 分布を記述するのにも有用です 。 N 1 − N 2 {\displaystyle N_{1}-N_{2}} N 1 {\displaystyle N_{1}} N 2 , {\displaystyle N_{2},} μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} μ 2 {\displaystyle \mu _{2}}
この分布は、従属ポアソン確率変数の差の特殊なケースにも適用できますが、これは 2 つの変数に共通の加法的な確率寄与があり、それが差分によって打ち消されるという明白なケースのみです。詳細と応用については、Karlis & Ntzoufras (2003) を参照してください。
平均とを 持つ2つの独立したポアソン分布の確率変数間の 差に対するスケラム分布の 確率 質量関数は 次のように与えられます。 K = N 1 − N 2 {\displaystyle K=N_{1}-N_{2}} μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} μ 2 {\displaystyle \mu _{2}}
p ( k ; μ 1 , μ 2 ) = Pr { K = k } = e − ( μ 1 + μ 2 ) ( μ 1 μ 2 ) k / 2 I k ( 2 μ 1 μ 2 ) {\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}
ここで、 I k ( z ) は 第一種 修正ベッセル関数です。k は 整数なので、 I k ( z ) = I | k | ( z ) となります。
導出 平均μを持つポアソン分布 に従う確率変数の 確率 質量関数は 次のように与えられる。
p ( k ; μ ) = μ k k ! e − μ . {\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,}
（ そうでなければゼロ）。2つの独立したカウントの差に対するスケラム確率質量関数は、 2つのポアソン分布の 畳み込み である。（ スケラム 、1946年） k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} K = N 1 − N 2 {\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}
p ( k ; μ 1 , μ 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ p ( k + n ; μ 1 ) p ( n ; μ 2 ) = e − ( μ 1 + μ 2 ) ∑ n = max ( 0 , − k ) ∞ μ 1 k + n μ 2 n n ! ( k + n ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}} ポアソン分布はカウント の負の値に対してはゼロとなるため 、2番目の和は および となる項に対してのみ取られる 。 上記の和から、 ( p ( N < 0 ; μ ) = 0 ) {\displaystyle (p(N<0;\mu )=0)} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} n + k ≥ 0 {\displaystyle n+k\geq 0}
p ( k ; μ 1 , μ 2 ) p ( − k ; μ 1 , μ 2 ) = ( μ 1 μ 2 ) k {\displaystyle {\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}
となることによって：
p ( k ; μ 1 , μ 2 ) = e − ( μ 1 + μ 2 ) ( μ 1 μ 2 ) k / 2 I | k | ( 2 μ 1 μ 2 ) {\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}
ここで、 I k (z)は 第一種 修正ベッセル関数 である。の特別な場合については、Irwin (1937)によって次のように与えられている。 μ 1 = μ 2 ( = μ ) {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}
p ( k ; μ , μ ) = e − 2 μ I | k | ( 2 μ ) . {\displaystyle p{\left(k;\mu ,\mu \right)}=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}
小さな引数に対する修正ベッセル関数の極限値を使用すると、 に対するスケラム分布の特殊なケースとしてポアソン分布を復元できます 。 μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{2}=0}
プロパティ 離散確率関数であるため、スケラム確率質量関数は正規化されます。
∑ k = − ∞ ∞ p ( k ; μ 1 , μ 2 ) = 1. {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}
ポアソン分布の 確率生成関数 (pgf) は次の式で表される ことが分かっています 。
G ( t ; μ ) = e μ ( t − 1 ) . {\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}
したがって、スケラム確率質量関数の pgf は次のようになります。 G ( t ; μ 1 , μ 2 ) {\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}
G ( t ; μ 1 , μ 2 ) = ∑ k = − ∞ ∞ p ( k ; μ 1 , μ 2 ) t k = G ( t ; μ 1 ) G ( 1 / t ; μ 2 ) = e − ( μ 1 + μ 2 ) + μ 1 t + μ 2 / t . {\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}
確率生成関数 の形から、 任意の数の独立スケラム分布に従う変数の和または差の分布は、再びスケラム分布に従うことが示唆されていることに注意してください。2つのスケラム分布に従う変数の任意の線形結合は再びスケラム分布に従うと主張されることがあります。しかし、これは明らかに正しくありません。なぜなら、以外の乗数は 分布の サポートを 変化させ、スケラム分布が満たすことのできない モーメント のパターンを変化させるからです。 ± 1 {\displaystyle \pm 1}
モーメント 生成関数 は次のように与えられます。
M ( t ; μ 1 , μ 2 ) = G ( e t ; μ 1 , μ 2 ) = ∑ k = 0 ∞ t k k ! m k {\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}
これにより、生のモーメント m k が得られます 。定義:
Δ = d e f μ 1 − μ 2 {\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}}
μ = d e f 1 2 ( μ 1 + μ 2 ) . {\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(\mu _{1}+\mu _{2}).}
すると、生の瞬間 m k は
m 1 = Δ m 2 = 2 μ + Δ 2 m 3 = Δ ( 1 + 6 μ + Δ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\Delta \\m_{2}&=2\mu +\Delta ^{2}\\m_{3}&=\Delta \left(1+6\mu +\Delta ^{2}\right)\end{aligned}}}
中心 モーメント M k は
M 2 = 2 μ , M 3 = Δ , M 4 = 2 μ + 12 μ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=2\mu ,\\M_{3}&=\Delta ,\\M_{4}&=2\mu +12\mu ^{2}.\,\end{aligned}}}
平均 、 分散 、 歪度 、 尖度超過は それぞれ 次のようになります。
E ( n ) = Δ , σ 2 = 2 μ , γ 1 = Δ / ( 2 μ ) 3 / 2 , γ 2 = 1 / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}
キュムラント 生成関数は 次のように与えられます。
K ( t ; μ 1 , μ 2 ) = d e f ln ( M ( t ; μ 1 , μ 2 ) ) = ∑ k = 0 ∞ t k k ! κ k {\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\,\kappa _{k}}
これにより キュムラントは 次のようになる。
κ 2 k = 2 μ , κ 2 k + 1 = Δ . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{2k}&=2\mu ,\\\kappa _{2k+1}&=\Delta .\end{aligned}}}
μ 1 = μ 2 の特別な場合 、 第一種修正ベッセル関数 の 漸近展開は 、大きな μ に対して次式を与える。
p ( k ; μ , μ ) ∼ 1 4 π μ [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n { 4 k 2 − 1 2 } { 4 k 2 − 3 2 } ⋯ { 4 k 2 − ( 2 n − 1 ) 2 } n ! 2 3 n ( 2 μ ) n ] . {\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}{\frac {\left\{4k^{2}-1^{2}\right\}\left\{4k^{2}-3^{2}\right\}\cdots \left\{4k^{2}-(2n-1)^{2}\right\}}{n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}}\right].}
(Abramowitz & Stegun 1972, p. 377)。また、この特殊なケースでは、 k も大きく、 2 μ の平方根の オーダー になると、分布は 正規分布 に近づく。
p ( k ; μ , μ ) ∼ e − k 2 / 4 μ 4 π μ . {\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {e^{-k^{2}/4\mu }}{\sqrt {4\pi \mu }}}.}
これらの特別な結果は、異なる平均のより一般的なケースに簡単に拡張できます。
ゼロ以上の重みの境界 の場合 、 であれ ば 、 X ∼ Skellam ( μ 1 , μ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})} μ 1 < μ 2 {\displaystyle \mu _{1}<\mu _{2}}
exp [ − ( μ 1 − μ 2 ) 2 ] ( μ 1 + μ 2 ) 2 − e − ( μ 1 + μ 2 ) 2 μ 1 μ 2 − e − ( μ 1 + μ 2 ) 4 μ 1 μ 2 ≤ Pr { X ≥ 0 } ≤ exp [ − ( μ 1 − μ 2 ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}{\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}
詳細についてはポアソン分布§ポアソンレース を参照のこと。
参照
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・A. 編（1965年6月）。『数学関数ハンドブック ― 公式、グラフ、数学表付き』（完全版・未改変再出版 [der Ausg.] 1964, 5. Dover印刷版）。Dover Publications。374– 378 頁 。ISBN 0486612724 . 2012年 9月27日 閲覧 。 アーウィン、JO（1937）「同一のポアソン分布に従う2つ の独立変量間の差の頻度分布」 王立統計学会誌 ：シリーズA 、100（3）、415-416。JSTOR 2980526 Karlis, D. および Ntzoufras, I. (2003)「二変量ポアソンモデルを用いたスポーツデータの分析」 Journal of the Royal Statistical Society, Series D , 52 (3), 381–393. doi :10.1111/1467-9884.00366 Karlis D.とNtzoufras I. (2006). カウントデータの差異のベイズ分析. Statistics in Medicine , 25, 1885–1905. [1] スケラム, JG (1946)「異なる母集団に属する2つのポアソン変量間の差の頻度分布」 王立統計学会誌、シリーズA 、109(3)、 296。JSTOR 2981372
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080e7e08db095c80b7cdffaf30fc44dae591fcb5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878adf1f1eb1b323aa24b8db4067f6e9e2a0f4da)
![{\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}{\frac {\left\left\left\left\{4k^{2}-1^{2}\right\}}\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\left\right\}}\left\right\}}\left\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4b9301934bd51ce003455c24edfa8555fd816a)
![{\displaystyle {\frac {\exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}{\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bf56a3272f5c38c467f12942949f034ec84414)
