ソリッドハーモニクス

Solutions of the Laplace equation in spherical polar coordinates

物理学と数学において、固体調和関数（せいちせいはんふくふくふくふく）は、球面極座標におけるラプラス方程式の解であり、（滑らかな）関数であると仮定される。固体調和関数には2種類ある。原点で明確に定義される正則固体調和関数と、原点で特異な関数である不規則固体調和関数である。どちらの関数群もポテンシャル理論において重要な役割を果たし、球面調和関数を適切に再スケーリングすることで得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$$

導出、球面調和関数との関係

3次元ベクトルrの球面極座標にr、θ、φを導入し、が（滑らかな）関数であると仮定すると、ラプラス方程式を次の形で表すことができます。ここで、L ²は無次元角運動量演算子の2乗です。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {L}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}$$

球面調和関数Y​ ^m
_ℓはL ²の固有関数である: $${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$$

Φ( r ) = F ( r ) Yの代入^m
_ℓラプラス方程式に球面調和関数を除算すると、次の放射状方程式とその一般解が得られる。

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}$$

全ラプラス方程式の特定の解は、正則固体調和関数:および 不規則固体調和関数: です。正則固体調和関数は、調和同次多項式、つまりラプラス方程式の解である同次多項式に対応します。 $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}$$

ラカの正常化

両方の関数（および不規則立体調和関数にも同様）には、1への正規化の代わりに、ラカの正規化（シュミットの半正規化とも呼ばれる）が適用されます 。これは、多くの応用において、ラカの正規化係数が導出過程を通じて変化しないように見えるため便利です。 $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }}$$

加法定理

正則固体調和関数の変換は有限展開を与え、クレプシュ・ゴルダン係数は次のように与えられる。 $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}$$ $${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

不規則立体調和関数に対する同様の展開は、の無限級数を与える。括弧内の量は、再びクレプシュ・ゴルダン係数である。 $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }$$ ${\displaystyle |r|\leq |a|\,}$ $${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

加法定理は複数の著者によって異なる方法で証明された。^{[1] [2]}

複合形式

正則固体調和関数は、ラプラス方程式 の同次多項式解である。不定項を分離してと書くと、ラプラス方程式は漸化式 と等価であることが容易に分かる。つまり、次および次 の多項式の任意の選択によって方程式の解が得られる。 次 の同次多項式空間（2変数）の特定の基底はである。これは回転群 の固有ベクトルの（正規化を除いて一意の）基底である点に注意されたい。平面を で回転させることにより、基底ベクトルを で乗算することになる。 ${\displaystyle \Delta R=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$ $${\displaystyle p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}}$$ ${\displaystyle p_{0}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle \rho _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle e^{\pm i(k-2m)\alpha }}$ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}}$

次数基底と次数基底を再帰公式と組み合わせると、次数 の調和同次多項式（今回は3変数）の空間の基底が得られます。この多項式はの固有ベクトルから構成されます（ラプラス作用素は回転不変であるため、再帰公式は-作用と互換性があることに留意してください）。これらは複素立体調和関数であり、一般に のときとなります。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle SO(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$

球面座標 、を代入し、を使用すると、多項式 を伴う球面調和関数との通常の関係が見つかります。これは (正規化を考慮すれば)ルジャンドル多項式であり、したがって(これも、正規化の特定の選択を考慮すれば) となります。 ${\displaystyle x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle z=r\cos(\varphi )}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

実在の形

± mの固体調和関数の単純な線形結合により、これらの関数は実関数、すなわち関数 に変換されます。直交座標で表される実正規固体調和関数は、x、y、zの位数の実数値同次多項式です。これらの多項式の明示的な形式は重要です。例えば、球面原子軌道や実多重極モーメントの形で現れます。ここで、実正規調和関数の明示的な直交座標表現を導出します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell }$

線形結合

前述の定義に従い、 は ℓ 位のルジャンドル多項式であるとして と書きます 。m依存位相はコンドン・ショートリー位相として知られています。 $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$$ $${\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}$$ ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$

次の式は、実正規立体調和関数を定義します。m = 0の場合:変換はユニタリ行列によって行われるため、実立体調和関数と複素立体調和関数の正規化は同じです。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$ $${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$$

z依存部分

u = cos θと書くと、ルジャンドル多項式のm次導関数は、 uについて次のように展開される。z = r cos θであるので、この導関数にrの適切なべき乗を掛けると、 zについて単純な多項式になる。 $${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}$$ $${\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}$$ $${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

（×、y)依存部分

次に、x = r sin θ cos φ、y = r sin θ sin φを思い出して考えてみましょう。同様に、さらに $${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$$ $${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$$ $${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$$

合計で

$${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }$$ $${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}$$

最下位関数のリスト

ℓ = 5までの最も低い関数を明示的に列挙する。ここで ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}$$

最も低い機能とは次のとおりです。 ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$

メートル	午前​	Bメートル
0	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 0\,}$
1	${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle y\,}$
2	${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}$	${\displaystyle 2xy\,}$
3	${\displaystyle x^{3}-3xy^{2}\,}$	${\displaystyle 3x^{2}y-y^{3}\,}$
4	${\displaystyle x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,}$	${\displaystyle 4x^{3}y-4xy^{3}\,}$
5	${\displaystyle x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,}$	${\displaystyle 5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,}$

参考文献

1. RJA ToughとAJ Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10 , p. 1261 (1977)
2. MJ Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11 , p. L23 (1978)

• Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). 「正則および不規則固体球面調和関数の回転と並進」 Lowdin, Per-Olov (編).量子化学の進歩第7巻 学術出版 pp.  1-82 . ISBN 9780080582320。
• トンプソン, ウィリアム・J. (2004).角運動量：物理系の回転対称性に関する図解ガイド. ワインハイム: Wiley-VCH. pp.  143– 148. ISBN 9783527617838。

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