スレピアン関数

Mathematical function

スレピアン関数は、空間スペクトル的に集中した関数の一種であり^{[1] [2]} 、帯域制限または空間制限された空間の直交基底を形成する。 ^{[3] [4] [5] [6]}つまり、空間または時間に集中しながらスペクトル帯域制限を受けるか、またはスペクトル帯域に集中しながら空間または時間制限を受ける。スレピアン関数は、構成的近似^[7]や線形逆問題^{[8] [9]}の基底関数として、またスペクトル密度推定の二次問題^{[11]における}アポダイゼーションテーパーまたは窓関数^[10]として広く用いられている。^{[12] [13]}

スレピアン関数の構成は、離散的（正則^[14]および不規則^[15]）および連続的^{[16] [17] [18]}な多様体、1次元、2次元、3次元^{[19] 、}直交座標および球面幾何学、曲面および体積^[20] 、グラフ^[21]、スカラー、ベクトル^{[22] 、テンソル形式[23]}で存在する。

一般設定と演算子形式

これらの特殊性を無視して、^[24]は物理空間の二乗可積分関数とし、 はフーリエ変換を表すものとし、 および とする。演算子およびを、それぞれ空間制限関数の空間および帯域制限関数の空間 に射影するとする。ここで は物理空間全体の任意の非自明な部分領域、 はスペクトル空間の任意の非自明な部分領域である。したがって、演算子 は関数 を空間制限するように作用し、演算子 は関数 を帯域制限するように作用する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle F={\mathcal {H}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}F=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f}$

スレイピアンの二次スペクトル集中問題は、空間的に対象領域 に限定された関数 について、対象領域 へのスペクトルパワーの集中を最大化することを目指します。逆に、スレイピアンの空間集中問題は、帯域 に限定された関数の空間集中を最大化することを目指します。空間領域とスペクトル領域の両方で内積を用いて、両方の問題はレイリー商を用いて次 のように表現されます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\langle {\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F,{\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F\,\rangle }{\langle {\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F,{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F\,\rangle }}={\frac {\langle {\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f,{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f\rangle }{\langle {\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f,{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f\rangle }}={\mbox{maximum}}.}$

スペクトル領域と空間領域の等価な固有値方程式は

${\displaystyle ({\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1\!}{\mathcal {L}})({\mathcal {L}}\,F\,)=\lambda ({\mathcal {L}}\,F\,)}$そして ${\displaystyle ({\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1\!}{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}})({\mathcal {R}}f)=\lambda ({\mathcal {R}}f),}$

と は互いの随伴 であり、とは自己随伴かつべき等であると仮定します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

スレピアン関数は、正定値核を持つこれらのいずれかのタイプの方程式の解です。つまり、内の空間領域に集中する帯域制限関数 、または内のスペクトル領域に集中する形式の空間制限関数 です。 ${\displaystyle G={\mathcal {L}}F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h={\mathcal {R}}f}$ ${\displaystyle L}$

1次元のスカラースレピアン関数

(a) 時間領域におけるスレイピアン関数。(b) 周波数領域におけるスレイピアン関数。(a) に示すスレイピアン関数のフーリエ変換の絶対値の二乗を示す。(c) (a) に示す連続するスレイピアン関数に関連付けられた集中係数。(d) (a) に示すスレイピアン関数の二乗を足し合わせた累積エネルギー。

とそのフーリエ変換を、の間の角周波数帯域で厳密に制限する。時間領域に集中し、 の時間間隔内に収まるようにすることは、 ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle G(\omega )}$ ${\displaystyle [-W,W]}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle [-T,T]}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{-T}^{T}g^{2}(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }g^{2}(t)\,dt}}={\text{maximum}},}$

これは、周波数領域で畳み込み積分固有値（フレドホルム）方程式を解くことと同等である。

${\displaystyle \int _{-W}^{W}D_{T}(\omega ,\omega ')G(\omega ')\,d\omega '=\lambda G(\omega ),\qquad D_{T}(\omega ,\omega ')={\frac {\sin T(\omega -\omega ')}{\pi (\omega -\omega ')}},\qquad |\omega |\leq W,}$

あるいは時間領域版や空間領域版

${\displaystyle \int _{-T}^{T}D_{W}(t,t')g(t')\,dt'=\lambda g(t),\qquad D_{W}(t,t')={\frac {\sin W(t-t')}{\pi (t-t')}}=(2\pi )^{-1}\int _{-W}^{W}e^{i\omega (t-t')}d\omega ,\qquad t\in \mathbb {R} .}$

これらはどちらも無次元に変換して再スケールすることができる。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}D(x,x')g(x')\,dx'=\lambda g(x),\qquad D(x,x')={\frac {\sin TW(x-x')}{\pi (x-x')}}.}$

正定値核のトレースは、無限個の実数と正の固有値の合計である。

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{\infty }\lambda _{\alpha }=\int _{-1}^{1}D(x,x')\,dx={\frac {2TW}{\pi }},}$

つまり、時間周波数空間（時間帯域幅積）における集中領域の面積です。

1次元スカラースレピアン関数またはテーパー^[25]は、スペクトル密度推定におけるトムソン マルチテーパー法の主力である。

2次元直交座標におけるスカラースレピアン関数

スレピアン関数は、猫のような空間領域（上の行、ランクと集中固有値）とアヒルのようなスペクトル領域（下の行、上の行に示された関数のフーリエ変換の絶対値の二乗を示す）に集中しています。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

とそのフーリエ変換を用いて、空間波動ベクトルのスペクトル空間の任意の部分領域に厳密に帯域制限された関数を表す。 ^[26]面積 の有限空間領域 に集中しようとすると、未知の関数を見つけなければならない。 ${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle G(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{R}g^{2}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} }{\int _{-\infty }^{\infty }g^{2}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} }}={\mbox{maximum}}.}$

このレイリー商を最大化するにはフレドホルム積分方程式を解く必要がある。

${\displaystyle \int _{\mathcal {K}}D_{R}(\mathbf {k} ,\mathbf {k} ')\,G(\mathbf {k} ')\,d\mathbf {k} '=\lambda G(\mathbf {k} ),\qquad D_{R}(\mathbf {k} ,\mathbf {k} ')=(2\pi )^{-2}\int _{R}e^{i(\mathbf {k} '-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} ,\qquad \mathbf {k} \in {\mathcal {K}}.}$

空間領域における対応する問題は

${\displaystyle \int _{R}\!D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,g(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '=\lambda g(\mathbf {x} ),\qquad D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=(2\pi )^{-2}\int _{\mathcal {K}}e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}\,d\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}.}$

円盤状のスペクトル帯に集中することで、空間カーネルを次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\mathbf {k} :\|\mathbf {k} \|\leq K\}}$

${\displaystyle D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {KJ_{1}(K\|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|)}{2\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}},}$

第一種ベッセル関数から次の式が導かれる。 ${\displaystyle J_{1}}$

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{\infty }\lambda _{\alpha }=\int _{R}D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} =K^{2}{\frac {A}{4\pi }},}$

言い換えれば、これも空間周波数空間（空間帯域幅積）における集中領域の面積です。

球面上のスカラースレピアン関数

球面調和関数帯域幅 18、球面調和関数次数 0 (つまり、ゾーン球面調和関数のみで構成されている) の球面スレピアン関数。開角40 の北極キャップに対する集中比で示されるように、非常によく集中している (上の行) か、非常に悪く集中している (下の行) 。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle ^{\circ }}$

単位球面上の関数とその次数および 次数における球面調和関数変換係数をそれぞれ表記し、^[24] 、球面調和関数次数 への帯域制限、すなわちを考察する。空間部分領域内での二次エネルギー比を最大化するには、 ${\displaystyle g(\mathbf {\hat {r}} )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g_{lm}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}_{L}}$ ${\displaystyle R\subset \Omega }$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{R}g^{2}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }{\int _{\Omega }g^{2}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }}={\mbox{maximum}}}$

スペクトル領域における量から代数的固有値方程式を解く

${\displaystyle \sum _{l'=0}^{L}\sum _{m'=-l'}^{l'}D_{lm,l'm'}g_{l'm'}=\lambda g_{lm},\qquad D_{lm,l'm'}=\int _{R}Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} )Y_{l'm'}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }$、

次数、 位数の球面調和関数を持つ。等価な空間領域方程式は、有限階数、対称、可分核を持つ第二種同次フレドホルム積分方程式である。 ${\displaystyle Y_{lm}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \int _{R}D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} ')g(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega =\lambda g(\mathbf {\hat {r}} ),\qquad D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} ')=\sum _{l=0}^{L}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} )Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} ')=\sum _{l=0}^{L}\left({\frac {2l+1}{4\pi }}\right)P_{l}(\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {r}} '),}$

最後の等式は、ルジャンドル多項式を含む球面調和関数の加法定理から得られる。この核の軌跡は次のように与えられる。 ${\displaystyle P_{l}}$

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{(L+1)^{2}}\lambda _{\alpha }=\int _{R}D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega =\sum _{l=0}^{L}\sum _{m=-l}^{l}D_{lm,lm}=(L+1)^{2}{\frac {A}{4\pi }},}$

つまり、これもまた、 の次元と単位球面上の の部分面積の空間帯域幅積、つまり です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A/(4\pi )}$

参考文献

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