スナブ（幾何学）

Geometric operation applied to a polyhedron

無視された2つのアルキメデス立体

スナブ立方体または スナブ立方八面体

スナブ十二面体または スナブ二十面体

切頂立方八面体の交互の（赤または緑）頂点としての、スナブ キューブの 2 つのキラル コピー。

6 つの青い正方形の面を、12 個の白い正方形の面が正三角形の面のペアになるまで回転させることにより、菱形立方体八面体からスナブキューブを作成できます。

菱形八面体をスナブキューブに変換する様子を視覚化します。

幾何学において、スナブとは多面体に適用する操作である。この用語は、ケプラーがアルキメデスの立体2つ、すなわちスナブ立方体（cubus simus）とスナブ十二面体（dodecaedron simum）に付けた名前に由来する。^[1]

一般的に、スナブは時計回りと反時計回りの2つの形状を持つカイラル対称性を持ちます。ケプラーの名称から、スナブは正多面体の拡大と見ることができます。つまり、面を離し、中心を軸にねじり、元の頂点を中心とする新たな多角形を追加し、元の辺の間にフィットする三角形のペアを追加します。

この用語は、わずかに異なる定義で、より広範な均一多面体集合に対してCoxeterによって一般化されました。

コンウェイの冷遇

ジョン・コンウェイは一般化された多面体演算子を研究し、現在ではコンウェイ多面体記法と呼ばれるものを定義し、これは多面体とタイリングに適用できる。コンウェイはコクセターの演算をセミスナブと呼んでいる。^[2]

この記法では、スナブは双対演算子とジャイロ演算子によってs  =  dgと定義され、アンボ演算子の切り捨ての交代と等価です。コンウェイ記法自体は、コクセターの交代（半）演算を回避します。これは、コクセターの交代（半）演算が偶数辺を持つ多面体にのみ適用されるためです。

無視された通常のフィギュア

無視するフォーム	多面体			ユークリッドタイル		双曲タイル
名前	四面体	立方体または 八面体	二十面体または 十二面体	正方形のタイル	六角形のタイル張りまたは 三角形のタイル張り	七角形タイル張りまたは 7次三角形タイル張り
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スナッブ形式のコンウェイ 記法	sT	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ 7
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4次元において、コンウェイは、スナブ24セルはセミスナブ24セルと呼ぶべきだと示唆している。これは、3次元のスナブ多面体が交互全切形であるのに対し、これは交互全切形24セルではないためである。実際には、交互切形24セルである。^[3]

コクセターのスナブ、レギュラーと準レギュラー

スナブキューブ（立方体または立方八面体から派生）

	シード	修正された r	切り捨てられた t	交互 h
名前	キューブ	直方八面体 直方体	切頂立方 八面体	スナブ直方八面体 スナブ直方体
コンウェイ記法	C	CO rC	tCO trC または trO	htCO = sCO htrC = srC
シュレーフリ記号	{4,3}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$またはr{4,3}	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$またはtr{4,3}	${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
コクセター図		または	または	または
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コクセターのスナブの用語法は若干異なり、交互 切頂を意味し、スナブ立方体はスナブ立方八面体、スナブ十二面体はスナブ二十二十二面体として導出される。この定義は、2つのジョンソン立体（スナブ二蝶形とスナブ正方反プリズム）の命名に用いられている。また、拡張シュレーフリ記号s{3,4,3}とコクセター図で表される4次元スナブ24セルなどの高次元多面体や、コクセター図にも用いられている。。

正多面体（またはタイル）、シュレーフリ記号、コクセター図 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ 、切り捨てはと定義され、 ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$、交互切り捨てとして定義されるスナブがあり、 ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$この交互構成ではqが偶数である 必要があります。

シュレーフリ記号またはr { p , q }とコクセター図を持つ準正多面体 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$またはは、準正規切り捨てがtr { p , q }として定義され、 ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$または、および交互切断修正またはhtr { p , q } = sr { p , q }として定義される準正規スナブを持ち、 ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$または。

例えば、ケプラーのスナブキューブは、垂直なシュレーフリ記号とコクセター図を持つ準正立方八面体から派生した。 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ より明確には、垂直なシュレーフリ記号とコクセター図で表されるスナブ立方八面体と呼ばれる。 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$. スナブ立方八面体は、切頂立方八面体、、およびが交互に配置されたものである。 ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$。

偶数次の頂点を持つ正多面体も、交互切形としてスナッブすることができる。例えば、スナッブ八面体、 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$は、切頂八面体、、およびの交代形である。 ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$.スナブ八面体は擬二十面体、つまり黄鉛面対称性を持つ正二十面体を表します。

スナブテトラテトラヘドロン、、および ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$は、切頂四面体対称形の交代であり、 ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$。

	シード	切り捨てられた t	交互 h
名前	八面体	切頂八面体	スナブ八面体
コンウェイ記法	お	に	htOまたはsO
シュレーフリ記号	{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}
コクセター図
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Coxeter のスナブ演算により、n反プリズムを、n プリズムまたはに基づいて、またはとして定義することもできます。一方、 は、正 n直面体、つまり退化した多面体ですが、二角形または三角錐形の面を持つ球面上の有効なタイリングです。 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$

スナブホソヘドラ、 {2,2p}

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コクセター 図							... ...
シュレーフリ 記号	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14}	s{2,16} ...	s{2,∞}
	sr{2,2} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	sr{2,3} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	sr{2,4} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	sr{2,5} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$	sr{2,6} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}$	sr{2,7} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}$	sr{2,8}... ... ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}$	sr{2,∞} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}$
コンウェイ 記法	A2 = T	A3 = 〇	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

スナブ タイリングにも同じプロセスが適用されます。

三角形のタイリング Δ	切頂三角形タイリング tΔ	スナブ三角形タイリング htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

例

{p,4}に基づくスナブ

空間	球状		ユークリッド	双曲線
画像
コクセター 図								...
シュレーフリ 記号	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4}	s{6,4}	s{7,4}	s{8,4}	... s{∞,4}

r{p,3}に基づく準正規スナブ

コンウェイ 記法	球状				ユークリッド	双曲線
画像
コクセター 図								...
シュレーフリ 記号	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3}	sr{8,3}	... sr{∞,3}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}}$
コンウェイ 記法	A3	sT	sCまたはsO	sDまたはsI	sΗまたはsΔ

r{p,4}に基づく準正規スナブ

空間	球状		ユークリッド	双曲線
画像
コクセター 図								...
シュレーフリ 記号	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	... sr{∞,4}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}}$
コンウェイ 記法	A4	sCまたはsO	sQ

不均一なスナブ多面体

すべての頂点が偶数価である非一様多面体は無視できます。これにはいくつかの無限集合も含まれます。たとえば、次のようになります。

スナブ双錐sdt{2,p}

スナブ四角錐
スナブ六角両錐

スナブ修正双錐体 srdt{2,p}

スナブ反プリズム s{2,2p}

画像				...
シュレーフリ 記号	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
	ssr{2,2} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,3} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,4} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,5}... ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$

コクセターの均一なスナブ星型多面体

スナブ星型多面体は、シュワルツ三角形(pqr)によって構成され、有理的に整列した鏡面角度を持ち、すべての鏡面がアクティブで交互に配置されています。

冷遇された均一な星型多面体

s{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)}	sr{5,5/2}	s{(3,5,5/3)}	sr{5/2,3}
sr{5/3,5}	s{(5/2,5/3,3)}	sr{5/3,3}	s{(3/2,3/2,5/2)}	s{3/2,5/3}

コクセターの高次元スナッブ多面体とハニカム

一般に、シュレーフリ記号 とコクセター図を備えた正多角形 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ 、拡張されたシュレーフリ記号 を持つスナブがあり、 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$。

修正ポリクロロン= r{p,q,r}、および ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ スナブシンボル= sr{p,q,r}を持ち、 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$。

例

スナブ24セルの直交投影

4次元には一様凸スナブが1つだけ存在し、それはスナブ24セルである。通常の24セルはシュレーフリ記号、、 コクセター図で表される。 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ 、スナブ24セルは、コクセター図で表される。 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ 。また、指数6の低い対称性構成はs{3 1,1,1 }とs{3 ^1,1,1 }であり、 ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$、指数3の部分対称性はsr{3,3,4}またはsr{3,3,4}であり、 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$または。

関連するスナブ24セルハニカムはaまたはs{3,4,3,3}と見ることができ、 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$、対称性が低い、またはsr{3,3,4,3}と ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$または、および最小対称形はs{3 ^1,1,1,1 } および ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$。

ユークリッドハニカムは、交互に並んだ六角形のスラブハニカム、s{2,6,3}、およびまたはsr{2,3,6}、およびまたはsr{2,3 ^[3] }、および。

もう一つのユークリッド（スカリフォーム）ハニカムは、交互の正方形スラブハニカム、s{2,4,4}、およびまたはsr{2,4 ^1,1 }と:

唯一の均一なスナブ双曲型均一ハニカムは、スナブ六角形タイリングハニカムであり、s{3,6,3}とは、交互に配置された六角形のハニカムh{6,3,3}としても構成できます。^{s{3 [3,3]} }と表すこともできる。。

もう一つの双曲面（スカリフォーム）ハニカムは、スナブオーダー4の八面体ハニカム、s{3,4,4}であり、。

参照

• スナブ多面体

多面体演算子

• v
• t
• e

シード	切り捨て	整流	ビット切り捨て	デュアル	拡大	オムニトランケーション	交替
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }

参考文献

1. ケプラー、ハーモニース・ムンディ、1619
2. Conway, (2008) p.287 コクセターのセミスナブ作戦
3. Conway, 2008, p.401 ゴセットのセミスナブ多八面体

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド；ロンゲット＝ヒギンズMS；ミラーJCP (1954). 「均一多面体」.ロンドン王立協会哲学論文集. シリーズA. 数学・物理科学. 246 (916). 王立協会: 401– 450.書誌コード: 1954RSPTA.246..401C. doi : 10.1098/rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. MR  0062446. S2CID  202575183.
• コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8（pp. 154–156 8.6 部分的な切り捨て、または交替）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]、Googleブックス [2]
  • (論文 17)コクセター、コクセター・ディンキン図の進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成）
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5
• リチャード・クリツィング「スナブ、交互ファセット、ストット・コクセター・ディンキン図」『対称性：文化と科学』第21巻第4号、329-344頁、(2010年) [3]

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