Type of three-dimensional shape
曲線を回転させる。形成される面は 回転面 であり、回転立体を囲む。 回転体（ マテマテカ・イメ・ウスプ ） 幾何学 において 、 回転体と は、平面 図形を 直線 （ 回転軸 ）の周りで 回転させる ことによって得られる 立体 であり、その 直線は母線 と 交わって はならない （ただし、母線の境界を除く）。 この回転によって作られ、立体の境界となる 面が 回転面 である。
曲線が軸と交差しないと仮定すると、立体の 体積は図形の 重心 によって描かれる 円 の 長さに図形の 面積 を乗じた ものに等しくなります ( パップスの第 2 重心定理 )。
代表円板は 、 回転体の 三 次元 体積要素です。この要素は、 長さ w の 線分を（ r 単位離れた）ある軸を中心に回転させることによって作成され 、 π r 2 w 単位の 円筒形の 体積 が囲まれます。
ボリュームを見つける 回転体の体積を求める一般的な方法は、 円板積分法 と 殻積分法の 2つです。これらの方法を適用するには、まず対象となるグラフを描き、回転軸を中心に回転させる領域を特定し、厚さ δxの円板状の物体のスライス、または幅 δx の円筒殻の体積を求めます 。次に、 δx が 0 に近づくにつれてこれらの体積の極限和がどうなるかを調べます。この極限和は、適切な積分を求めることで求めることができます。より厳密な説明は、2つの異なる積分次数を用いて 円筒座標系 で 三重積分を 求めることで得られます。
ディスク法 y軸を中心とした円板積分 ディスク法は、描かれたスライスが 回転軸 に垂直で ある場合、つまり回転軸 に平行に積分する場合に使用されます。
f ( y ) と g ( y ) の曲線と y = a と y = b の直線の間の領域を y 軸の周りで回転させて形成される立体の体積は 、次のように与えられます
。 g ( y ) = 0 の場合 （たとえば、曲線と y 軸の間の領域を回転させる場合）、これは次のように簡略化されます。 V = π ∫ a b | f ( y ) 2 − g ( y ) 2 | d y . {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.} V = π ∫ a b f ( y ) 2 d y . {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}
この方法は、上部の f ( y ) と下部の g ( y ) の間の y にある薄い水平の長方形を考え、それを y 軸の周りに回転させることで視覚化できます。これにより、外半径が f ( y ) で内半径が g ( y ) であるリング（ g ( y ) = 0の場合は ディスク ） が形成されます。リングの面積は π( R 2 − r 2 ) です。ここで、 R は外半径（この場合は f ( y ) ）、 r は内半径（この場合は g ( y ) ）です。したがって、各微小ディスクの体積は π f ( y ) 2 dy です。 a と b の間のディスクの体積の リーマン和 の極限は、 整数（1）になります。
フビニの定理 と多変数変数変換の公式が適用可能であると仮定すると 、ディスク法は次のように簡単に導出できます（立体をDと表記します）。 V = ∭ D d V = ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) ∫ 0 2 π r d θ d r d z = 2 π ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) r d r d z = 2 π ∫ a b 1 2 r 2 ‖ g ( z ) f ( z ) d z = π ∫ a b ( f ( z ) 2 − g ( z ) 2 ) d z {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}
シェル積分法 シェル統合 シェル法 (「シリンダー法」と呼ばれることもあります) は、描画されたスライスが 回転軸 に平行で ある場合、つまり回転軸 に垂直に積分する場合に使用されます。
f ( x ) と g ( x ) の曲線と x = a と x = b の線の間の領域を y 軸の周りで回転させて形成される立体の体積は 次のように与えられます
。 g ( x ) = 0 の場合（たとえば、曲線と x 軸の間の領域を回転させる場合 ）、これは次のように簡略化されます。 V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) − g ( x ) | d x . {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.} V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x . {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}
この方法は、 x 座標に高さ f ( x ) − g ( x ) の細長い長方形を描き 、 y 軸を中心に回転させることで視覚化できます。長方形は円筒状の殻を形成します。円筒の側面積は 2π rh です。ここで、 r は半径（この場合は x ）、 h は高さ（この場合は f ( x ) − g ( x ) ）です。区間内の全ての表面積を合計すると、全体の体積が得られます。
この方法は、同じ三重積分で、今度は異なる積分の順序で導くことができます。 V = ∭ D d V = ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) ∫ 0 2 π r d θ d z d r = 2 π ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) r d z d r = 2 π ∫ a b r ( f ( r ) − g ( r ) ) d r . {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}
数学と芸術 ：回転体としての花瓶の研究、 パオロ・ウッチェロ 作。15世紀 ある区間[ a , b ] において 曲線がその 媒介変数 形式 ( x ( t ), y ( t )) で定義されているとき、その曲線を x 軸または y軸の周りで回転させることによって生成される立体の体積は [1] で与えられる。 V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t , V y = ∫ a b π x 2 d y d t d t . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}
同じ状況下で、曲線をx 軸または y 軸の周りに回転させることによって生成される立体の表面積は [2] で与えられる。 A x = ∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t , A y = ∫ a b 2 π x ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}
これは多変数積分からも導出できます。 平面曲線 が で与えられる場合 、x軸を中心に回転した際の対応する回転面は で与えられる直交座標を持ちます。この場合、 表面積 は で与えられます。 ⟨ x ( t ) , y ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle } r ( t , θ ) = ⟨ y ( t ) cos ( θ ) , y ( t ) sin ( θ ) , x ( t ) ⟩ {\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle } 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } A x = ∬ S d S = ∬ [ a , b ] × [ 0 , 2 π ] ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t . {\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}
偏微分を計算すると
、三角関数の 恒等 式が用いられた部分で 外積 を計算すると、 この外積から、 同じ三角関数の恒等式が再び用いられた部分が得られます。y軸を中心に回転して得られる曲面の微分も同様です。 ∂ r ∂ t = ⟨ d y d t cos ( θ ) , d y d t sin ( θ ) , d x d t ⟩ , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,} ∂ r ∂ θ = ⟨ − y sin ( θ ) , y cos ( θ ) , 0 ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle } ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ = ⟨ y cos ( θ ) d x d t , y sin ( θ ) d x d t , y d y d t ⟩ = y ⟨ cos ( θ ) d x d t , sin ( θ ) d x d t , d y d t ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle } sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1} A x = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ y ⟨ y cos ( θ ) d x d t , y sin ( θ ) d x d t , y d y d t ⟩ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π y cos 2 ( θ ) ( d x d t ) 2 + sin 2 ( θ ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d θ d t = ∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}
およびとなる 極 曲線の場合 、曲線をx軸またはy軸の周りに回転させることによって生成される立体の体積は、 r = f ( θ ) {\displaystyle r=f(\theta )} α ≤ θ ≤ β {\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta } f ( θ ) ≥ 0 {\displaystyle f(\theta )\geq 0} V x = ∫ α β ( π r 2 sin 2 θ cos θ d r d θ − π r 3 sin 3 θ ) d θ , V y = ∫ α β ( π r 2 sin θ cos 2 θ d r d θ + π r 3 cos 3 θ ) d θ . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}
x 軸または y 軸の周りで曲線を回転させることによって生成される立体の表面積は 次のように与えられる。 A x = ∫ α β 2 π r sin θ r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ , A y = ∫ α β 2 π r cos θ r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ , {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}
参照 ウィキメディア・コモンズには、回転体 に関連するメディアがあります 。
注記
参考文献
![{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e20c212de99b253a52f3442b8f74ea73d61ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad143220b39defd5b72caa82d8beb7b47d4946)
