馬蹄形地図

カオス理論の数学において、馬蹄形写像とは、正方形をそれ自身に写すカオス写像の一種である。これは力学系の研究における中核的な例である。この写像は、スティーブン・スメールがファン・デル・ポール振動子の軌道の挙動を研究する中で導入された。この写像の作用は、正方形を圧縮し、それを細長い帯状に引き伸ばし、最後にその帯状を馬蹄形に折ることで幾何学的に定義される。

ほとんどの点は、写像の作用によって最終的に正方形から外れます。そして、側面のキャップへと移動し、反復処理によって、いずれかのキャップ内の固定点に収束します。反復処理を繰り返しても正方形内に残る点はフラクタル集合を形成し、写像の不変集合の一部となります。

馬蹄形地図の圧縮、伸張、折り畳みはカオスシステムの典型的な現象ですが、必要でも十分でもありません。^{[ 1 ]}

馬蹄形写像では、圧縮と伸張は均一であり、正方形の面積が変化しないように互いに補正し合います。折り畳みはきれいに行われるため、正方形内に永遠に残る軌道を簡潔に記述できます。

馬蹄形マップの場合:

周期軌道は無限に存在する。
任意の長さの周期軌道が存在する。
周期軌道の数は周期とともに指数関数的に増加する。
フラクタル不変集合の任意の点の近くには周期軌道の点が存在します。

馬蹄形地図

馬蹄形写像 $f$ は、平面の領域 $Sからそれ自身への$ 微分同相写像である。領域 $S$ は、2つの半円板で覆われた正方形である。（「馬蹄形」）の余領域はその定義域の真部分集合である $。f$ の作用は、幾何学的に定義された3つの変換の合成によって定義される。まず、正方形は垂直方向に係数 $a$ $<$ $⁠だけ縮小される。$ $f$ $S$ $1 / 2 ⁠$ 。キャップは、結果として得られる長方形に半円板状のまま残るように縮小されます。1/2未満の係数で縮小することで、馬蹄形の枝の間に隙間ができます。次に、長方形は水平方向に ⁠ の係数で引き伸ばされます $。$ $1 / 1つの ⁠$ ; キャップは変更されません。最後に、できたストリップを馬蹄形に折り、 $S$ に戻します。

この力学の興味深い部分は、正方形のそれ自身への写像です。この部分が定義されると、その作用をキャップに定義することで、写像を微分同相写像へと拡張できます。キャップは収縮し、最終的にはキャップの1つ（図の左側）の内側に写像されます。f をキャップに拡張することで、写像の非移動集合に不動点が追加されます。馬蹄形写像のクラスを単純に保つため、馬蹄形の曲面領域は正方形に写像し直さないようにする必要があります。

馬蹄形写像は1対1であり、これは、 $f$ による $S$ の像に制限された場合に逆写像f ⁻¹が存在することを意味します。

収縮した正方形と伸長した正方形をさまざまな方法で折ることで、他のタイプの馬蹄形地図を作成できます。

写像が一対一の関係を保つためには、縮約された正方形は互いに重なり合ってはなりません。正方形への作用を微分同相写像に拡張する場合、必ずしも平面上で拡張できるとは限りません。例えば、右の写像は、赤道を囲む「帽子」を用いて球面の微分同相写像に拡張する必要があります。

馬蹄形写像は、周期点の安定多様体と不安定多様体が交差する横方向ホモクリニック点における一般的な動作のモデルとして機能する公理 A微分同相写像です。

地図のダイナミクス

馬蹄形写像は、与えられた周期軌道の近傍における流れのカオス的ダイナミクスを再現するために設計された。近傍は、軌道に垂直な小さな円盤として選択される。系が進化するにつれて、この円盤上の点は与えられた周期軌道に近いままであり、最終的に円盤と再び交差する軌道を描き出す。他の軌道は発散する。

円盤上のすべての軌道の挙動は、円盤に何が起こるかを考えることで決定できます。円盤と与えられた周期軌道の交点は、軌道の周期ごとに元の軌道に戻り、その近傍の点も同様です。この近傍が元の軌道に戻ると、その形状は変化します。円盤内に戻った点の中には、円盤の近傍から外れる点と、再び円盤の近傍に戻り続ける点があります。与えられた周期軌道の近傍から決して外れることのない点の集合は、フラクタル構造を形成します。

近傍に残るすべての軌道に記号的な名前を付けることができます。初期の近傍円盤は少数の領域に分割できます。軌道がこれらの領域を訪れる順序を知ることで、軌道を正確に特定することができます。軌道の訪問順序は、記号的ダイナミクスと呼ばれる、ダイナミクスの記号表現を提供します。

軌道

馬蹄形写像のすべての初期条件の挙動を記述することが可能です。初期点u ₀ = ( x , y ) は点u ₁ = f ( u ₀ ) に写像されます。その反復は点u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u _{0 ) であり、これを繰り返すことで軌道}u ₀ , u ₁ , u ₂ , ... が生成されます。

馬蹄形写像を繰り返し反復処理すると、ほとんどの軌道は左キャップ内の不動点に到達します。これは、馬蹄形写像が、正確に1つの不動点を持つアフィン変換によって左キャップを自身に写像するためです。左キャップに到達した軌道は、そこから決して離れることはなく、反復処理によって左キャップ内の不動点に収束します。右キャップ内の点は次の反復処理で左キャップに写像され、正方形内のほとんどの点は左キャップに写像されます。反復処理によって、ほとんどの点は左キャップ内の不動点に収束する軌道の一部となりますが、正方形の一部の点は決して左キャップから出ません。

平方の反復

馬蹄形写像の順方向反復では、元の正方形は一連の水平方向の帯に写像されます。これらの水平方向の帯の点は、元の正方形の垂直方向の帯から来ています。S 0 を元の正方形とし $、これ$ をn回順方向に写像し、水平方向の帯の集合である正方形 $S 0に収まる点のみを考えます。$

H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.

横縞の点は縦縞から来ている

V_{n}=f^{-n}(H_{n})

、

これは水平方向の帯状部分 $H n を$ n回逆方向に写像したものである。つまり、 $V n$ 内の点は、馬蹄形写像をn回反復した結果、垂直方向の帯状部分の集合 $H n$ に収束する。

不変集合

ある点が正方形内に永久に留まるためには、その点自身に写像する集合 $Λに属していなければならない。この集合が空集合であるかどうかを判定する必要がある。垂直の帯状領域$ $V 1$ は水平の帯状領域 $H 1$ に写像されるが、 $V 1$ のすべての点が再び $V 1に写像されるわけではない。$ $V$ $1$ と $H$ $1$ の交点にある点だけが $Λ$ に属し得る。これは、交点の外側にある点をもう一度辿ることで確認できる。

水平線と垂直線の交点 $H n \cap V n$ $は、 n \to \infty$ の極限において不変集合 $Λに収束する正方形である（この集合は、垂直線の$ カントール集合と水平線のカントール集合^{[ 2 ]}の交点である）。この集合の構造は、すべての交点にラベルを付けるシステム、すなわち記号力学を導入することでよりよく理解できる。

象徴的ダイナミクス

$H n \cap V n \subset V 1$ なので、反復計算において $Λ$ 内にある任意の点は $、$ $V$ $1$ の左垂直帯 $A$ または右垂直帯 $Bに位置する。H$ $1$ の下水平帯は $A$ の像であり、上水平帯は $B$ の像であるため、H ₁ = f(A) ∪ f(B)となる。帯 $A$ と帯 $B は、$ $V$ $1$ と $H$ $1$ の交点にある4つの正方形にラベルを付けるために使用される。

{\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}

集合 $Λ B•A$ $は、前回の反復でストリップB$ に含まれていたストリップ $A$ の点から構成されます。点は、軌道上の点が存在する領域と、その点が元々存在していた領域を区別するために使用されます。

この記法は、馬蹄形写像のより高次の反復まで拡張できます。垂直の帯は、帯 $A$ または帯 $B$ への訪問順序に従って命名できます。例えば、集合ABB ⊂ V _{3は、ある反復ですべて帯} $B$ に到達し、その後の反復でも帯 $B$ に残る $A$ からの点から構成されます。

ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.

その軌道から逆算すると、 V ₃内の小さな領域、集合ABBが決定されます。

水平方向の帯は、垂直方向の帯の原像から名付けられている。この表記法では、V ₂とH ₂の交点は16個の正方形から成り、そのうちの1つは

\Lambda_{AB\bulletBB}=f_{2}(AB)\capBB.

_{Λ AB•BB}内のすべての点は $B$ にあり、少なくともあと1回の反復では $B$ に留まります。BB に到達する前の軌跡は、 $Aから$ $B$ へと続いていました。

周期軌道

水平ストリップと垂直ストリップの交差点 $Λ P•F$ のいずれも、 PとFがAとBのシーケンスである場合、 V ₁の小さな領域のアフィン変換です。Pにk個の記号が含まれ、 $f$ $-$ $k$ $(Λ$ $P•F$ $)$ と $Λ$ $P•F$ が交差する場合、領域 $Λ$ $P•F$ には不動点があります。これは、シーケンスPがFと同じ場合に発生します。たとえば、 $Λ$ $ABAB•ABAB$ $\subset$ $V$ $4$ $\cap$ $H$ $4$ _{には少なくとも 1 つの不動点があります。この点は、 Λ AB•} ABの不動点と同じです。交差点のラベルのPとFの部分にABをさらに含めることで、交差点の面積を必要に応じて小さくすることができます。これは、馬蹄形マップの周期軌道の一部である点に収束します。周期軌道は、周期軌道が訪れる領域の 1 つをラベル付けする $A$ と $Bの最も単純なシーケンスでラベル付けできます。$

$A$ と $B$ のすべてのシーケンスには周期軌道が存在します。

参照

注記

^ David Ruelle (2006). 「ストレンジアトラクターとは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (7): 764– 765.
^オット、エドワード (2002).動的システムにおけるカオス（第2版）. ケンブリッジ大学出版局.

参考文献

デイヴィッド・ルエル(2006). 「ストレンジアトラクターとは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (7): 764– 765.
スティーブン・スメール (1967). 「微分可能力学系」 .アメリカ数学会報. 73 (6): 747–817 . doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .
P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). 「ヘノン型ストレンジアトラクターの位相的および計量的性質」. Physical Review A. 38 ( 3): 1503– 1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
アンドレ・デ・カルヴァリョ (1999). 「剪定前線と馬蹄形の形成」.エルゴード理論と動的システム. 19 (4): 851– 894. arXiv : math/9701217 . doi : 10.1017/S0143385799133972 . S2CID 17153861 .
André de Carvalho; Toby Hall (2002). 「馬蹄形の剪定方法」(PDF) .非線形性. 15 (3): R19– R68. Bibcode : 2002Nonli..15R..19D . doi : 10.1088/0951-7715/15/3/201 . S2CID 53417965. 2019年3月2日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。

外部リンク

「小さな蹄鉄」Scholarpedia。
Evgeny Demidov (2007). 「標準マップにおけるホモクリニック構造」 . ibiblio.org . 2016年7月11日閲覧。
ChaosBook.org の章「伸ばして、折って、剪定する」
CHAOS VI -ジョス・レイス、エティエンヌ・ギス、オーレリアン・アルバレス監督作品『カオス』より、カオスとホースシューの章
リチェソン、デイビッド(2022年3月2日). 「数学者はいかにしてカオスを理解するのか」 . Quanta Magazine .

[1] David Ruelle (2006). 「ストレンジアトラクターとは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (7): 764– 765.

[2] オット、エドワード (2002).動的システムにおけるカオス（第2版）. ケンブリッジ大学出版局.

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