古典的限界

古典極限または対応極限とは、物理理論がそのパラメータの特定の値について考察した場合に古典力学を近似または「回復」する能力である。 ^{[ 1 ]}古典極限は、非古典的な挙動を予測する物理理論で用いられる。

量子論

対応原理と呼ばれる発見的な公理は、ニールス・ボーアによって量子論に導入された。これは、量子系の作用によって正規化されたプランク定数の値が非常に小さくなるため、ある種の連続性の議論が量子系の古典極限にも適用されるはずである、ということを実質的に示している。これはしばしば「準古典的」手法（WKB近似を参照）によってアプローチされる。^{[ 2 ]}

より厳密には、^{[ 3 ]}古典的極限に含まれる数学的操作はグループ縮約であり、関連する作用が縮約されたプランク定数ħよりもはるかに大きい物理システムを近似するため、「変形パラメータ」ħ / Sは実質的にゼロとすることができます（ワイル量子化を参照）。したがって、典型的には、量子交換子（同等に、モヤル括弧）は、グループ縮約においてポアソン括弧に縮約されます^{[ 4 ]}。

量子力学では、ヴェルナー・ハイゼンベルクの不確定性原理により、電子が静止することはあり得ず、常に運動エネルギーがゼロではない必要がある。これは古典力学では見られない結果である。例えば、野球のボールのように電子に比べて非常に大きいものを考えると、不確定性原理によれば、その運動エネルギーは実際にはゼロにはなり得ないが、運動エネルギーの不確定性は非常に小さいため、野球のボールは事実上静止しているように見え、したがって古典力学に従っているように見える。一般に、量子力学において（電子のサイズやエネルギー準位に比べて）大きなエネルギーや大きな物体を考えると、結果は古典力学に従っているように見える。関連する典型的な占有数は膨大である。例えば、 ω  = 2 Hz、m  = 10 g、最大振幅x _{0 = 10 cm の巨視的}調和振動子 では、S  ≈  E / ω  ≈ mωx² ₀/2 ≈ 10 ⁻⁴  kg·m ² /s  =  ħnとなるので、n  ≃ 10 ³⁰となる。さらにコヒーレント状態も参照のこと。しかし、古典的極限が量子カオスとして知られるカオス系にどのように適用されるかは明確ではない。

量子力学と古典力学は通常、全く異なる形式論で扱われる。量子論はヒルベルト空間を用いるのに対し、古典力学は位相空間における表現を用いる。これら2つを共通の数学的枠組みに統合する方法はいくつかある。量子力学の位相空間定式化は本質的に統計的であり、量子力学と古典統計力学の間に論理的なつながりが築かれ、量子化におけるリウヴィルの定理の破れを含め、両者の自然な比較が可能となる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

ポール・ディラック^{[ 7 ]}は、重要な論文（1933年）で、古典力学が量子力学の創発現象である理由を説明した。つまり、非極限的なマクロ作用S  »  ħを持つ経路間の破壊的干渉が、彼が導入した経路積分における振幅寄与を消し去り、極限作用S_{クラス、つまり古典作用経路が支配的な寄与となる、というものである。この観察は、}リチャード・ファインマンが1942年の博士論文でさらに詳しく述べている。 ^{[ 8 ]}（さらに量子デコヒーレンスを参照。）

期待値の時間発展

古典力学と量子力学を比較する簡単な方法の一つは、期待される位置と期待される運動量の時間発展を考えることです。そして、これを古典力学における通常の位置と運動量の時間発展と比較することができます。量子期待値はエーレンフェストの定理を満たします。ポテンシャル中を運動する1次元の量子粒子に対して、エーレンフェストの定理は^{[ 9 ]を述べています。} ${\displaystyle V}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$

これらの方程式の最初のものは古典力学と一致しているが、2番目のものはそうではない。もしこの2つの方程式がニュートンの第二法則を満たすとしたら、2番目の方程式の右辺は次のようになる。 ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$。

しかし、ほとんどの場合、

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$。

たとえば、ポテンシャルが 3 次であれば、 は2 次になります。この場合、との区別について話していることになりますが、 と の差は です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$ ${\displaystyle (\Delta X)^{2}}$

例外は、古典運動方程式が線形、つまりが二次方程式で が線形の場合に発生します。この特殊なケースでは、とは一致します。特に、自由粒子または量子調和振動子の場合、期待される位置と期待される運動量は、ニュートン方程式の解と厳密に一致します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$

一般的なシステムでは、期待される位置と運動量が古典的な軌道にほぼ沿うと期待するのが最善です。波動関数が点 の周りに高度に集中している場合、と はほぼ同じになります。なぜなら、どちらも にほぼ等しいからです。その場合、期待される位置と運動量は、少なくとも波動関数の位置が非常に局所的である限り、古典的な軌道に非常に近いままです。 ^{[ 10 ]} ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

さて、初期状態の位置が非常に局所的であれば、運動量も非常に広がるため、波動関数は急速に広がり、古典的な軌道とのつながりが失われると予想されます。しかし、プランク定数が小さい場合、位置と運動量の両方において十分に局所化された状態を持つことが可能です。運動量の不確実性が小さいため、粒子は長時間にわたって位置が非常に局所的であり続けることが保証され、その結果、期待される位置と運動量は、長期間にわたって古典的な軌道に密接に追従し続けることになります。

相対性理論とその他の変形

物理学でよく知られているその他の変形には次のようなものがあります。

• 変形パラメータv / cを伴う、古典ニュートン力学の相対論的力学 (特殊相対論)への変形。古典的極限では速度が小さいため、v / c  → 0となり、システムはニュートン力学に従うように見えます。
• 同様に、ニュートン重力を一般相対論に変形する場合（変形パラメータとしてシュワルツシルト半径/特性次元を使用）、物体の質量とプランク長の2乗の積が物体のサイズや問題のサイズよりもはるかに小さいとき、物体は再び古典力学（平坦空間）に従うように見えることがわかります。ニュートン極限を参照してください。
• 波動光学は、変形パラメータλ / aに関する光線光学の変形とみなすこともできます。
• 同様に、熱力学は変形パラメータ1/ Nで統計力学に変形します。

参照

• 古典的な確率密度
• エーレンフェストの定理
• マデルング方程式
• フレネル積分
• 量子力学の数学的定式化
• 量子カオス
• 量子デコヒーレンス
• 量子限界
• 半古典物理学
• ウィグナー・ワイル変換
• WKB近似

参考文献

1. ボーム, D. (1989).量子理論.ドーバー出版. ISBN 978-0-486-65969-5。
2. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977).量子力学：非相対論的理論. 第3巻（第3版）. Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1。
3. Hepp, K. (1974). 「量子力学的相関関数の古典的極限」 . Communications in Mathematical Physics . 35 (4): 265– 277. Bibcode : 1974CMaPh..35..265H . doi : 10.1007/BF01646348 . S2CID 123034390 . 
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). 「位相空間における量子力学」.アジア太平洋物理学ニュースレター. 1 : 37–46 . arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 . 
5. Bracken, A.; Wood, J. (2006). 「単純非線形システムにおける半量子力学と半古典力学」. Physical Review A. 73 ( 1) 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Bibcode : 2006PhRvA..73a2104B . doi : 10.1103/PhysRevA.73.012104 . S2CID 14444752 . 
6. 逆に、 1932年にクープマンとフォン・ノイマンによって発表されたあまり知られていないアプローチでは、古典力学の力学は、従来量子力学で使用されている形式 であるヒルベルト空間の操作的形式論によって定式化されました。
   • Koopman, BO ; von Neumann, J. (1932). 「連続スペクトルの動的システム」 .米国科学アカデミー紀要. 18 (3 ) : 255– 263. Bibcode : 1932PNAS...18..255K . doi : 10.1073/pnas.18.3.255 . PMC  1076203. PMID  16587673 .
   • マウロ, D. (2003). 「クープマン＝フォン・ノイマン理論の話題」. arXiv : quant-ph/0301172 .
   • Bracken, AJ (2003). 「ヒルベルト空間における古典力学の近似としての量子力学」. Journal of Physics A. 36 ( 23): L329– L335. arXiv : quant-ph/0210164 . doi : 10.1088/0305-4470/36/23/101 . S2CID  15505801 .
7. ディラック、PAM (1933)。「量子力学におけるラグランジアン」(PDF)。物理的研究。3：64～ 72。
8. ファインマン, RP (1942).量子力学における最小作用の原理(博士論文).プリンストン大学.

   フェインマン, RP (2005)に転載。ブラウン, LM (編) 『フェインマンのテーゼ：量子理論への新たなアプローチ』ワールド・サイエンティフィックISBN 978-981-256-380-4。

9. ホール 2013セクション 3.7.5
10. ホール 2013 p. 78

• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode : 2013qtm..book.....H、ISBN 978-1-4614-7115-8

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