スミスチャート

（ア）

（イ）

スミス チャートは、複素反射係数 を、定数正規化インピーダンス のグリッド ライン上にプロットできるグラフィカル オーバーレイです。[ a ]正規化^{インピーダンスも複素数}なので、スミス チャートには定数の線と定数の線の両方が表示されます。^{[ b ]}スミス チャートは主に受動回路に使用されるため、スミス チャートは となる正規化抵抗値 に制限されます。^{[ c ]} (a) 定数の線が青い弧^{[ d ]}として示され、定数の線が赤い円で示されているサンプルのスミス チャート。 (b) 定数の線と定数の線を、空間 (線が垂直および水平にまっすぐ表示される)から空間 (線が円として表示される) に変換したアニメーション。この変換は等角写像です。ピンクの線は、黒い線は を示します。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re e[z]\geq 0}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle z-}$ ${\displaystyle \Gamma -}$ ${\displaystyle \Re e[z]<0}$ ${\displaystyle \Re e[z]\geq 0}$

スミスチャート(スミス チャート、水橋チャート(水橋チャート)、水橋スミス チャート(水橋スミス チャート)、^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ヴォルパート スミス チャート( Диаграмма Вольперта—Смита ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}または水橋 ヴォルパート スミス チャートとも呼ばれます) は、グラフィカルなチャートです。無線周波数(RF) エンジニアリングを専門とする電気および電子エンジニア向けに設計された計算機またはノモグラムで、伝送線路や整合回路の問題の解決に役立ちます。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

これは1937年に水橋東作によって独立に[11] [4] [12] [5] 提案され、[ 13 ]アミエル^{・R・ボルパート（Амиэ́ль Р. Во́льперт ）[ 14 ] [ 4 ]}とフィリップ・H^{・スミスによって1939年に}提案されました。^{[ 15 ] [ 16 ]}スミスは1936年までに長方形の図から始めて特別な極座標チャートを開発し、等角写像に精通していた同僚のエノック・B・フェレルとジェームズ・W・マクレーの意見を取り入れて1937年初頭に最終形に改訂され、最終的に1939年1月に出版されました。^{[ 15 ] [ 9 ] [ 17 ]}スミスは当初これを「伝送線路図」と呼んでいましたが^{[ 15 ] ] [ 16 ]}および他の著者は、最初に「反射チャート」、「インピーダンスの円線図」、「イミタンスチャート」または「Z平面チャート」などの名前を使用し、^{[ 9 ]} MITの放射線研究所の初期の採用者は1940年代にそれを単に「スミスチャート」と呼び始め、 ^{[ 9 ] [ 17 ]} 1950年までに西洋世界で一般的に受け入れられた名前でした。^{[ 18 ] [ 19 ]}

スミスチャートは、インピーダンス、アドミタンス、反射係数、散乱パラメータ、雑音指数円、定利得等高線、無条件安定領域など、複数のパラメータを同時に表示するために使用できます。^{[ 20 ] [ 21 ]：93–103} スミスチャートは、単位半径領域またはその内部で最も頻繁に使用されます。ただし、残りの領域も数学的には依然として重要であり、たとえば発振器の設計や安定性解析に使用されます。^{[ 21 ]：98–101} 整合問題に関連する複雑な数学を解くために紙のスミスチャートを使用することは、ソフトウェアベースの方法に大きく置き換えられましたが、スミスチャートは依然として、表形式の情報を使用する代わりに、RFパラメータが1つまたは複数の周波数でどのように動作するかを示す非常に便利な方法です。 ^{[ 22 ]}そのため、ほとんどのRF回路解析ソフトウェアには結果を表示するためのスミスチャートオプションが含まれており、最も単純なインピーダンス測定機器を除くすべてのインピーダンス測定機器は、測定結果をスミスチャートディスプレイにプロットできます。^{[ 23 ]} ${\displaystyle S_{nn}\,}$

インピーダンス スミス チャート (データはプロットされていません)。

概要

測定データをスミス チャートに表示するように設定されたネットワークアナライザー。

スミスチャートは、2次元直交複素平面を数学的に変換したものです。正の実部を持つ複素数は円の内側に、負の実部を持つ複素数は円の外側にマッピングされます。非負の抵抗成分を持つインピーダンスのみを扱う場合、関心は円の内側の領域に集中します。インピーダンススミスチャートの変換は次のようになります。

$${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},}$$

ここで、z = ⁠Z/Z ₀⁠、すなわち、複素インピーダンスZを基準インピーダンスZ ₀で正規化したものです。インピーダンス・スミスチャートは、このように変換されたインピーダンスのアルガンプロットです。非負の抵抗成分を持つインピーダンスは、単位半径の円の内側に表示され、原点は基準インピーダンスZ ₀と一致します。

スミス チャートは、複素反射係数平面上に2 次元でプロットされ、正規化インピーダンス(最も一般的)、正規化アドミタンス、またはその両方でスケーリングすることができ、それぞれを区別するために異なる色が使用されます。これらは、それぞれ Z、Y、および YZ スミス チャートと呼ばれることがよくあります。^{[ 21 ] : 97} 正規化されたスケーリングにより、スミス チャートは、チャートの中心点で表される 任意の特性インピーダンスまたはシステム インピーダンスを伴う問題に使用できます。最も一般的に使用される正規化インピーダンスは 50オームです。以下で説明するグラフィカルな構成によって答えが得られたら、特性インピーダンス (アドミタンス) を乗じることにより、正規化インピーダンス (または正規化アドミタンス) と対応する正規化されていない値の間で簡単に変換できます。反射係数は単位のないパラメーターであるため、チャートから直接読み取ることができます。

スミスチャートは、円周または周囲に波長と度で目盛りが刻まれた目盛りを持っています。波長目盛りは分散型機器の問題で使用され、発電機または電源と負荷を接続する伝送線路に沿って測定された距離を表します。度目盛りは、その点における電圧反射係数の角度を表します。スミスチャートは、集中定数素子の整合および解析問題 にも使用できます。

スミス チャートの使用と、それを使用して得られた結果の解釈には、 RF エンジニアの前提条件であるAC 回路理論と伝送線路理論を十分に理解している必要があります。

インピーダンスとアドミタンスは周波数によって変化するため、スミスチャートを用いた問題は、一度に1つの周波数を用いて手動で解くことしかできず、結果は点で表されます。これは、狭帯域アプリケーション（通常、帯域幅の約5%から10%まで）では十分ですが、より広い帯域幅の場合は、動作周波数帯域全体にわたって複数の周波数でスミスチャート手法を適用する必要があります。周波数が十分に近い場合、結果として得られるスミスチャートの点を直線で結んで軌跡 を作成できます。

さまざまな周波数範囲をカバーするスミス チャート上の点の軌跡を使用して、次のものを視覚的に表現できます。

• 周波数範囲全体にわたって負荷がどの程度容量性または誘導性であるか
• さまざまな周波数でのマッチングがどれほど難しいか
• 特定のコンポーネントがどれだけ適合しているか。

インピーダンスやアドミタンスの軌跡が大きい問題の場合、スミス チャートの精度は低下しますが、これらに対応するために個々の領域のスケーリングを拡大することができます。

数学的根拠

インピーダンス・スミスチャートの最も基本的な使用法。特性インピーダンスZ ₀の伝送線路を波が伝わり、インピーダンスZ _L（正規化インピーダンスz = Z _L / Z _{0 ）}の負荷で終端されます。係数Γを持つ信号反射があります。スミスチャート上の各点は、 zの値（左下）と、対応するΓの値（右下）を同時に表し、z = (1 + Γ)/(1 − Γ) の関係があります。

実際のインピーダンスとアドミタンスおよび正規化されたインピーダンスとアドミタンス

特性インピーダンスが の伝送線路は、一般的に特性アドミタンスがであると考えられる。 ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle Y_{0}\,}$

${\displaystyle Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}\,}$

オームで表されたインピーダンスは、特性インピーダンスで割ることで正規化できるため、小文字のz _Tを用いた正規化インピーダンスは次のように表さ れる。 ${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$

${\displaystyle z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}\,}$

同様に、正規化アドミッタンス

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {Y_{\text{T}}}{Y_{0}}}\,}$

インピーダンスのSI単位系は、ギリシャ文字オメガ（Ω）の記号で表されたオーム（Ω）です。アドミタンスのSI単位系は、ギリシャ文字Sの記号で表されたジーメンス（Siemens）です。正規化インピーダンスと正規化アドミタンスは無次元です。実際のインピーダンスとアドミタンスは、スミスチャートで使用する前に正規化する必要があります。得られた結果を非正規化することで、実際の結果を得ることができます。

正規化インピーダンススミスチャート

開放端（上）と短絡端（下）で終端された伝送線路。パルスはどちらの終端でも完全に反射しますが、反射電圧の符号は2つの場合で逆になります。黒い点は電子を表し、矢印は電界を示します。

伝送線路理論を用いると、伝送線路がその特性インピーダンス（ ）と異なるインピーダンス（ ）で終端されている場合、入射波（）と反射波（）の両方の合成波からなる定在波が線路上に形成される。複素指数表記を用いると、 ${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$ ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle V_{\text{F}}\,}$ ${\displaystyle V_{\text{R}}\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(j\omega t)\exp(+\gamma \ell )~\,}$そして

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(j\omega t)\exp(-\gamma \ell )\,}$

どこ

${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$波の時間的部分である

${\displaystyle \exp(\pm \gamma \ell )\,}$波の空間部分であり、

${\displaystyle \omega =2\pi f\,}$どこ

${\displaystyle \omega \,}$角周波数はラジアン/秒（rad/s）で表されます。

${\displaystyle f\,}$周波数はヘルツ（Hz）で表されます

${\displaystyle t\,}$秒単位の時間です

${\displaystyle A\,}$および定数である ${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle \ell \,}$負荷から発電機に向かって送電線に沿って測定された距離（メートル）

また

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta \,}$SI単位ラジアン/メートルの伝播定数である。

どこ

${\displaystyle \alpha \,}$減衰定数（Np/m）は、ネパー/メートルで表されます。

${\displaystyle \beta \,}$位相定数はラジアン/メートル（rad/m）で表されます。

スミスチャートは、一度に一つの周波数（ ）で、かつ一度に一つの瞬間（ ）のみで使用されるため、位相の時間的部分（ ）は固定されています。実際には、瞬時位相 を得るために全ての項にこれを乗じますが、慣例的に省略することが理解されています。したがって、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,}$そして

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(-\gamma \ell )\,}$

ここで、およびはそれぞれ負荷における順方向および逆方向の電圧振幅です。 ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$

線路上の位置による複素反射係数の変化

長さℓの無損失伝送線路を通して負荷に向かって見ると、 ℓが増加するにつれてインピーダンスは青い円に沿って変化します。このインピーダンスは反射係数V _reflected / V _incidentによって特徴付けられます。インピーダンス・スミスチャートの中央に位置する青い円は、SWR円（定在波比一定円の略）と呼ばれることもあります。

複素電圧反射係数は、反射波と入射波（または前進波）の比として定義されます。したがって、 ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(+\gamma \ell )}}=C\exp(-2\gamma \ell )\,}$

ここで、 Cも定数です。

均一伝送線路（ただしは定数）の場合、定在波の複素反射係数は線路上の位置に応じて変化します。線路に損失がある場合（はゼロでない場合）、スミスチャート上では螺旋状の経路で表されます。しかし、ほとんどのスミスチャートの問題では、損失は無視できる（ ）と仮定できるため、損失を解く作業は大幅に簡素化されます。したがって、損失がない場合、複素反射係数の式は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma \,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \alpha \approx 0\,}$

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp(-2j\beta \ell )\,}$

ここで、は負荷における反射係数、は負荷から反射係数を測定する位置までの線路長である。位相定数は次のようにも書ける。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{L}}\,}$ ${\displaystyle \ell \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\,}$

ここで、テスト周波数における 伝送線路内の波長です。 ${\displaystyle \lambda \,}$

したがって、

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp \left({\frac {-4j\pi }{\lambda }}\ell \right)\,}$

この式は、定在波の場合、複素反射係数とインピーダンスが伝送線路に沿って半波長ごとに繰り返されることを示しています。複素反射係数は一般に単に反射係数と呼ばれます。スミスチャートの外周目盛りは、発生器から負荷までの距離を波長で表しており、0から0.50までの範囲で目盛りが付けられています。

線路上の位置による正規化インピーダンスの変化

とをそれぞれ伝送線路の終端にかかる電圧と終端に入る電流とすると、 ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle \,I\,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}+V_{\mathsf {R}}=V\,}$

そして

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}-V_{\mathsf {R}}=Z_{0}\,I\,}$。

これらの式を割り算し、電圧反射係数を代入すると、

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\mathsf {R}}}{\,V_{\mathsf {F}}\,}}\,}$

終端の正規化インピーダンスは小文字のz、下付き文字T で表される。

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {V}{\,Z_{0}\,I\,}}\,}$

結果は次のようになります:

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

あるいは、反射係数の観点から言えば

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}\,}$

これらはZスミスチャートを作成するために使用される方程式です。数学的に言えば、とはメビウス変換によって関連付けられています。 ${\displaystyle \,\Gamma \,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

とはどちらも単位のない複素数で表されます。どちらも周波数によって変化するため、特定の測定を行う際には、測定を行った周波数と特性インピーダンスを併せて記載する必要があります。 ${\displaystyle \,\Gamma \,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle \,\Gamma \,}$は、極線図上で大きさと角度で表すことができます。実際の反射係数の大きさは 1 以下でなければならないため、テスト周波数では、これは半径 1 の円内の点で表すことができます。スミス チャートは、実際にはこのような極線図上に作成されます。スミス チャートのスケーリングは、反射係数を正規化インピーダンスに変換したり、その逆を行ったりできるように設計されています。スミス チャートを使用すると、スミス チャートを極線図として扱い、反射係数を表す点をプロットし、特性スミス チャートのスケーリングを使用してその値を直接読み取ることにより、かなりの精度で正規化インピーダンスを取得できます。この手法は、式に値を代入するグラフィカルな代替手段です。

反射係数が無損失伝送線路に沿ってどのように変化するかを表す式を代入すると

${\displaystyle \Gamma ={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(\gamma \ell )}}={\frac {B\exp(-j\beta \ell )}{A\exp(j\beta \ell )}}\,}$

損失のないケースでは、反射係数に関する正規化インピーダンスの式に代入する。

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

オイラーの公式を用いると

${\displaystyle \exp(j\theta )={\text{cis}}\,\theta =\cos \theta +j\,\sin \theta \,}$

損失がない場合のインピーダンス版伝送線路方程式が得られる：^{[ 24 ]}

${\displaystyle Z_{\mathsf {in}}=Z_{0}{\frac {\,Z_{\mathsf {L}}+j\,Z_{0}\tan(\beta \ell )\,}{\,Z_{0}+j\,Z_{\mathsf {L}}\tan(\beta \ell )\,}}\,}$

長さの無損失伝送線路の入力端で「見られる」インピーダンスは、インピーダンス で終端されている。 ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {in}}\,}$ ${\displaystyle \,\ell \,,}$ ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,}$

伝送線路方程式のバージョンは、アドミタンス損失がない場合と、インピーダンスとアドミタンス損失がある場合の両方に対して同様に導出できます。

伝送線路方程式を用いたスミスチャートのグラフ表現は、正規化してZスミスチャート上にプロットし、その点を通る円をスミスチャートの中心を中心として描きます。円弧に沿った経路は、伝送線路に沿って移動する際のインピーダンスの変化を表します。この場合、円周方向（波長）のスケーリングを使用する必要があります。これは伝送線路内の波長であり、自由空間の波長とは異なる場合があることに注意してください。 ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,,}$

Zスミスチャートの領域

極座標図を直交座標系にマッピングする場合、正の角度は反時計回りの方向で測定するのが慣例です。複素数の大きさは、原点から複素数を表す点まで引いた直線の長さです。スミスチャートでも同じ慣例が用いられ、正規化インピーダンス平面において、正のx軸はスミスチャートの中心から点まで伸びます。x軸より上の領域は誘導性インピーダンス（正の虚数部）を表し、 x軸より下の領域は容量性インピーダンス（負の虚数部）を表します。 ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=1\pm j0\,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=\infty \pm j\infty \,.}$

終端が完全に整合している場合、反射係数はゼロとなり、実質的には半径ゼロの円、つまりスミスチャートの中心点として表されます。終端が完全に開回路または短絡回路である場合、反射係数の大きさは1となり、すべての電力が反射され、その点は1の円周円上のどこかに位置します。

一定の正規化抵抗円と一定の正規化リアクタンス円

スミスチャートは、2種類の円群から構成されます。すなわち、正規化抵抗一定円（ の定常直線）と正規化リアクタンス一定円（ の定常直線）です。複素反射係数平面において、スミスチャートは原点を中心とする半径1の円を描きます。したがって、直交座標系では、この円はx軸上の点(+1,0)と(-1,0)、 y軸上の点(0,+1)と(0,-1)を通ります。 ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$

(ここでは虚数) を式に代入すると、次の結果が得られます (分子と分母の両方に分母の複素共役を掛けて分母から虚数を消去した後)。 ${\displaystyle z=\Re e[z]+j\Im m[z]}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \Gamma ={\frac {z-1}{\,z+1\,}}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Gamma =\left[{\frac {\Re e[z]^{2}+\Im m[z]^{2}-1}{\,(\Re e[z]+1)^{2}+\Im m[z]^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {2\,\Im m[z]}{\,(\Re e[z]+1)^{2}+\Im m[z]^{2}\,}}\right].}$

この式は、定数または定数の線をプロットすると円を生成します。受動部品の場合、スミスチャートの線は の値に対してのみプロットされます。^{[ 25 ]} ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]>0}$

実例

正規化されたインピーダンス スミス チャートにプロットされた例のポイント。

反射係数の大きさが0.63で、角度が60°の点（極座標で と表記）は、スミスチャート上で点P ₁として示されます。これをプロットするには、円周方向（反射係数）の角度スケールを使って目盛りを見つけ、定規を使ってこの目盛りとスミスチャートの中心を通る線を引きます。線の長さは、スミスチャートの半径が1であると仮定して、P ₁にスケール調整されます。例えば、紙から測定した実際の半径が100 mmの場合、長さOP ₁は63 mmになります。 ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \angle 60^{\circ }\,}$

次の表は、 Zスミスチャート上にプロットされた点の類似例をいくつか示しています。それぞれの点について、反射係数が極座標形式で、対応する正規化インピーダンスが直交座標形式で示されています。変換はスミスチャートから直接読み取ることも、式に代入することもできます。

正規化インピーダンススミスチャート上にプロットされた点の例

ポイントのアイデンティティ	反射係数（極形式）	正規化インピーダンス（長方形形式）
P 1（帰納的）	${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.80+j1.40\,}$
P 2（帰納的）	${\displaystyle 0.73\angle 125^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.20+j0.50\,}$
P 3（容量性）	${\displaystyle 0.44\angle -116^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.50-j0.50\,}$

ZスミスチャートとYスミスチャートの両方を扱う

RF 回路とマッチングの問題では、アドミタンス (コンダクタンスとサセプタンスを表す) を扱う方が便利な場合もあれば、インピーダンス (抵抗とリアクタンスを表す) を扱う方が便利な場合もあります。一般的なマッチングの問題を解決するには、直列要素には正規化インピーダンスを使用し、並列要素には正規化アドミタンスを使用して、両方のタイプのスミスチャートを何度か変更する必要がある場合があります。これらのために、デュアル (正規化) インピーダンスおよびアドミタンス スミス チャートを使用できます。または、必要に応じて、1 つのタイプを使用して、スケーリングを他のタイプに変換することもできます。正規化インピーダンスから正規化アドミタンスへ、またはその逆に変更するには、検討中の反射係数の値を表す点を、同じ半径で正確に 180 度移動します。たとえば、反射係数を表す例の点 P1 は、正規化インピーダンスが です。これを、同等の正規化アドミタンス点 (たとえば Q1) にグラフィカルに変更するには、定規を使用して、P1 からスミス チャートの中心を通って Q1 まで、反対方向に等しい半径の線を引きます。これは、点を正確に180度の円軌道に沿って移動させることに相当します。スミスチャートからQ1の値を読み取ると、スケーリングが正規化アドミタンスになっていることを念頭に置くと、次の式が得られます。計算を実行すると、 ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$ ${\displaystyle z_{P}=0.80+j1.40\,}$ ${\displaystyle y_{P}=0.30-j0.54\,}$

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {1}{z_{\text{T}}}}\,}$

これを手動で確認します。

インピーダンスからアドミタンスへの変換が実行されると、後で正規化されたインピーダンスへの変換が実行されるまで、スケーリングは正規化されたアドミタンスに変わります。

下の表は、正規化インピーダンスと、点を180°回転させて得られる等価な正規化アドミタンスの例を示しています。これらの値も、計算によって求めることも、図に示すようにスミスチャートを用いて正規化インピーダンス平面と正規化アドミタンス平面を変換することによって求めることもできます。

正規化インピーダンスとしての反射係数の値と、それと同等の正規化アドミタンス

正規化インピーダンス	正規化アドミタンス
P 1 ( ) ${\displaystyle z=0.80+j1.40\,}$	問1（） ${\displaystyle y=0.30-j0.54\,}$
P 10 ( ) ${\displaystyle z=0.10+j0.22\,}$	問10（） ${\displaystyle y=1.80-j3.90\,}$

正規化インピーダンス スミス チャートにプロットされた複素反射係数の値と、正規化アドミタンス スミス チャート上のそれと同等の値。

スミスチャートタイプとコンポーネントタイプの選択

特定の計算においてZスミスチャートとYスミスチャートのどちらを使用するかは、どちらがより便利かによって決まります。直列インピーダンスと並列アドミタンスは加算されますが、並列インピーダンスと直列アドミタンスは逆数の関係にあります。直列インピーダンスの等価インピーダンスを 、並列インピーダンスの等価インピーダンスを とすると、 ${\displaystyle Z_{\text{TS}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{TP}}}$

${\displaystyle Z_{\text{TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{TP}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}+...\,}$

入学の場合は逆のことが当てはまります。

${\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Y_{\text{TS}}}}={\frac {1}{Y_{1}}}+{\frac {1}{Y_{2}}}+{\frac {1}{Y_{3}}}+...\,}$

逆数、特に複素数を扱う場合、線形加算よりも時間がかかり、エラーが発生しやすくなります。そのため、一般的に、多くのRFエンジニアは、回路構成が線形加算をサポートできる平面で作業を行います。次の表は、抵抗、インダクタンス、容量という3つの基本的な受動回路要素それぞれについて、インピーダンス（実数および正規化）とアドミタンス（実数および正規化）の複素表現を示しています。特性インピーダンス（または特性アドミタンス）と試験周波数のみを使用して等価回路を見つけることができます。逆もまた同様です。

インピーダンスZ ₀またはアドミタンスY ₀で正規化されたインピーダンスとアドミタンスの表現

要素タイプ	インピーダンス（Zまたはz）またはリアクタンス（Xまたはx）		アドミッタンス（Yまたはy）またはサセプタンス（Bまたはb）
	実際 （Ω）	正規化 （単位なし）	実際 （S）	正規化 （単位なし）
抵抗（R）	${\displaystyle \;Z=R\;}$	${\displaystyle \;z={\frac {R}{Z_{0}}}=RY_{0}\;}$	${\displaystyle \;Y=G={\frac {1}{R}}\;}$	${\displaystyle \;y=g={\frac {1}{RY_{0}}}={\frac {Z_{0}}{R}}\;}$
インダクタンス( L )	${\displaystyle \;Z=jX_{\text{L}}=j\omega L\;}$	${\displaystyle \;z=jx_{\text{L}}=j{\frac {\omega L}{Z_{0}}}=j\omega LY_{0}\;}$	${\displaystyle \;Y=-jB_{\text{L}}={\frac {-j}{\omega L}}\;}$	${\displaystyle \;y=-jb_{\text{L}}={\frac {-j}{\omega LY_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{\omega L}}\;}$
静電容量（C）	${\displaystyle \;Z=-jX_{\text{C}}={\frac {-j}{\omega C}}\;}$	${\displaystyle \;z=-jx_{\text{C}}={\frac {-j}{\omega CZ_{0}}}={\frac {-jY_{0}}{\omega C}}\;}$	${\displaystyle \;Y=jB_{\text{C}}=j\omega C\;}$	${\displaystyle \;y=jb_{\text{C}}=j{\frac {\omega C}{Y_{0}}}=j\omega CZ_{0}\;}$

スミスチャートを用いて分散コンポーネントの共役マッチング問題を解く

分布整合は実現可能であり、整合部品の物理的サイズが動作周波数における波長の約5%を超える場合に必要となることがあります。この場合、多数の集中定数部品の電気的挙動は予測不可能になります。これは、マイクロ波回路や、短波、FM、テレビ放送において大電力のために大型部品が必要となる場合に発生します。

分散コンポーネントの場合、波長で較正されたスミス チャートの外周スケールを使用して、伝送線路に沿って移動することによる反射係数とインピーダンスへの影響を考慮する必要があります。

次の例は、任意の負荷で終端された伝送線路を、正確な位置に接続された直列または並列のリアクティブ部品を使用して、1 つの周波数で整合させる方法を示しています。

いくつかの分散伝送線路マッチングのためのスミス チャートの構築。

特性インピーダンス の無損失エアスペース伝送線路が800MHzで動作し、17.5Ωの抵抗と6.5ナノヘンリー（6.5nH）のインダクタを直列に接続した回路で終端されているとします。この伝送線路はどのように整合すればよいでしょうか？ ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

上の表から、800MHzにおける終端部を構成するインダクタのリアクタンスは、

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\ \Omega \,}$

したがって、組み合わせのインピーダンス（）は次のように与えられる。 ${\displaystyle Z_{T}}$

${\displaystyle Z_{T}=17.5+j32.7\ \Omega \,}$

そして正規化されたインピーダンス（）は ${\displaystyle z_{T}}$

${\displaystyle z_{T}={\frac {Z_{T}}{Z_{0}}}=0.35+j0.65\,}$

これはZスミスチャート上の点P ₂₀にプロットされます。直線OP ₂₀は波長スケールまで延長され、点 で交差します。伝送線路は損失がないため、スミスチャートの中心を中心とする円が点P ₂₀を通り、終端による一定振幅反射係数の経路を表します。点P ₂₁で、円は一定正規化抵抗の単位円と交差します。 ${\displaystyle L_{1}=0.098\lambda \,}$

${\displaystyle z_{P21}=1.00+j1.52\,}$。

直線OP ₂₁の延長線は波長スケールと交差するので、終端からこの点までの距離は次のように表される。 ${\displaystyle L_{2}=0.177\lambda \,}$

${\displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177\lambda -0.098\lambda =0.079\lambda \,}$

伝送線路は空間的に配置されているため、800MHzにおける伝送線路上の波長は自由空間における波長と同じであり、次のように表される。

${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}\,}$

ここで、 は自由空間における電磁放射の速度、は周波数（Hz）です。結果は となり、整合部品の位置は負荷から29.6 mmになります。 ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \lambda =375\ \mathrm {mm} \,}$

_{P 21} ( ) におけるインピーダンスの共役整合は ${\displaystyle z_{match}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j(1.52),\!}$

スミスチャートは正規化されたインピーダンス平面にあるため、上の表から、直列コンデンサが必要になります。 ${\displaystyle C_{m}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j1.52={\frac {-j}{\omega C_{m}Z_{0}}}={\frac {-j}{2\pi fC_{m}Z_{0}}}\,}$

整理すると、

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}}$。

既知の値を代入すると

${\displaystyle C_{m}=2.6\ \mathrm {pF} \,}$

800 MHz で終端を一致させるには、終端から 29.6 mm の距離で伝送ラインと直列に 2.6 pF の直列コンデンサを配置する必要があります。

代替のシャント整合は、スミスチャートを用いて正規化インピーダンスから正規化アドミタンスへの変換を行うことで計算できます。点Q _{20はP 20}に相当しますが、正規化アドミタンスとして表されます。スミスチャートのスケールから読み取ると、これが正規化アドミタンスになっていることを念頭に置くと、以下の式が得られます。

${\displaystyle y_{Q20}=0.65-j1.20\,}$

（実際にはこの値は使用されません）。しかし、直線OQ ₂₀を波長スケールまで延長すると、 となります。発電機に向かってシャント共役整合を導入できる最も早い点はQ ₂₁であり、これは前のP ₂₁と同じ位置ですが、今回は正規化されたアドミタンスを表し、 ${\displaystyle L_{3}=0.152\lambda \,}$

${\displaystyle y_{Q21}=1.00+j1.52\,}$。

この場合、伝送線路に沿った距離は

${\displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177\lambda +0.152\lambda =0.329\lambda \,}$

123 mmに換算します。

共役整合部品は、正規化アドミッタンス（）が ${\displaystyle y_{match}}$

${\displaystyle y_{match}=-j1.52\,}$。

表から、負のアドミタンスには伝送線路に並列に接続されたインダクタが必要であることがわかります。その値が の場合、 ${\displaystyle L_{m}\,}$

${\displaystyle -j1.52={\frac {-j}{\omega L_{m}Y_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{2\pi fL_{m}}}\,}$

結果は次のようになる

${\displaystyle L_{m}=6.5\ \mathrm {nH} \,}$

したがって、適切な誘導性シャントマッチングは、負荷から 123 mm の位置にあるラインと並列の 6.5 nH インダクタになります。

スミスチャートを用いた集中定数回路の解析

スミス チャートを使用して解析できる集中定数回路。

集中回路の解析のためのグラフィカル構成を備えたスミス チャート。

集中定数コンポーネントの解析では、動作周波数における波長がコンポーネント自体の寸法よりもはるかに大きいと仮定します。 スミス チャートを使用してこのような回路を解析することができます。その場合、チャート上の動きは、動作周波数におけるコンポーネントの (正規化された) インピーダンスとアドミタンスによって生成されます。 この場合、スミス チャートの円周上の波長スケーリングは使用されません。 次の回路は、100 MHz の動作周波数でスミス チャートを使用して解析されます。 この周波数では、自由空間の波長は 3 m です。 コンポーネントの寸法自体はミリメートルのオーダーなので、集中定数コンポーネントの仮定は有効です。 伝送線路自体が存在しないにもかかわらず、正規化および非正規化の計算を可能にするためにシステム インピーダンスを定義する必要があり、としてここでは適切な選択です。 抵抗の値が大きく異なる場合は、これらに近い値の方が良い選択となる可能性があります。 ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega \,}$ ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

分析は、他のコンポーネントが存在しないR ₁のみを調べる Z スミス チャートから始まります。システム インピーダンスと同様に、これはスミス チャートの中心の点で表されます。最初の変換は、一定の正規化抵抗のラインに沿った OP ₁です。この場合は、正規化リアクタンス - j 0.80 が追加され、40 pF の直列コンデンサに相当します。接尾辞 P の付いた点はZ平面にあり、接尾辞 Q の付いた点はY平面にあります。したがって、P _1からQ ₁への変換とP _3からQ ₃への変換は、Z スミス チャートから Y スミス チャートへの変換であり、Q _2からP ₂への変換は、Y スミス チャートから Z スミス チャートへの変換です。次の表は、残りのコンポーネントと変換を処理し、最終的にスミス チャートの中心と完全な 50 オーム整合に戻るための手順を示しています。 ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

集中定数回路を解析するためのスミスチャートの手順

変換	飛行機	xまたはb正規化された値	静電容量/インダクタンス	解くための公式	結果
${\displaystyle O\rightarrow P_{1}\,}$	${\displaystyle Z\,}$	${\displaystyle -j0.80\,}$	静電容量（直列）	${\displaystyle -j0.80={\frac {-j}{\omega C_{1}Z_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{1}=40\ \mathrm {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{1}\rightarrow Q_{2}\,}$	${\displaystyle Y\,}$	${\displaystyle -j1.49\,}$	インダクタンス（シャント）	${\displaystyle -j1.49={\frac {-j}{\omega L_{1}Y_{0}}}\,}$	${\displaystyle L_{1}=53\ \mathrm {nH} \,}$
${\displaystyle P_{2}\rightarrow P_{3}\,}$	Z	${\displaystyle -j0.23\,}$	静電容量（直列）	${\displaystyle -j0.23={\frac {-j}{\omega C_{2}Z_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{2}=138\ \mathrm {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{3}\rightarrow O\,}$	はい	${\displaystyle +j1.14\,}$	静電容量（シャント）	${\displaystyle +j1.14={\frac {j\omega C_{3}}{Y_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{3}=36\ \mathrm {pF} \,}$

バリエーションと拡張

Yスミスチャート

インピーダンスの代わりにアドミタンスを用いたスミスチャート。すべては同じですが、すべてのグリッド線が点を中心に180°回転しています（ の場合に発生します）。 ${\displaystyle \Gamma =0+j0}$ ${\displaystyle z=y=1+j0}$

YスミスチャートはZスミスチャートと同様の方法で構築されますが、電圧反射係数の値は正規化インピーダンスではなく正規化アドミタンスで表されます。正規化アドミタンスyは正規化インピーダンスzの逆数であるため、

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{z}}~.}$

したがって：

${\displaystyle y={\frac {1-\Gamma }{\,1+\Gamma \,}}\,,}$

そして

${\displaystyle \Gamma ={\frac {1-y}{\,1+y\,}}~.}$

Yスミス チャートは正規化されたインピーダンス タイプに似ていますが、グラフィックのネストされた円が 180° 回転し、数値スケールは Z チャートと同じ位置 (回転していない) のままになります。

正規化されたインピーダンスに対して行われた展開と同様に、

${\displaystyle \Gamma =\left[{\frac {1-\Re e[y]^{2}-\Im m[y]^{2}}{\,(\Re e[y]+1)^{2}+\Im m[y]^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {-2\,\Im m[y]}{\,(\Re e[y]+1)^{2}+\Im m[y]^{2}\,}}\right]~.}$

x軸より上の領域は容量性アドミタンスを表し、 x軸より下の領域は誘導性アドミタンスを表します。容量性アドミタンスは正の虚数部を持ち、誘導性アドミタンスは負の虚数部を持ちます。

繰り返しになりますが、終端が完全に整合している場合、反射係数はゼロとなり、半径ゼロの「円」、つまりスミスチャートの中心点として表されます。終端が完全に開回路または短絡している場合、電圧反射係数の値は1となり、すべての電力が反射され、その点はスミスチャートの1の円周円上のどこかに位置します。

負性抵抗の拡張（zの実部<0）

スミスチャートでは、定数線が紫色の円^{[ e ]}で描かれ、定数線（青い円^{[ d ]}）は、直線に対応する最大の赤い円を超えて延長されています。 ${\displaystyle \Re e[z]<0}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]=0}$

スミスチャートは負性抵抗 まで拡張できますが、実際にはそのような拡張チャートはほとんど使用されません。このような場合、反射係数 の振幅は1より大きくなり、入射エネルギーよりも多くのエネルギーが反射されることを意味します。これは、追加の電力が外部DCバイアスから供給される電子増幅の一般的なケースであるため、必ずしもエネルギー保存則に違反するわけではありません。 ${\displaystyle (\Re e[z]<0)}$ ${\displaystyle \Gamma }$

スミスチャートの単位球へのマッピング

単位半球面に投影されたスミスチャート^{[ f ]}

一定抵抗線のみ ${\displaystyle \left(\Re e[z]\right)}$

一定リアクタンスの線路のみ ${\displaystyle \left(\Im m[z]\right)}$

定抵抗と定リアクタンスの合成線（と） ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$

2011年、ミュラーらは、反射係数 の2次元複素平面からリーマン球面へのスミスチャートの写像を提案した。平面から球面への写像は、立体射影を用いて行われる。^{[ g ]}得られたリーマン球面は、以下の特性を持つ単位球面である。^{[ 26 ]} ${\displaystyle \Gamma }$

• 上の点は、（ のときに発生する）点を表します。 ${\displaystyle (x=0,y=0,z=1)}$ ${\displaystyle \Gamma =0}$ ${\displaystyle z=1+j0}$
• 球面の上半分は円の内部領域に対応する（これは-空間半平面で発生する） ${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re e[z]>0}$
• 球の上半分と下半分を分ける円は、円（ -空間線に発生する）に対応する。 ${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re e[z]=0}$
• 球面の下半分は円の外側の領域に対応する（これは-空間半平面で発生する） ${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re e[z]<0}$
• 一番下の点は（ のときに発生する）の場合を表します。 ${\displaystyle (x=0,y=0,z=-1)}$ ${\displaystyle \left|\Gamma \right|\to \infty }$ ${\displaystyle z=-1+j0}$

最後の 2 つの特性は、円の外側の無限平面が有限の半球にマッピングされることを意味します。 ${\displaystyle \Gamma =1}$

球面上の点は値 ( )に対応し、 の複数の値が に写像される唯一の点であるため、数学的な特異点となります。そのため、すべての円はこの点を含みます。 ${\displaystyle \left(x=1,y=0,z=0\right)}$ ${\displaystyle \Gamma =1+j0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \left(\Re e[z]=\pm \infty ,\,\Im m[z]=\pm \infty ,{\text{and }}z=-1+j0\right)}$

2020年、ミュラーらは 球面上のスミスチャートの新たな用途を提案し、群遅延やQ値などのパラメータを球面上ではなく球面外にプロットしました。視覚的な周波数方向（時計回りと反時計回り）により、2次元スミスチャート上にプロットした際に反射係数は同じであるものの、周波数が増加するにつれて方向が変化する負性​​（容量性）と正性（誘導性）を区別することが可能になります。^{[ 27 ]}

参照

• バイナリタイリング
• ボード線図
• cis（数学）
• ヘイランド・オッサナ円図
• ナイキスト線図
• 横断的（楽器製作）

脚注

1. 反射係数と正規化インピーダンス はどちらも単位のない量であり、は電圧の比として定義され、 はインピーダンスの比として定義される。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$
2. は電気抵抗に対応し、 は 電気リアクタンスに対応します。 ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Im m[z]}$
3. 負性抵抗は に対応し、能動回路に関連付けられます。 ${\displaystyle \Re e[z]<0}$
4. の場合、弧は直線（無限半径の円）になります。 ${\displaystyle \Im m[z]=0}$
5. の場合、円は直線（無限半径の円）になる。 ${\displaystyle \Re e[z]=-1}$
6. 分かりやすくするために、上半球のみをプロットしています。下半球では、定数 の青い弧が鏡像となって完全な円を形成し、定数 の赤い円がの円と鏡像であるという規則によるものです。鏡像は円を含む平面を中心としています。 ${\displaystyle \Im m[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]}$ ${\displaystyle \Re e[z]=x}$ ${\displaystyle \Re e[z]=-x}$ ${\displaystyle \Re e[z]=0}$
7. Mullerらが使用した変換は、Wikipediaの立体投影に関する記事で紹介されているものとは若干異なります。Mullerらは変換を使用しました。 ${\displaystyle \Gamma _{sphere}=\left({\frac {2\cdot \Re e[\Gamma ]}{1+\Re e[\Gamma ]^{2}+\Im m[\Gamma ]^{2}}},{\frac {2\cdot \Im m[\Gamma ]}{1+\Re e[\Gamma ]^{2}+\Im m[\Gamma ]^{2}}},{\frac {1-(\Re e[\Gamma ]^{2}+\Im m[\Gamma ]^{2})}{1+\Re e[\Gamma ]^{2}+\Im m[\Gamma ]^{2}}}\right)}$

参考文献

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さらに読む

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• フレミング、ジョン・アンブローズ（1912年1月）[1911年5月]. 『電話・電信導体における電流の伝播：ロンドン大学大学院講義』（改訂第2版）. ユニバーシティ・カレッジ、ロンドン、英国：コンスタブル・アンド・カンパニー社. ark:/13960/t3bz6211d . 2023年7月23日閲覧.（14+316ページ）
• Krauss, Herbert L. (1949年9月). 「伝送線路図」.電気工学. 第68巻第9号. pp. 766–774 [767]. doi : 10.1109/EE.1949.6444963 . eISSN  2376-7804 . ISSN  0095-9197 .
• Lee, Donald (2013年1月30日). 「スミスチャート・チューニング パートI」 . SOCビジネスユニット、アドバンテスト・テストセル・イノベーションズ、アドバンテスト株式会社. 2023年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年7月9日閲覧。（29ページ）
• Gamblin, Trevor (2015-07-23). 「スミスチャートの数学的構成と特性」 . allaboutcircuits.com . 2023年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年7月9日閲覧。
• ステープルズ、ジョン (2015). 「インピーダンス整合とスミスチャート」(PDF) . 米国粒子加速器学校 (USPAS). 2023年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2023年7月9日閲覧.（27ページ）

外部リンク

• 「Excelスミスチャート」 . excelhero.com . 2010年8月.Excel 2007 以降で最もよく表示される非商用のインタラクティブなスミス チャート。
• 「SimSmith」。ae6ty.com 。非商用、Windows、Mac、Linuxでご利用いただけます。スミスチャートのチュートリアルビデオも多数ご用意しています。回路サイズに制限はありません。ラダー回路に限定されません。
• 「Smith v3」 . fritz.dellsperger.net . 2015年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。Windows 用の商用および無料のスミスチャート
• 「QuickSmith」 . github.com/niyeradori . 2021年11月2日.GitHubで入手できる無料の Web ベースのスミス チャート教育ツール。
• 「3D スミス チャート ツール」。3dsmithchart.com 。アクティブ回路とパッシブ回路用の 2D および 3D スミス チャートの汎用ツール (学術機関/教育機関向けには無料)。

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