ソースフィールド

Type of field appearing in the Lagrangian

理論物理学において、源とはジュリアン・シュウィンガーによって展開された抽象概念であり、周囲の粒子が他の粒子を生成または破壊する際に生じる物理的効果に着想を得たものである。^[1]そのため、源は生成または破壊された粒子が持つ物理的性質の起源と捉えることができ、この概念を用いて、時空局所特性や現象のエネルギー形式（質量と運動量）を含むすべての量子過程を研究することができる。生成または崩壊する粒子の確率振幅は、源が局所時空領域に及ぼす影響によって定義され、影響を受ける粒子は源のテンソル^[2]およびスピノル^[3]の性質に応じて物理的性質を捉える。ジュリアン・シュウィンガーが言及した例としては、 5 つの中間子間の質量相関による中間子の生成が挙げられる。^[4] ${\displaystyle \eta ^{*}}$ ${\displaystyle \pi }$

同じ考え方を用いて、ソースフィールドを定義することもできる。数学的には、ソースフィールドとは、元のフィールドと結合した背景フィールドである。この項は、リチャード・ファインマンの経路積分定式化における作用に現れ、理論上の相互作用を担う。衝突反応においては、ソースは衝突に関わる他の粒子である可能性がある。^[5]したがって、ソースは、理論のグリーン関数相関器の両側から作用する真空振幅に現れる。 ^[1] ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle S_{\text{source}}=J\phi .}$$

シュウィンガーの源理論はシュウィンガーの量子作用原理に由来し、源自体に関する変化が場に対応するため経路積分定式化と関連付けることができる。つまり^[6] ${\displaystyle \delta J}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(-i\!\int \!d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right).}$$

また、ソースは時空のある領域において効果的に作用する^{[7] 。以下の例に見られるように、ソース場は運動方程式（通常は2階偏}微分方程式）の右辺に現れる。場が電磁ポテンシャルまたは計量テンソルである場合、ソース場はそれぞれ電流または応力エネルギーテンソルである^{[8] [9]}。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

統計的および非相対論的応用の観点から、シュウィンガーの源定式化は多くの非平衡系を理解する上で重要な規則となっている。^{[10] [11]}源理論は発散正規化や再正規化を必要としないため、理論的に重要である。^[5]

経路積分の定式化とソース定式化の関係

正規化を伴うファインマンの経路積分定式化では、分配関数^[12]は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]}$

$${\displaystyle Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[-i\left(\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)\right].}$$

指数の現在の項を展開することができる $${\displaystyle {\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~\exp \left(-i\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)={\mathcal {N}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\int d^{4}x_{1}\cdots \int d^{4}x_{n}J(x_{1})\cdots J(x_{1})\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }$$

期待関数内の場がハイゼンベルク描像に現れるようなグリーン関数（相関関数）を生成する。一方、高次の項に対する相関関数を定義することもできる。例えば、項 のような結合定数は、次のよう に時空依存の源に昇格される。 $${\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{n})={\left(-i\right)}^{n}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{n})}}\right|_{J=0},}$$ ${\displaystyle \langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ $${\displaystyle i{\frac {1}{\mathcal {N}}}\left.{\frac {\delta }{\delta \mu ^{2}}}Z[J,\mu ]\right|_{m^{2}=\mu ^{2}}=\left\langle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{2}\right\rangle .}$$

量子変分法を実装することで、 が の外部駆動源であることを実現できます。確率論の観点からは、は関数 の期待値と見ることができます。これが、強制調和振動子のハミルトニアンをおもちゃのモデルとして考える動機となります。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Z[J]}$ ${\displaystyle e^{J\phi }}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}\left(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}{\hat {a}}\right)}$$どこ。 ${\displaystyle E^{2}=m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}$

実際、電流は実数、つまり である。^[13]そしてラグランジアンは である。ここからは、帽子とアスタリスクは省略する。正準量子化では と表現されることを覚えておこう。分配関数とその相関関数の関係を考慮すると、真空振幅の変化は ${\displaystyle J=J^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \phi \sim (a^{\dagger }+a)}$

$${\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i\left\langle 0,x'_{0}\right|\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\left(a^{\dagger }+a\right)}{\left|0,x''_{0}\right\rangle }_{J},}$$どこ。 ${\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}$

積分は時間領域で行われるため、生成消滅演算子とともにフーリエ変換すると、振幅は最終的に^{[6]のように表される。}

$${\displaystyle {\left\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f)\right)}.}$$

に特異点があることは容易に分かる。そして、-処方を利用して極を移動させ、グリーン関数が ${\displaystyle f=E}$ ${\displaystyle i\varepsilon }$ ${\displaystyle f-E+i\varepsilon }$ ${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left\langle 0|0\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx_{0}\,dx'_{0}\,J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0})\right)}\\[1ex]&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if\left(x_{0}-x'_{0}\right)}}{f-E+i\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

最後の結果は相互作用するスカラー場に対するシュウィンガーの源理論であり、任意の時空領域に一般化することができる。^[7]以下で議論される例は計量に従う。 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$

スカラー場のソース理論

因果摂動論は、源が弱く作用する仕組みを説明する。真空状態に確率振幅 で作用してスピン0粒子を放出する弱い源に対して、ある時空領域 内に運動量と振幅を持つ単一粒子が生成される。次に、別の弱い源が別の時空領域内でその単一粒子を吸収し、振幅は となる。^[5]したがって、完全な真空振幅は次のように表される。 ${\displaystyle J_{e}}$ ${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}$

$${\displaystyle {\left\langle 0|0\right\rangle }_{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx\,dx'\,J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}$$

ここではソースの伝播関数（相関関数）である。最後の振幅の2番目の項は、自由スカラー場理論の分配関数を定義する。また、ある相互作用理論では、電流と結合したスカラー場のラグランジアンは^[14]で与えられる。 ${\displaystyle \Delta (x-x')}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}$$

質量項に1を加えてフーリエ変換し、運動量空間に適用すると、真空振幅は次のようになる。 ${\displaystyle -i\varepsilon }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}J(-p)\right]\right)},}$$

ここで、上の振幅の項はフーリエ変換して、すなわち運動方程式とすることができることは容易に分かる。自由作用の変分、すなわち項 の変分が運動方程式を与えるので、の場合にのみとなる演算子の逆としてグリーン関数を再定義することができる。これは汎関数微分 の一般的な役割を直接適用したものである。したがって、生成汎関数は次のように分割関数から得られる。^[8]最後の結果から、分割関数を と読み取ることができる。ここで、 およびはソース によって導出された真空振幅である。したがって、プロパゲータは次のように分割関数を変化させることによって定義される。 $${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)\left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)\,J(x)}$ ${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}=J}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$ ${\textstyle G(x_{1},x_{2})\equiv {\left(\Box +m^{2}\right)}^{-1}}$ ${\displaystyle \left(\Box _{x_{1}}+m^{2}\right)G(x_{1},x_{2})=\delta (x_{1}-x_{2})}$ ${\textstyle \left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}\right)G(p)=1}$ ${\displaystyle {\frac {\delta J(x_{2})}{\delta J(x_{1})}}=\delta (x_{1}-x_{2})}$ ${\textstyle Z[J]=Z[0]\exp \left({\tfrac {i}{2}}\left\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\right\rangle \right)}$ $${\displaystyle Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\,\exp \left(-i\int dt\left[{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\tfrac {1}{2}}\left(m^{2}-i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}^{2}\right]\right),}$$ ${\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$ ${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left.{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}\right\vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\left[Z[J]\left(\int d^{4}y'\,\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}y\,J(y)\Delta (y-x')\right)\right]}_{J=0}\\[1.5ex]&={\left.{\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x')\right\vert }_{J=0}\\[1.5ex]&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}$$

これが、以下で平均場近似について議論する動機となります。

有効作用、平均場近似、頂点関数

シュウィンガーの源理論に基づき、スティーブン・ワインバーグは有効場理論の基礎を確立しました。この理論は物理学者の間で広く認められています。「靴事件」にもかかわらず、ワインバーグはこの理論的枠組みの触媒としてシュウィンガーの功績を認めています。^[15]

すべてのグリーン関数は、ソース場の関数として考えられた分割和のテイラー展開によって正式に求めることができる。この方法は、量子場の理論における経路積分の定式化において一般的に用いられる。このようなソース場を用いて量子系、統計力学系、その他の系における伝播関数を得るための一般的な方法は、以下のように概説される。分割関数をウィック回転振幅で再定義すると、分割関数はとなる。熱場理論においてヘルムホルツ自由エネルギーとして振る舞う^[16]を導入することで、複素数[17]を吸収し、したがって[18]となる。この関数は縮約量子作用[19]とも呼ばれる。そして、ルジャンドル変換^[20]の助けを借りて、「新しい」有効エネルギー汎関数[21]、または有効作用^[22]を考案することができる。 ${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}$ ${\displaystyle Z[J]=e^{iW[J]}}$ ${\displaystyle F[J]=iW[J]}$ ${\displaystyle \ln Z[J]=F[J]}$ ${\displaystyle F[J]}$

$${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}x\,J(x){\bar {\phi }}(x),}$$変換^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,&&{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,\\[1.2ex]&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,&&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.\end{aligned}}}$$

有効作用の定義における積分は、 についての和、すなわち に置き換えることができる。^[20]最後の式は、ヘルムホルツ自由エネルギーとエントロピーの間の熱力学的関係に似ている。熱場理論と統計場理論は、基本的に関数積分と関数微分から派生していることは明らかである。ルジャンドル変換に戻ると、 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}$ ${\displaystyle F=E-TS}$

は明らかに平均場と呼ばれ、一方 は背景の古典場である。^[17]場は古典的部分と変動部分、すなわちに分解されるので、真空振幅は次のように再導入できる。 ${\displaystyle \langle \phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i[\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int dx^{4}J(x,t)\phi (x,t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }$

$${\displaystyle e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

そして任意の関数は次のように定義される ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\phi ]}$

$${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]\exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

ここで、は自由ラグランジアンの作用である。最後の2つの積分は、あらゆる有効場の理論の柱となる。^{[20]この構成は、散乱（} LSZ縮小公式）、自発的対称性の破れ、^{[21] [22]}ウォード恒等式、非線形シグマ模型、低エネルギー有効理論の研究に不可欠である。^{[16]さらに、この理論的枠組みは、シュウィンガーの博士課程学生であった}ブライス・デウィットを中心に発表された、量子重力のための標準的な量子化有効理論の開発に関する一連の思考のきっかけとなった。^[23] ${\displaystyle S[\phi ]}$

作用のグリーン関数に戻る。は のルジャンドル変換であり、 はN点連結相関関数を定義するので、 から得られる対応する相関関数（頂点関数として知られる）は で与えられる。したがって、1粒子既約グラフ（通常1PIと略される）において、連結2点 -相関関数は2点 -相関関数の逆として定義される。つまり、通常の簡約相関は であり、有効相関は である。 の場合、連結N点と間の最も一般的な関係は ${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]}$ ${\displaystyle F[J]}$ ${\displaystyle F[J]}$ ${\displaystyle G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}$ ${\displaystyle F[J]}$ ${\displaystyle G_{\Gamma [J]}^{N,~c}=\left.{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}\right|_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}$ ${\displaystyle G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}$ ${\displaystyle J_{i}=J(x_{i})}$ ${\displaystyle F[J]}$ ${\displaystyle Z[J]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{N}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}$$

そして

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{N}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}$$

フィールドのソース理論

ベクトル場

異なる因果的時空点に作用する一般電流を持つ、放射性スピン1粒子を生成する弱い源の場合、真空振幅は ${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$ ${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right]\right)}}$$

運動量空間では、静止質量を持つスピン1粒子は、その静止系において明確な運動量を持ちます。つまり、振幅は^{[5]で与えられます。} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{\mu }=(m,0,0,0)}$ ${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\bigg |}_{\text{on-shell}}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left[\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}}$$

ここで、およびは の転置である。最後の結果は、配置空間における真空振幅で使用された伝播関数と一致する。すなわち、 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle (J_{\mu }(p))^{T}}$ ${\displaystyle J_{\mu }(p)}$

$${\displaystyle \left\langle 0\right|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')\left|0\right\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\varepsilon }}\left[\eta _{\mu \nu }-\left(1-\xi \right){\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }-\xi m^{2}}}\right]e^{ip^{\mu }\left(x_{\mu }-x'_{\mu }\right)}.}$$

のとき、選択されたファインマン・トホーフトゲージ固定により、スピン1は質量ゼロとなる。また、 のとき、選択されたランダウゲージ固定により、スピン1は質量を持つ。^{[24]質量ゼロの場合は}量子電磁力学で研究されているように明らかである。質量を持つ場合は、電流が保存される必要がないため、より興味深い。しかし、ベリンファンテ・ローゼンフェルトテンソルが改善されるのと同様の方法で電流が改善され、最終的に保存されるようになる。そして、質量を持つベクトルの運動方程式を得るには、^{[5]を定義することができる。} ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi =0}$

$${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$$

2番目の項に部分積分を適用し、それを分離して質量の大きいスピン1の場の定義を得ること ができる。 ${\textstyle \int dxJ_{\mu }(x)}$

$${\displaystyle A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left[\int dx'\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$$

さらに、上の式は となります。したがって、運動方程式は次のいずれかの形式で表すことができます。 ${\textstyle \partial _{\mu }A^{\mu }={\tfrac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\Box +m^{2}\right)A_{\mu }=J_{\mu }+{\tfrac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\[1ex]&\left(\Box +m^{2}\right)A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}}$$

質量を持つ完全対称スピン2場

平坦なミンコフスキー背景における弱い粒子源では、一般に再定義されたエネルギー運動量テンソルを持つ質量の大きいスピン2粒子を生成し、それを吸収して電流として作用する。ここで、は真空分極テンソルであり、コンパクトな形式での真空振幅は^{[5]である。} ${\textstyle {\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }}$ ${\textstyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=\eta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Biggl (}-{\frac {i}{2}}\int {\biggl [}&{\bar {T}}_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x'){\bar {T}}^{\mu \nu }(x')\\&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x'){\biggr ]}dx\,dx'{\Biggr )},\end{aligned}}}$$

または

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{T}=\exp {\Biggl (}-{\frac {i}{2}}\int {\biggl [}&T_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')\\&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }T^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }(x)-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T^{\mu \nu }(x)\right)\Delta (x-x')\left(\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right){\biggr ]}dx~dx'{\Biggr )}.\end{aligned}}}$$

この運動量空間における振幅は（転置が埋め込まれている）

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{\mu \kappa }{\biggl (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\biggr )}\\&-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }\left({\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\right)\\=\left(\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }\right)&\left({\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\right)\\=&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\left(\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }\right)\left(\eta ^{\nu \lambda }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\nu }p^{\lambda }\right){\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p).\end{aligned}}}$$

そして、ソースの対称性を利用して、最終的な結果は と書くことができます。ここ で、射影演算子、またはシュウィンガーの変分原理にパイエルスブラケットを適用して得られるヤコビ場演算子のフーリエ変換はです。^[25] ${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$ ${\textstyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)={\tfrac {1}{2}}\left({\bar {\eta }}_{\mu \kappa }(p){\bar {\eta }}_{\nu \lambda }(p)+{\bar {\eta }}_{\mu \lambda }(p){\bar {\eta }}_{\nu \kappa }(p)-{\tfrac {2}{3}}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p){\bar {\eta }}_{\kappa \lambda }(p)\right)}$

N次元平坦時空では、2/3は2/(N−1)に置き換えられる。^[26]また、質量のないスピン2場に対しては、射影演算子は^[5] のように定義される。 ${\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }^{m=0}={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \kappa }\eta _{\nu \lambda }+\eta _{\mu \lambda }\eta _{\nu \kappa }-{\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\kappa \lambda }\right)}$

ウォード・タカハシ恒等式の助けを借りて、プロジェクター演算子は、場の対称性、電流の保存則、および許容される物理的自由度を確認するために重要です。

真空偏極テンソルと改良エネルギー運動量テンソルが、質量を持つ重力理論の初期のバージョンに登場していることは注目に値する。^{[27] [28]}興味深いことに、質量を持つ重力理論は、1970年代初頭に2つの源間で単一のスピン2場を交換する研究において明らかな矛盾が示されたため、最近まで広く認識されてこなかった。しかし、2010年には、シュテッケルベルク場の再定義を利用するdRGTアプローチ^[29]により、以前に得られたすべてのゴーストや不連続性を排除した、一貫性のある共変質量理論が導かれた。 ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\nu \beta }}$ ${\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }}$

質量を持つスピン1の場を定義するのに使われるのと同じ手順を見て従うと、質量を持つスピン2の場を定義するのは簡単です。 ${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }(x)=&\int \Delta (x-x')T_{\mu \nu }(x')dx'\\&-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \nu }(x')dx'\\&-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \mu }(x')dx'\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')dx'\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\right)\int \Delta (x-x')\left[\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right]dx'.\end{aligned}}}$$

対応する発散条件は と読み取られるが、ここで電流は必ずしも保存されない（質量ゼロの場合のようなゲージ条件ではない）。しかし、エネルギー運動量テンソルは、ベリンファンテ・ローゼンフェルド構成によればとなるように改善することができる。したがって、運動方程式は ${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h={\frac {1}{m^{2}}}\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$ ${\textstyle {\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }&+{\dfrac {1}{m^{2}}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\rho }T_{\rho \nu }+\partial _{\nu }\partial ^{\rho }T_{\rho \mu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\right)\\&+{\frac {2}{3m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }\square \right)\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\end{aligned}}}$$

なる

$${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\dfrac {1}{6m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\left(\square +3m^{2}\right){\mathfrak {T}}.}$$

発散条件を用いて非物理的場とを切り離すことができるので、運動方程式は次のように簡略化される^[30]。 ${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\frac {1}{3m^{2}}}~\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathfrak {T}}.}$$

質量を持つ完全対称な任意の整数スピン場

源を一般化して高スピン源にすることができ、 は となる。^[5]一般化された射影演算子は、量子化された電磁ベクトルポテンシャルの電磁分極ベクトルを次のように一般化するのに役立てる。時空点 と に対して、球面調和関数の加法定理は次のように述べている 。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)}$ ${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$ ${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}$ ${\displaystyle e_{m}^{\mu }(p)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{\ell }}\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)x'^{\nu _{1}}\cdots x'^{\nu _{\ell }}={\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell ,m}(x)Y_{\ell ,m}^{*}(x').}$$

また、単位(N-1)球面上の次数複素同次多項式空間の表現論は、分極テンソルを次のように定義する^[31]。そして、一般化された分極ベクトルは ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle e_{(m)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}e_{(m)i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }},~\forall x_{i}\in S^{N-1}.}$$ $${\displaystyle e^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)~x_{\mu _{1}}\cdots x_{\mu _{\ell }}={\sqrt {{\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}~~Y_{\ell ,m}(x).}$$

そして射影演算子は次のように定義される。 $${\displaystyle \Pi ^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)=\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }[e_{m}^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)]~[e_{m}^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)]^{*}.}$$

射影演算子の対称性により、運動量空間における真空振幅の取り扱いが容易になる。したがって、配置空間における相関関数で表現するのではなく、次のように書く。 ${\displaystyle \Delta (x-x')}$

$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left[{\frac {i}{2}}\int {\frac {dp^{4}}{(2\pi )^{4}}}S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(-p){\frac {\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}{p_{\sigma }p^{\sigma }-m^{2}+i\varepsilon }}S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)\right]}.}$$

混合対称任意スピン場

また、任意の次元と任意のスピンにおいて反対称および混合対称特性を持つ仮想ゲージ場を記述するためにソース理論を一般化することは理論的に整合している。しかし、理論における非物理的な自由度には注意する必要がある。例えば、N次元で、質量ゼロの混合対称カートライト場とソースの場合、真空振幅は、N = 4の理論ではソースが最終的に非物理的場の理論であることを明らかにする。^[32]しかし、質量を持つバージョンはN≥5でも存続する。 ${\displaystyle T_{[\mu \nu ]\lambda }}$ ${\displaystyle S_{[\mu \nu ]\lambda }=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }T_{[\mu \nu ]\lambda }}$ $${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[S_{[\mu \nu ]\lambda }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \nu ]\lambda }(x')+{\frac {2}{3-N}}S_{[\mu \alpha ]\alpha }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \beta ]\beta }(x')\right]\right)}}$$

任意の半整数スピン場

スピン1 ⁄ 2 フェルミオン伝播関数 と上で定義した電流の場合、真空振幅は^[5] ${\displaystyle S(x-x')=(p\!\!\!/+m)\Delta (x-x')}$ ${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {\left[{\frac {i}{2}}\int dxdx'~J(x)~\left(\gamma ^{0}S(x-x')\right)~J(x')\right]}\\&=\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\exp {\left[i\int dxdx'~J_{e}(x)~\left(\gamma ^{0}S(x-x')~\right)~J_{a}(x')\right]}\langle 0|0\rangle _{J_{a}}.\end{aligned}}}$$

運動量空間では、縮減された振幅は次のように与えられる。

$${\displaystyle W_{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J(-p)\left[\gamma ^{0}{\frac {p\!\!\!/+m}{p^{2}-m^{2}}}\right]~J(p).}$$

スピン3 ⁄ 2のラリタ・シュウィンガー粒子の場合、オンシェルを使って ${\textstyle \Pi _{\mu \nu }={\bar {\eta }}_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{\alpha }{\bar {\eta }}_{\alpha \mu }\gamma ^{\beta }{\bar {\eta }}_{\beta \nu }.}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/=-m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}W_{\frac {3}{2}}&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\,J^{\mu }(-p)\left[\gamma ^{0}{\frac {(p\!\!\!/+m)\left({\bar {\eta }}_{\mu \nu }|_{\text{on-shell}}-{\frac {1}{3}}\gamma ^{\alpha }{\bar {\eta }}_{\alpha \mu }|_{\text{on-shell}}\gamma ^{\beta }{\bar {\eta }}_{\beta \nu }|_{\text{on-shell}}\right)}{p^{2}-m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\\&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\,J^{\mu }(-p)\left[\gamma ^{0}{\frac {\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right)(p\!\!\!/+m)-{\frac {1}{3}}\left(\gamma _{\mu }+{\frac {1}{m}}p_{\mu }\right)\left(p\!\!\!/+m\right)\left(\gamma _{\nu }+{\frac {1}{m}}p_{\nu }\right)}{p^{2}-m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p).\end{aligned}}}$$

ソースを次のように置き換えると、簡約メトリックを通常のメトリックに置き換えることができます。 ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle J_{\mu }}$ ${\displaystyle {\bar {J}}_{\mu }(p)={\frac {2}{5}}\gamma ^{\alpha }\Pi _{\mu \alpha \nu \beta }\gamma ^{\beta }J^{\nu }(p).}$

スピンの場合、上記の結果は次のように一般化できる。 ${\displaystyle (j+{\tfrac {1}{2}})}$

$${\displaystyle W_{j+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {j+1}{2j+3}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\,J^{\mu _{1}\cdots \mu _{j}}(-p)~\left[\gamma ^{0}{\frac {~\gamma ^{\alpha }~\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{j}\alpha \nu _{1}\cdots \nu _{j}\beta }~\gamma ^{\beta }}{p^{2}-m^{2}}}\right]J^{\nu _{1}\cdots \nu _{j}}(p).}$$

この因子は、射影演算子の性質、カレントのトレースレス性、および演算子によって射影された後のカレントの保存則から得られる。^{[5]これらの条件は、場自体に対するフィエルツ・パウリ[33]}条件とファング・フロンスダール^{[34] [35]}条件から導出できる。質量を持つ場のラグランジアン定式化とその条件は、ランボダー・シンとカール・ハーゲンによって研究された。^{[36] [37]}射影演算子の非相対論的バージョンは、シュウィンガーのもう一人の弟子であるチャールズ・ゼマックによって開発され、^[38]ハドロン分光法で頻繁に利用されている。ゼマックの方法は、共変射影演算子を表現するために相対論的に改良することができる。^{[39] [40]} ${\displaystyle {\frac {j+1}{2j+3}}}$

参照

• ケルディッシュ・シュウィンガー形式
• シュウィンガー関数
• ウィグナー・バーグマン方程式
• ヨース・ワインベルグ方程式

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